数学史 · 中文镜像

数学家传记

哥特弗里德·威廉·莱布尼茨Gottfried Wilhelm Leibniz

出生
1646年7月1日　萨克森莱比锡（今德国）
逝世
1716年11月14日　汉诺威汉诺威（今德国）

哥特弗里德·威廉·莱布尼茨是一位德国数学家，他发展了现今微积分所使用的符号，尽管他从未将导数视为极限。他的哲学思想也很重要，他还发明了一台早期的计算器。

完整传记

哥特弗里德·威廉·莱布尼茨是Friedrich Leibniz的儿子，Friedrich Leibniz是莱比锡的道德哲学教授。Friedrich Leibniz [3]：-

……显然是一位称职但并非有独创性的学者，他将时间投入到他的职务和家庭中，是一位虔诚的基督徒父亲。

莱布尼茨的母亲是Catharina Schmuck，一位律师的女儿，也是Friedrich Leibniz的第三任妻子。然而，Friedrich Leibniz在莱布尼茨年仅六岁时去世，他由母亲抚养长大。当然，莱布尼茨从她那里学到了道德和宗教价值观，这将在他的生活和哲学中发挥重要作用。

七岁时，莱布尼茨 进入莱比锡的尼古拉学校。虽然他在学校学习拉丁语，但 莱布尼茨 到12岁时已经自学了更高级的拉丁语和一些希腊语。他似乎是因为想读他父亲的书而受到激励。随着他在学校的进步，他学习了 亚里士多德 的逻辑和知识分类理论。莱布尼茨 显然对 亚里士多德 的体系不满意，并开始发展自己关于如何改进它的想法。在晚年，莱布尼茨 回忆说，此时他试图在逻辑真理上找到排序，尽管他当时不知道，但这些是严格数学证明背后的想法。除了学校功课，莱布尼茨 还研究他父亲的书。特别是他阅读了 形而上学 的书籍以及来自天主教和新教作家的神学书籍。

1661年，十四岁的莱布尼茨进入莱比锡大学。今天听起来，这似乎对任何人来说都是真正异常早的入学年龄，但公平地说，按照当时的标准，他相当年轻，但也会有其他类似年龄的人。他学习哲学，这在莱比锡大学教得很好，以及数学，这教得很差。这个两年制普通学位课程中包括的其他主题还有修辞学、拉丁语、希腊语和希伯来语。他于1663年毕业，获得学士学位，学位论文为De Principio Individui Ⓣ（《论个体性原则》），其中：-

……强调个体的存在价值，个体既不能仅用物质也不能仅用形式来解释，而要用他的整个存在来解释。

这里面包含了他“单子”概念的萌芽。莱布尼茨随后前往耶拿，度过1663年的夏季学期。

在耶拿，数学教授是Erhard Weigel，但Weigel也是一位哲学家，通过他，莱布尼茨开始理解数学证明方法对逻辑和哲学等学科的重要性。Weigel相信数是宇宙的基本概念，他的思想对莱布尼茨产生了相当大的影响。到1663年10月，莱布尼茨回到莱比锡，开始攻读法学博士学位。他因一篇学位论文被授予哲学硕士学位，该论文结合了哲学和法律的方面，用他从Weigel那里学到的数学思想研究这些学科中的关系。在莱布尼茨提交学位论文几天后，他的母亲去世了。

在获得法学学士学位后，莱布尼茨致力于他的哲学教授资格论文（Habilitation）。他的工作于1666年出版，书名为Dissertatio de arte combinatoria Ⓣ（论组合艺术）。在这部作品中，莱布尼茨旨在将所有推理和发现归结为数字、字母、声音和颜色等基本元素的组合。

尽管他的声誉日隆且学术得到认可，莱布尼茨在莱比锡被拒绝授予法学博士学位。原因有点不清楚。很可能是因为，作为较年轻的候选人之一，而且只有十二个法学导师职位可用，他会被期望再等一年。然而，也有一个故事说，院长的妻子说服院长反对莱布尼茨，原因不明。莱布尼茨不愿接受任何拖延，他立即前往阿尔特多夫大学，并于1667年2月因他的学位论文De Casibus Perplexis Ⓣ（论疑难案件）获得法学博士学位。

莱布尼茨谢绝了阿尔特多夫的一个讲席承诺，因为他有截然不同的打算。他一度担任纽伦堡炼金术学会的秘书（见[187]），之后结识了男爵Johann Christian von Boineburg。到1667年11月，莱布尼茨住在法兰克福，受雇于Boineburg。在接下来的几年里，莱布尼茨承担了各种不同的项目，涉及科学、文学和政治。他还继续自己的法律事业，在1670年前于美因茨的宫廷居住。他在那里为美因茨选帝侯承担的一项任务，是改进美因茨的罗马民法法典，但[3]：-

莱布尼茨还轮流担任Boineburg的秘书、助手、图书管理员、律师和顾问，同时又是这位男爵及其家人的私人朋友。

Boineburg是天主教徒，而莱布尼茨是路德宗信徒，但莱布尼茨终生的目标之一是实现基督教各教会的重新统一，并且[30]：-

……在Boineburg的鼓励下，他起草了若干关于宗教主题的专论，大多涉及各教会之间有争议的问题……

莱布尼茨的另一个终生目标是把人类全部知识汇集起来。他确实把自己关于罗马民法的工作视为这一计划的一部分，而作为这一计划的另一部分，莱布尼茨试图把各学术学会的工作汇集起来以协调研究。莱布尼茨开始研究运动，尽管他心中想着解释克里斯托弗·雷恩和克里斯蒂安·惠更斯关于弹性碰撞的结果这一问题，他却从抽象的运动观念入手。1671年，他出版了Hypothesis Physica NovaⓉ（《新物理学假说》）。在这部著作中，他像约翰内斯·开普勒一样主张，运动取决于某种精神的作用。他与伦敦皇家学会的秘书Oldenburg通信，并将自己的一些科学著作献给皇家学会和巴黎科学院。莱布尼茨还与巴黎的皇家图书馆员皮埃尔·德·卡克维有联系。正如Ross在[30]中所解释的：-

莱布尼茨的兴趣显然在向科学方向发展，但他仍然向往文学生涯。他一生都以自己的诗歌（大多是拉丁文）为傲，并夸口能背诵维吉尔的《埃涅阿斯纪》的大部分。在与Boineburg相处的这段时间里，他会被视为典型的晚期文艺复兴人文主义者。

莱布尼茨希望访问巴黎以建立更多科学联系。他已开始建造一台计算机器，希望它能引起兴趣。他制定了一项政治计划，试图说服法国人进攻埃及，这成为他访问巴黎的手段。1672年，莱布尼茨代表Boineburg前往巴黎，试图利用他的计划使路易十四从进攻德意志地区转向。他在巴黎的首要目标是联系法国政府，但在等待这样的机会时，莱布尼茨与那里的数学家和哲学家取得了联系，特别是安托尼·阿尔诺和尼古拉斯‧马勒伯朗士，与安托尼·阿尔诺讨论了各种话题，尤其是教会统一。

莱布尼茨从1672年秋天开始跟随克里斯蒂安·克里斯蒂安·惠更斯学习数学和物理学。在克里斯蒂安·惠更斯的建议下，莱布尼茨阅读了格雷瓜尔·德·圣樊尚关于级数求和的工作，并在这一领域有了一些自己的发现。同样在1672年秋天，博伊内堡的儿子被送到巴黎跟随莱布尼茨学习，这意味着他的经济支持是稳定的。陪同博伊内堡儿子的是博伊内堡的侄子，他肩负外交使命，试图说服路易十四召开和平会议。博伊内堡于12月15日去世，但莱布尼茨继续得到博伊内堡家族的支持。

1673年1月，莱布尼茨和博伊内堡的侄子前往英格兰尝试同样的和平使命，法国的使命已经失败。莱布尼茨参观了皇家学会，并展示了他未完成的计算机。
他的机器的图片在THIS LINK。

他还与罗伯特·胡克、罗伯特·波义耳和约翰·佩尔交谈。在向约翰·佩尔解释他关于级数的结果时，他被告知这些结果可以在加布里埃尔·穆顿的一本书中找到。第二天，他查阅了加布里埃尔·穆顿的书，发现约翰·佩尔是正确的。在2月15日皇家学会的会议上，莱布尼茨没有出席，罗伯特·胡克对莱布尼茨的计算机发表了一些不利的评论。莱布尼茨听说美因茨选帝侯去世后返回巴黎。莱布尼茨意识到他的数学知识比他希望的要少，因此他在这一学科上加倍努力。

Royal Society of London于1673年4月9日选举莱布尼茨为会士。莱布尼茨遇到了雅克·奥扎南并解决了他的一個问题。他还再次见到了克里斯蒂安·惠更斯，后者给了他一份阅读清单，包括布莱兹·帕斯卡、Fabri、詹姆斯·格雷果里、格雷瓜尔·德·圣樊尚、勒内·笛卡儿和Sluze的著作。他开始研究无穷小的几何学，并于1674年写信给皇家学会的奥尔登堡。奥尔登堡回复说艾萨克·牛顿和詹姆斯·格雷果里已经找到了通用方法。然而，莱布尼茨与皇家学会的关系并不太好，因为他没有兑现完成机械计算机的承诺。奥尔登堡也不知道莱布尼茨已经从访问伦敦时那个相当普通的数学家，变成了一个富有创造力的数学天才。1675年8月，埃伦弗里德·瓦尔特·冯·切恩豪斯抵达巴黎，他与莱布尼茨建立了密切的友谊，这对双方的数学研究都大有裨益。

正是在巴黎的这段时期，莱布尼茨发展出了他版本微积分的基本特征。1673年，他仍在努力为他的微积分发展出一套好的记号，而他最初的计算很笨拙。1675年11月21日，他写了一份手稿，首次使用了∫ f(x)dx\int  f (x) dx记号。在同一份手稿中，给出了微分的乘积法则。到1676年秋，莱布尼茨发现了对于积分和分数nn都熟悉的d(xn)=nxn−1dxd(x^{n}) = nx^{n-1}dx。

艾萨克·牛顿通过奥尔登堡给莱布尼茨写了一封信，这封信花了一些时间才到达他那里。信中列出了艾萨克·牛顿的许多结果，但没有描述他的方法。莱布尼茨立即回复，但艾萨克·牛顿没有意识到他的信花了很长时间才到达莱布尼茨，以为他有六周时间来准备回复。艾萨克·牛顿的信的后果之一当然是莱布尼茨意识到他必须迅速发表一份关于他自己方法的更完整说明。

艾萨克·牛顿于1676年10月24日给莱布尼茨写了第二封信，这封信直到1677年6月才到达莱布尼茨，那时莱布尼茨已在汉诺威。这第二封信虽然语气礼貌，但显然是艾萨克·牛顿认为莱布尼茨窃取了他的方法而写的。在回复中，莱布尼茨给出了一些关于他微分学原理的细节，包括复合函数的求导法则。

艾萨克·牛顿有理由声称，

……没有一个以前未解决的问题被解决……

通过莱布尼茨的方法，但形式主义在微积分的后期发展中证明至关重要。莱布尼茨从未将导数视为极限。直到让·勒朗·达朗贝尔的工作中才出现这一点。

莱布尼茨本想留在巴黎的科学院，但人们认为那里已经有足够多的外国人，因此没有发出邀请。莱布尼茨不情愿地接受了汉诺威公爵约翰·弗里德里希提供的职位，担任汉诺威的图书管理员和宫廷顾问。他于1676年10月离开巴黎，经伦敦和荷兰前往汉诺威。莱布尼茨余生从1676年12月直到去世，除了多次旅行外，都在汉诺威度过。

他在汉诺威的职责[30]：-

……作为图书馆员是繁重的，但相当平凡：一般行政管理、购买新书和二手藏书，以及常规编目。

然而，他承担了整整一系列其他项目。例如，一个始于1678-79年的大型项目涉及从哈茨山脉的矿井中排水。他的想法是利用风力和水力来操作水泵。他设计了许多不同类型的风车、水泵、齿轮，但[3]：-

……这些项目每一个都以失败告终。莱布尼茨自己认为这是因为管理者和技术人员的故意阻挠，以及工人们担心技术进步会让他们失去工作。

1680年，约翰·弗里德里希公爵去世，他的兄弟恩斯特·奥古斯特成为新公爵。哈茨项目一直很困难，到1684年失败了。然而，莱布尼茨取得了重要的科学成果，成为最早通过他为哈茨项目收集的观察来研究地质学的人之一。在这项工作中，他形成了地球最初是熔融的假说。

莱布尼茨在数学上的另一项伟大成就是发展了二进制算术系统。他在1679年之前完善了这一系统，但直到1701年才发表任何东西，当时他将论文Essay d'une nouvelle science des nombres寄给巴黎科学院，以纪念他当选为科学院院士。莱布尼茨的另一项主要数学工作是关于行列式的工作，这源于他发展求解线性方程组的方法。尽管他一生中从未发表这项工作，但他发展了许多不同的方法来处理这一主题，并尝试了许多不同的符号，以找出最有用的那一种。一篇日期为1684年1月22日的未发表论文包含了非常令人满意的符号和结果。

莱布尼茨在1680年代继续完善他的形而上学体系，试图将推理归结为一种思想的代数。莱布尼茨发表了Meditationes de Cognitione, Veritate et IdeisⓉ（关于知识、真理和观念的反思），阐明了他的知识理论。1686年2月，莱布尼茨写了他的Discours de métaphysiqueⓉ（关于形而上学的论述）。

莱布尼茨承担的另一个重大项目，这次是为恩斯特·奥古斯特公爵，是撰写圭尔夫家族的历史，不伦瑞克家族是其中的一部分。他进行了一次长途旅行，寻找档案材料作为这部历史的基础，在1687年11月至1690年6月期间访问了巴伐利亚、奥地利和意大利。像往常一样，莱布尼茨在这些旅程中抓住机会会见了许多不同学科的学者。例如，在佛罗伦萨，他与温琴佐·维维亚尼讨论了数学，后者曾是伽利略的最后一个学生。尽管莱布尼茨出版了九大卷关于圭尔夫家族历史的档案材料，但他从未写出被委托的作品。

1684年，莱布尼茨在Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus...Ⓣ（求最大值、最小值和切线的新方法...）中发表了他的微分学细节，该文发表在Acta Eruditorum上，这是一本两年前在莱比锡创办的期刊。这篇论文包含了熟悉的d符号，计算幂、乘积和商的导数的规则。然而，它没有包含证明，雅各布·伯努利称其为谜而不是解释。

1686年，莱布尼茨在Acta Eruditorum上发表了一篇讨论积分学的论文，其中首次印刷出现了∫记号。

艾萨克·牛顿的Principia在次年出现。艾萨克·牛顿的“流数法”写于1671年，但艾萨克·牛顿未能将其出版，直到1736年约翰·科尔森制作了英文翻译才印刷出现。艾萨克·牛顿著作出版的这种延迟导致了与莱布尼茨的争议。

莱布尼茨进行的另一项重要数学工作是他对动力学的研究。他批评了勒内·笛卡儿的力学思想，并考察了实际上就是动能、势能和动量的东西。这项工作始于1676年，但他在不同时期重新回到它，特别是在1689年在罗马时。很明显，当他在罗马时，除了在梵蒂冈图书馆工作外，莱布尼茨还与科学院成员合作。此时他被选为科学院成员。同样在罗马时，他阅读了艾萨克·牛顿的Principia。他的两部分论文Dynamica研究了抽象动力学和具体动力学，写作风格与艾萨克·牛顿的Principia有些相似。罗斯在[30]中写道：-

……尽管莱布尼茨在追求真正的动力学方面超越了他的时代，但正是这种雄心壮志使他未能与他的对手艾萨克·牛顿的成就相匹敌。……只有通过简化问题……艾萨克·牛顿才成功地将它们缩减到可处理的程度。

莱布尼茨投入了大量精力来推动科学学会。他参与了在柏林、德累斯顿、维也纳和圣彼得堡建立科学院的行动。1695年，他开始为在柏林建立科学院而奔走，1698年他访问柏林作为其努力的一部分，并在1700年的另一次访问中最终说服弗里德里希于7月11日创立了勃兰登堡科学学会。莱布尼茨被任命为其第一任院长，这是终身任命。然而，该科学院并不特别成功，只出版了一卷会议记录。它确实导致了几年后柏林科学院的创建。

莱布尼茨创建科学院的其他尝试则不那么成功。他于1712年被任命为拟议中的维也纳科学院的院长，但莱布尼茨在该科学院创建之前就去世了。同样，他为推动圣彼得堡科学院的建立做了大量工作，但同样，直到他去世后它才成立。

毫不夸张地说，莱布尼茨与欧洲大多数学者都有通信往来。他有超过600位通信者。与他通信的数学家中包括格兰迪。通信始于1703年，后来涉及将x=1x = 1代入11+x=1−x+x2−x3+...\Large\frac{1}{1+x}\normalsize = 1 - x + x^{2} - x^{3} + ...所得到的结果。莱布尼茨也就这个悖论与皮埃尔·伐里农通信。莱布尼茨与约翰·伯努利讨论了负数的对数，见[155]。

1710年，莱布尼茨出版了ThéodicéeⓉ（《神义论》），这是一部哲学著作，旨在处理一个由善良上帝创造的世界中的恶的问题。莱布尼茨声称宇宙必须是不完美的，否则它就不会与上帝有区别。他接着声称宇宙是不完美中最好的。莱布尼茨意识到这个论证看起来不太可能——一个没有人被洪水淹死的宇宙肯定比现在的宇宙更好，但仍然不完美。他在这里的论点是，例如消除自然灾害将涉及对科学定律的如此改变，以至于世界会变得更糟。1714年，莱布尼茨写了MonadologiaⓉ（《单子论》），它综合了他早期著作ThéodicéeⓉ（《神义论》）的哲学。

莱布尼茨晚年的大部分数学活动都涉及关于微积分发明的优先权之争。1711年，他读了Keill在Transactions of the Royal Society of London上的论文，该论文指控莱布尼茨剽窃。莱布尼茨要求撤回该指控，声称他在读到约翰·沃利斯的著作之前从未听说过流数微积分。Keill回复莱布尼茨说，通过奥尔登堡寄来的艾萨克·牛顿的两封信给出了：-

……相当清楚的迹象……莱布尼茨从中推导出了该微积分的原理，或者至少本可以推导出这些原理。

莱布尼茨再次写信给皇家学会，要求他们纠正Keill的主张对他造成的错误。针对这封信，Royal Society成立了一个委员会来对优先权之争作出裁决。该委员会完全偏袒一方，没有要求莱布尼茨陈述他对事件的版本。委员会的报告中支持艾萨克·牛顿，由艾萨克·牛顿本人撰写，并于1713年初作为Commercium epistolicum出版，但莱布尼茨直到1714年秋才看到。他在1713年从约翰·伯努利的一封信中得知了其内容，该信报告了他的侄子尼古拉·伯努利一世从巴黎带来的该著作的副本。莱布尼茨出版了一本匿名小册子Charta volans，阐述了他的立场，其中艾萨克·牛顿在理解二阶及更高阶导数时的一个错误，被约翰·伯努利发现，被用作支持莱布尼茨论点的证据。

争论继续，Keill出版了对Charta volans的回复。莱布尼茨拒绝与Keill继续争论，说他无法回复一个白痴。然而，当艾萨克·牛顿直接写信给他时，莱布尼茨确实回复了，并详细描述了他发现微分学的过程。从1715年直到去世，莱布尼茨与皮埃尔·萨米埃尔萨缪尔·克拉克通信，后者是艾萨克·牛顿的支持者，通信内容涉及时间、空间、自由意志、跨越虚空的引力吸引以及其他主题，见[4]、[62]、[108]和[201]。

在[2]中，莱布尼茨被描述如下：-

莱布尼茨中等身材，有些驼背，宽肩膀但双腿向外弯曲，既能连续几天坐在同一把椅子上思考，也能在冬夏遍历欧洲的道路。他不知疲倦地工作，是一位普世的写信者（他有600多位通信者），一位爱国者和世界主义者，一位伟大的科学家，也是西方文明最强大的精神之一。

Ross在[30]中指出，莱布尼茨的遗产可能并非他所希望的那样：-

具有讽刺意味的是，一个如此致力于相互理解事业的人，却只成功地助长了知识上的沙文主义和教条主义。同样具有讽刺意味的是，他是最后几位伟大的博学者之一——不是指拥有广泛常识的肤浅意义，而是指作为整个知识探究世界的公民这一更深层的意义。他刻意忽视学科之间的界限，资格的缺乏从未阻止他为既定的专业领域贡献新的见解。事实上，他对大学作为机构如此敌视的原因之一，是因为它们的院系结构阻止了他视为知识和智慧进步所必需的观念交叉融合。讽刺的是，他本人却促成了一个知识和科学专业化程度远高于以往的时代，因为技术进步使越来越多的学科超出了聪明的外行和业余爱好者的理解范围。

莱布尼茨在汉诺威去世，他唯一的哀悼者是他的秘书，一位目击者写道：

他的葬礼更像是一个强盗，而非他真正的身份——他那个时代的装饰。

参考文献

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