函数概念The function concept

今天，如果我们试图回答“数学是什么？”这个难题，我们常常会给出这样的答案，如“它是研究集合上的关系的”或“它是研究集合上的函数的”或“它是研究变量之间依赖关系的”。如果这些说法多少接近真理，那么或许可以合乎逻辑地提出，函数的概念必定在数学发展的最早阶段就已经出现。确实，如果我们考察巴比伦数学，就会发现自然数的平方表、自然数的立方表以及自然数的倒数表。这些表无疑定义了从$\mathbb{N}$到$\mathbb{N}$的函数。E T Bell在1945年写道：

把功能性的本能归功于古代巴比伦人，或许不算过于慷慨；因为函数曾被先后定义为一种表或一种对应。

然而，这无疑是现代数学家以现代眼光看待古代数学的结果。尽管我们可以看出巴比伦人是在处理函数，但他们并不会以这些术语来思考。因此，即使我们能够看出他们在研究特定的函数，也必须拒绝认为函数的概念存在于巴比伦数学之中的观点。

如果我们前进到希腊数学，就会接触到克劳狄乌斯·托勒密的工作。他计算了圆的弦长，这本质上意味着他计算了三角函数。人们或许会想，如果他是在计算三角函数，那么克劳狄乌斯·托勒密必定理解了函数的概念。正如O 朱利叶斯·佩特森在1974年[22]中所写：

但是，如果我们不把函数设想为一个公式，而是设想为一种更一般的、将一个数集的元素与另一个数集的元素联系起来的对应关系，那么显然，这种意义上的函数在《天文学大成》中比比皆是。

的确，佩特森说函数以现代意义贯穿于Almagest.之中，这肯定是正确的，克劳狄乌斯·托勒密处理了函数，但他极不可能对函数的概念有任何理解。正如托瓦尔·尼古拉·蒂勒在[2]的第一页上所写：

时不时地，像刚才给出的那种时代错置的比较有助于我们阐明有文献记载的事实，但无助于解释它们的历史。

在指出这些古代数学著作中不存在函数概念之后，让我们像Youschkevitch在[32]中所做的那样提出，尼克尔·奥里斯姆在1350年将自然定律描述为给出一个量对另一个量的依赖关系的定律时，正在更接近这一概念。Youschkevitch写道[32]：-

函数的概念最初以更一般的形式出现于14世纪牛津和巴黎的自然哲学学派中。

伽利略开始更清楚地理解这一概念。他对运动的研究包含了对变量之间关系的清晰理解。他的另一部分数学工作再次表明他如何开始 grasp 集合之间映射的概念。1638年，他研究了以$O$为中心的两个同心圆的问题，较大的圆$A$的直径是较小圆$B$的两倍。熟悉的公式给出$A$的周长是$B$的两倍。但取圆$A$上的任意点$P$，则$PA$与圆$B$交于一点。因此伽利略构造了一个将$A$的每个点映射到$B$的一个点的函数。类似地，如果$Q$是$B$上的一个点，那么$OQ$与圆$A$恰好交于一点。他又有了一个函数，这次是从$B$的点到$A$的点。尽管$A$的周长是$B$周长的两倍，它们却有相同数量的点。他还给出了正整数与其平方之间的标准一一对应，这（用现代术语说）给出了`N`与其一个真子集之间的双射。

几乎在伽利略提出这些想法的同时，勒内·笛卡儿在La GéométrieⓉ（《几何学》）中将代数引入几何。他说，通过让直线相继取无限多个不同的值，可以画出一条曲线。这再次将函数概念带入曲线的构造中，因为勒内·笛卡儿考虑的是，当构成代数表达式的量取无限多个值时，代数表达式的值也取无限多个值。

在触及“函数”一词的首次使用之前，让我们暂停片刻。重要的是要理解，这一概念是随时间发展的，随着几十年过去，它的含义在变化，同时也被定义得更加精确。我们已经指出，一个数值表虽然定义了一个函数，但制表者未必将其视为函数。“函数”一词的早期使用确实概括了现代概念的一些想法，但方式要局限得多。

像许多数学术语一样，function一词最初是以其通常的非数学含义使用的。哥特弗里德·威廉·莱布尼茨在1673年8月写道：-

……其他种类的线，在给定的图形中，执行某种功能。

约翰·伯努利在1694年9月2日写给哥特弗里德·威廉·莱布尼茨的一封信中，将函数描述为：-

……由不定量和常量以某种方式形成的量。

在1698年一篇关于等周问题的论文中，约翰·伯努利写到了“纵坐标的函数”（见[32]）。哥特弗里德·威廉·莱布尼茨写信给约翰·伯努利说：-

……我很高兴你按我的意义使用函数这一术语。

就约翰·伯努利而言，这是一个引入时机特别恰当的概念，因为他当时正在研究变分法中的问题，其中函数作为解出现。关于作者如何认为变分法是与发展函数概念关系最为密切的数学理论，更多信息见[28]。

可以说，1748年函数概念在数学中跃居显要地位。这归功于莱昂哈德·欧拉，他在那年出版了Introductio in analysin infinitorumⓉ（《无穷小分析引论》），在书中他将函数概念作为其分析论述的核心。莱昂哈德·欧拉在书中如下定义函数：-

一个变量的函数是由该变量与数或常量以任意方式组成的解析表达式。

这一切都很好，但莱昂哈德·欧拉没有给出“解析表达式”的定义，而是假定读者会将其理解为由加法、乘法、幂、根等通常运算构成的表达式。他把函数分为不同类型，如代数函数和超越函数。类型取决于解析表达式的性质，例如超越函数不是代数函数，比如：-

……指数函数、对数函数，以及积分学大量提供的其他函数。

莱昂哈德·欧拉允许其解析表达式中的代数运算被使用无限次，从而产生无穷级数、无穷乘积和无穷连分数。他后来建议，超越函数应通过将其展开为幂级数来研究。他并未声称所有超越函数都能以这种方式展开，而是说应在每种具体情况下加以证明。然而，莱昂哈德·欧拉的工作中存在一个困难，这导致了混乱，因为他未能区分函数与其表示。然而，Introductio in analysin infinitorum Ⓣ（《无穷小分析引论》）改变了数学家对熟悉概念的思考方式。Jahnke写道[2]：-

直到莱昂哈德·欧拉，三角量正弦、余弦、正切等被视为与圆相关的线段，而非函数。……是莱昂哈德·欧拉引入了函数的观点。

函数概念使莱昂哈德·欧拉在撰写Introductio in analysin infinitorum Ⓣ（《无穷小分析引论》）之前就做出了许多重要发现。例如，它引导他定义了伽马函数，并解决了曾使数学家们困扰相当长时间的问题，即求级数之和

$\large\frac{1}{1^{2}\normalsize} + \large\frac{1}{2^{2}\normalsize} + \large\frac{1}{3^{2}\normalsize} + \large\frac{1}{4^{2}\normalsize} + ...$

他证明了该和为$\pi^{2}/6$，并于1740年发表了这一结果。

让我们回到Introductio in analysin infinitorum Ⓣ（《无穷小分析引论》）的内容。在其中，莱昂哈德·欧拉引入了连续函数、不连续函数和混合函数，但由于前两个概念在现代具有不同的含义，我们选择将莱昂哈德·欧拉的版本称为$E$-连续和$E$-不连续，以避免混淆。一个$E$-连续函数是由单个解析表达式表示的函数，混合函数由两个或多个解析表达式表示，而$E$-不连续函数包括混合函数，但是一个更一般的概念。莱昂哈德·欧拉没有明确说明他所说的$E$-不连续函数是什么意思，尽管很清楚莱昂哈德·欧拉认为它们比混合函数更一般。他后来将它们定义为那些以任意手绘曲线为图形的函数（相当令人困惑的是，本质上就是我们今天所说的连续函数）。

1746年，让·勒朗·达朗贝尔发表了一根振动弦问题的解。当然，这个解依赖于弦的初始形状，而让·勒朗·达朗贝尔在其解中坚持认为，描述弦上每一点初始速度的函数必须是$E$连续的，即由单个解析表达式表示。莱昂哈德·欧拉在1749年发表了一篇论文，反对让·勒朗·达朗贝尔施加的这一限制，声称出于物理原因，必须允许弦的初始形状有更一般的表达式。Youschkevitch写道[32]：-

让·勒朗·达朗贝尔不同意莱昂哈德·欧拉的观点。于是，关于在初始条件和偏微分方程积分中允许何种函数的长期争论就此开始，这种争论在弹性理论、流体动力学、空气动力学和微分几何中不断以越来越多的数量出现。

1755年，莱昂哈德·欧拉出版了另一本极具影响力的书，即Institutiones calculi differentialisⓉ（《微分学初步》）。在这本书中，他以完全一般的方式定义了函数，给出了我们可以合理地说是一个真正现代的函数定义：-

如果某些量如此依赖于另一些量，以至于后者变化时前者也随之变化，那么前者就称为后者的函数。这个定义相当宽泛，包括了由一个量确定另一个量的所有方式。因此，如果$x$表示一个变量，那么所有以任何方式依赖于$x$、或由它确定的量，都称为$x$的函数。

这可能是一个巨大的突破，但在给出这个宽泛的定义之后，莱昂哈德·欧拉随后将这本书用于发展仅使用解析函数的微分学。莱昂哈德·欧拉关于函数类型的定义的第一个问题在1780年被指出，当时人们证明，由不同公式给出的混合函数有时可以由单个公式给出。这种函数最清晰的例子是由奥古斯丁·路易·柯西在1844年给出的，当时他指出函数

$y = x$ 对 $x ≥ 0, y = -x$ 对 $x < 0$

可以用单一公式$y = √(x^{2})$表示。因此，将函数分为$E$连续或混合的没有意义。然而，更严重的反对意见来自约瑟夫·傅里叶的工作，他在1805年指出莱昂哈德·欧拉是错误的。约瑟夫·傅里叶表明，一些不连续函数可以用我们今天称之为约瑟夫·傅里叶级数的东西来表示。因此，$E$连续函数与$E$不连续函数之间的区别并不存在。约瑟夫·傅里叶的工作没有被立即接受，像约瑟夫·拉格朗日这样的领先数学家在这个阶段没有接受他的结果。尼古拉·卢津在[17]和[18]中指出，关于函数的混乱是由于对“函数”与其“表示”（例如正弦和余弦级数）之间区别的理解不足。约瑟夫·傅里叶的工作最终将导致函数概念的澄清，当1829年约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷证明了关于约瑟夫·傅里叶级数收敛性的结果时，从而澄清了函数与其表示之间的区别。

其他数学家给出了他们自己对函数定义的版本。尼古拉·德·孔多塞似乎是最早采纳莱昂哈德·欧拉1755年的一般定义的人，详情见[31]。1778年，尼古拉·德·孔多塞计划五部分著作Traité du calcul integral Ⓣ（积分学教程）的前两部分被送到巴黎科学院。它从未出版，但被许多领先的法国数学家看到。在这部著作中，尼古拉·德·孔多塞区分了三种类型的函数：显函数、仅由未解方程给出的隐函数，以及从物理考虑定义的函数，例如作为微分方程的解。

西尔维斯特·佛朗索瓦·拉克鲁瓦读过尼古拉·德·孔多塞未完成的工作，在1797年写道：-

每一个其值依赖于一个或多个其他量的量被称为这些后者的函数，无论人们知道或不知道必须使用什么运算才能从后者到达前者。

奥古斯丁·路易·柯西在1821年提出了一个定义，使变量之间的依赖关系成为函数概念的核心。他在Cours d'analyseⓉ（《分析教程》）中写道：-

如果变量量之间如此连接，以至于给定其中一个的值，就能推断出所有其他量的值，人们通常设想这些不同的量通过其中一个量来表示，这个量于是被称为自变量；而通过自变量表示的其他量就是人们所称的这个变量的函数。

注意，尽管奥古斯丁·路易·柯西的定义具有一般性，旨在涵盖显函数和隐函数的情形，但他仍然是从公式的角度来考虑函数的。事实上，他在给出这个定义之后立即区分了显函数和隐函数。他还引入了一些概念，表明他仍然是从解析表达式的角度来思考的。

约瑟夫·傅里叶于1822年在Théorie analytique de la ChaleurⓉ（热的解析理论）中给出了如下定义：——

一般来说，函数$f(x)$表示一系列值或纵坐标，其中每一个都是任意的。给定横坐标$x$的无穷多个值，就有同样数目的纵坐标$f(x)$。所有这些都有实际的数值，或正、或负、或为零。我们并不假定这些纵坐标服从某个共同的规律；它们以任意方式彼此相继，每一个都仿佛是作为单个量给出的。

显然，约瑟夫·傅里叶给出的定义有意偏离了解析表达式。然而，尽管如此，当他开始证明关于将任意函数表示为约瑟夫·傅里叶级数的定理时，他使用了这样一个事实：他的任意函数在现代意义上是连续的！

约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷在1837年接受了约瑟夫·傅里叶的函数定义，并在给出这个定义后立即定义了一个连续函数（使用现代意义上的连续）。约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷还给出了一个在区间[0, 1]上处处不连续的函数的例子，即$f(x)$，其定义为：如果$x$是有理数则为0，如果$x$是无理数则为1。

1838年，罗巴切夫斯基给出了一个一般函数的定义，该定义仍然要求它是连续的：——

$x$的函数是一个数，它对每个$x$给出，并随$x$一起逐渐变化。函数的值可以通过解析表达式给出，也可以通过一个条件给出，该条件提供了一种检验所有数并从中选出一个的方法，或者最后，这种依赖关系可能存在但仍然是未知的。

当然，约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷的处处不连续函数在罗巴切夫斯基的定义下将不是一个函数。赫尔曼·汉克尔在1870年哀叹函数概念中仍然盛行的混乱：-

一个人基本上按莱昂哈德·欧拉的意义定义函数，另一个人要求y必须按照某种规律随x变化，却不解释这个晦涩的概念，第三个人按约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷的方式定义它，第四个人则根本不定义它。然而，每个人都从他的概念中推出并不包含在该概念中的结论。

大约在这个时候，许多病态函数被构造出来。奥古斯丁·路易·柯西给出了一个早期的例子，他指出$f(x) = exp(-1/x^{2})$对于$x ≠ 0, f(0) = 0$是一个连续函数，其在0处的所有导数都等于0。因此它有一个处处收敛的布鲁克·泰勒级数，但只在0处等于该函数。1876年，Paul du Bois-Reymond构造了一个连续函数，其约瑟夫·傅里叶级数在某一点发散，从而更清楚地区分了函数与其表示。这条路线在1885年得到进一步发展，当时卡尔·魏尔斯特拉斯证明了任何连续函数都是多项式一致收敛序列的极限。更早的1872年，卡尔·魏尔斯特拉斯曾向柏林科学院提交了一篇论文，给出了一个处处不可微的连续函数的例子。Lützen在[2]中写道：-

Weierstrass的函数与他的大多数同时代人所持的直觉相矛盾，这种直觉认为连续函数除了在“特殊点”之外都是可微的。它引起了轰动，并且根据赫尔曼·汉克尔的说法，当du Bois-Reymond在1875年发表它时，人们难以置信。

儒勒·昂利·庞加莱对函数定义所采取的方向感到不满。他在1899年写道：-

半个世纪以来，我们看到大量离奇的函数，它们似乎被迫尽可能不像那些服务于某种目的的诚实函数。……从前，当发明一个新函数时，是着眼于某种实际目的。今天，它们被发明出来是为了表明我们祖先的推理有误，而我们从中除了这一点之外永远得不到更多东西。如果逻辑是教师的唯一指南，他就必须从最一般的、也就是说最怪异的函数开始。

更现代的定义把这个概念带到了哪里？爱徳华·古尔萨在1923年给出了今天大多数教科书都会采用的定义：-

人们说y是$x$的函数，如果对$x$的一个值对应着$y$的一个值。人们用方程$y = f(x)$来表示这种对应关系。

万一这还不够精确，并且涉及“值”和“对应”这样的未定义概念，请看Patrick Suppes在1960年给出的定义：-

定义。 A is a relation ⇔ $(\forall x)(x \in A => (\exists y)(\exists z)(x = (y, z))$。如果$(y, z) \in A.$，我们记作$y A z$

定义。f is a function ⇔ f is a relation and $(\forall x)(\forall y)(\forall z)( x f y$且$x f z$ => $y = z)$。

儒勒·昂利·庞加莱会怎么看待Suppes的定义？