数学史专题
数学始于计数。然而，认为早期的计数就是数学并不合理。只有当计数的某些记录被保存下来，从而出现了数的某种表示时，才能说数学已经开始。
在巴比伦，数学从公元前2000年起发展起来。更早的时候，一种位值记数系统经过漫长时期逐渐形成，其数基为60。它使得任意大的数和分数都能被表示出来，因此被证明是更高级数学发展的基础。
至少从公元前1700年起，人们就研究了诸如且的毕达哥拉斯三元组这类数的问题。线性方程组是在解决数的问题的背景下被研究的。二次方程也得到了研究，这些例子导致了一种数值代数。
与相似图形、面积和体积有关的几何问题也得到了研究，并得到了π的值。
巴比伦的数学基础被希腊人继承，希腊人的独立发展大约从公元前450年开始。芝诺的悖论导致了德谟克利特的原子论。对概念更精确的表述使人们认识到有理数不足以度量所有长度。无理数的一种几何表述出现了。对面积的研究导致了一种积分形式。
圆锥曲线的理论显示了阿波罗尼奥斯纯数学研究的一个高峰。进一步的数学发现是由天文学驱动的，例如三角学的研究。
希腊数学的重大进展是从公元前300年到公元200年。此后，进展在伊斯兰国家继续。数学尤其在伊朗、叙利亚和印度繁荣。这项工作虽不及希腊人的进展，但除了伊斯兰的进展外，它还保存了希腊数学。大约从11世纪起，巴斯的巴斯的阿德拉德，然后是斐波那契，将这种伊斯兰数学及其对希腊数学的知识带回了欧洲。
欧洲数学的重大进展在16世纪初随着卢卡·帕西奥利、然后是吉罗拉莫·卡尔达诺、尼科洛·塔尔塔利亚和洛多维科·费拉里对三次和四次方程的代数解法而再次开始。尼古拉·哥白尼和伽利略彻底改变了数学在宇宙研究中的应用。
代数方面的进展产生了重大的心理影响，对数学研究，特别是代数研究的热情，从意大利传播到了比利时的西蒙·斯蒂文和法国的弗朗索瓦·韦达。
17世纪，约翰·纳皮尔、亨利·布里格斯等人通过发现对数，极大地扩展了数学作为计算科学的能力。博纳文图拉·卡瓦列里以其无穷小方法在通往微积分的道路上取得了进展，而勒内·笛卡儿则将代数方法的力量添加到了几何学中。
通往微积分的进展在皮埃尔·德·费马那里继续，他与布莱兹·帕斯卡一起开始了概率的数学研究。然而，微积分将成为17世纪发展中最具重要性的主题。
艾萨克·牛顿在其老师伊萨克·巴罗等许多早期数学家的基础上，将微积分发展成推动自然研究的工具。他的工作包含了大量新发现，展示了数学、物理学和天文学之间的相互作用。艾萨克·牛顿的引力理论和光学理论将我们带入18世纪。
然而我们还必须提到哥特弗里德·威廉·莱布尼茨，他对微积分采取了远为严格的方法（尽管仍不令人满意），这为18世纪而非艾萨克·牛顿的数学工作奠定了基础。哥特弗里德·威廉·莱布尼茨对伯努利家族各成员的影响，对于微积分在力量和应用的多样性方面的发展至关重要。
18世纪最重要的数学家是莱昂哈德·欧拉，他除了在广泛的数学领域工作外，还发明了两个新分支，即变分法和微分几何。莱昂哈德·欧拉在推进由皮埃尔·德·费马如此有效地开创的数论研究方面也很重要。
到18世纪末，约瑟夫·拉格朗日开始建立严格的函数理论和力学理论。世纪之交前后，出现了皮埃尔·西蒙·拉普拉斯关于天体力学的伟大工作，以及加斯帕尔·蒙日和拉扎尔·卡诺在综合几何方面的重大进展。
19世纪取得了迅速进展。约瑟夫·傅里叶关于热的工作具有根本重要性。在几何方面，尤里乌斯·普吕克在解析几何方面做出了根本性工作，雅各布·施泰纳在综合几何方面做出了根本性工作。
由罗巴切夫斯基和鲍耶发展的非欧几何导致了波恩哈德·黎曼对几何的刻画。卡尔·弗里德里希·高斯被一些人认为是历史上最伟大的数学家，他研究了二次互反律和整数同余。他在微分几何方面的工作彻底改变了这一主题。他还在天文学和磁学方面做出了重大贡献。
19世纪见证了埃瓦里斯特·伽罗瓦关于方程的工作，以及他对数学在研究基本运算时将遵循的道路的洞察。埃瓦里斯特·伽罗瓦引入群概念预示着数学研究的一个新方向，这一方向一直延续到20世纪。
奥古斯丁·路易·柯西在约瑟夫·拉格朗日关于函数的工作基础上，开始了严格分析，并开始研究复变函数理论。这项工作将持续到卡尔·魏尔斯特拉斯和波恩哈德·黎曼。
代数几何由阿瑟·凯莱推进，他在矩阵和线性代数方面的工作补充了威廉·哈密顿和赫尔曼·格拉斯曼的工作。19世纪末，格奥尔格·康托尔几乎单枪匹马地发明了集合论，而他对数概念的分析补充了理查德·戴德金和卡尔·魏尔斯特拉斯关于无理数的主要工作。
分析是由数学物理和天文学的需求推动的。索菲斯·李关于微分方程的工作导致了拓扑群和微分拓扑的研究。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦将彻底改变分析在数学物理中的应用。统计力学由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦、路德维希·玻尔兹曼和约西亚·威拉德·吉布斯发展起来。它导致了遍历理论。
积分方程的研究是由静电学和位势理论的研究推动的。埃里克·伊瓦尔·弗雷德霍姆的工作导致了大卫·希尔伯特和泛函分析的发展。
记号与交流
有许多重大的数学发现，但只有那些能被他人理解的发现才能带来进步。然而，数学概念的易于使用和理解取决于它们的记号。
例如，处理数字显然受到糟糕记号的阻碍。试着用罗马数字把两个数相乘。MLXXXIV 乘以 MMLLLXIX 是多少？当然，加法是另一回事，在这种情况下罗马数字自有其优势，大多数算术都是把数字相加的商人，不愿放弃使用罗马数字。
记号问题的其他例子还有哪些？最著名的可能是哥特弗里德·威廉·莱布尼茨和艾萨克·牛顿使用的微积分记号。哥特弗里德·威廉·莱布尼茨的记号更容易推广微积分的观念，而艾萨克·牛顿的记号虽然适合描述速度和加速度，但在考虑二元函数时潜力小得多。爱国的英国数学家使用艾萨克·牛顿的记号，与追随哥特弗里德·威廉·莱布尼茨的欧洲大陆数学家相比，使自己处于不利地位。
让我们想一想，我们多么依赖数学记号与约定。请任何一位数学家解，你都会得到答案。如果你得到答案，我会非常惊讶，但为什么不呢？我们常常在没有意识到的情况下，使用一种约定：字母表末尾附近的字母表示未知数，而开头附近的字母表示已知量。
情况并非总是如此：托马斯·哈里奥特像当时的其他人一样，用作为他的未知数。我们使用的约定（字母表末尾附近的字母表示未知数）是由勒内·笛卡儿在1637年引入的。其他约定已经不再流行，例如弗朗索瓦·韦达的约定，他用元音表示未知数，用辅音表示已知数。
当然，还包含我们未加注意就使用的其他记号约定。例如，符号“=”是由罗伯特·雷科德在1557年引入的。此外，用来表示与的乘积，这是所有记号中最有效的，因为什么都不用写！
辉煌的发现？
要理解重大数学发现的卓越之处相当困难。一方面，它们常常显得像是孤立的灵光一闪，尽管事实上它们是许多往往能力稍逊的数学家长期工作的结晶。
例如，关于艾萨克·牛顿还是哥特弗里德·威廉·莱布尼茨先发现微积分的争论很容易回答。两人都没有发现，因为艾萨克·牛顿肯定是从他的老师伊萨克·巴罗那里学到微积分的。当然，我并不是说伊萨克·巴罗应该获得发现微积分的荣誉，我只是指出微积分源于一个始于希腊数学的长期进展过程。
现在我们面临一种危险，即把重大数学发现贬低为不过是某人在“恰当的时候”研究某个课题的运气。这同样完全不公平（尽管这确实在一定程度上解释了为什么两三个人常常在大致同一时间独立发现某事物）。这些发现中仍然有天才的闪光，往往来自更深刻的理解，或更清晰地看到某些想法的重要性。
我们如何看待历史
我们从自身理解和精深的立场来看待数学史。不可能有其他方式，但尽管如此，我们必须努力体会我们的观点与几个世纪前数学家的观点之间的差异。今天数学的教学方式常常使人们更难理解过去的困难。
没有任何理由仅仅为了作为诸如这类方程的解而引入负数。事实上，根本没有真正的理由引入负数。没有人拥有-2本书。我们可以把2看作每个含2个对象的集合都具有的某种抽象属性。这本身就是一个深刻的想法。把2个苹果加到3个苹果上是一回事。认识到存在抽象属性2和3，它们适用于每个含2个和3个元素的集合，并且2 + 3 = 5是一个普遍定理，无论这些集合是苹果、书还是树都适用，这就从计数进入了数学的领域。
负数没有这种具体的表示作为抽象的基础。它们的引入经历了漫长的斗争，这并不奇怪。理解这些困难对任何试图教小学儿童的教师都有好处。即使是我们视为最基本概念的整数，也具有一种复杂性，只有通过考察历史背景才能正确理解。
一个挑战
如果你认为数学发现很容易，那么这里有一个挑战让你思考。约翰·纳皮尔、亨利·布里格斯和其他人在近400年前向世界介绍了对数。这些对数在350年间被用作算术计算的主要工具。使用对数节省了惊人的努力，如果没有对数，科学中必要的繁重计算怎么可能进行呢。
然后世界变了。袖珍计算器出现了。对数仍然是一个重要的数学函数，但它在计算中的使用已经永远消失了。
这就是挑战。什么将取代计算器？你可能会说这是一个不公平的问题。然而，让我提醒你，约翰·纳皮尔在对数的同时发明了机械计算机的基本概念。将导致袖珍计算器被取代的基本思想几乎肯定就在我们身边。
我们可以设想更快的计算器、更小的计算器、更好的计算器，但我所要求的是与计算器截然不同的东西，就像计算器本身与对数表截然不同一样。我对自己的问题有一个答案，但说出它就会破坏我提出这个挑战的意义。想一想，并意识到发明非欧几何、群、广义相对论、集合论……是多么困难。
作者：J J O'Connor 和 E F Robertson
最后更新于1997年2月