集合论史A history of set theory

集合论的历史与大多数其他数学领域的历史颇为不同。对于大多数领域，通常可以追溯到一个漫长的过程，其中各种思想逐渐演变，直到最终的灵感闪现——往往由多位数学家几乎同时产生——带来一项具有重大意义的发现。

然而集合论却颇为不同。它是一个人——格奥尔格·康托尔——的创造。在我们讲述格奥尔格·康托尔发展该理论的主要故事之前，先考察一些早期的贡献。

无穷的观念自希腊时代起就一直是深入思考的主题。芝诺在约公元前450年以其关于无穷的问题做出了早期的重要贡献。到了中世纪，关于无穷的讨论已经引出了对无穷集合的比较。例如阿尔贝特在Questiones subtilissime in libros de celo et mundiⓉ中证明了，一根无限长的梁与三维空间具有相同的体积。他通过将梁锯成想象中的小块，再把这些小块拼装成填满空间的层层同心壳来证明这一点。

伯纳德·波尔查诺 是一位思想深邃的哲学家和数学家。1847 年，他考虑了具有以下定义的集合

当我们把其各部分的排列视为无关紧要时，我们所构想出的观念或概念的一种体现。

伯纳德·波尔查诺 为无限集的概念进行了辩护。当时许多人认为无限集不可能存在。伯纳德·波尔查诺 给出了例子，表明与有限集不同，无限集的元素可以与其某个真子集的元素建立一一对应。这一思想最终被用于有限集的定义。

然而正是有了格奥尔格·康托尔的工作，集合论才得以建立在恰当的数学基础之上。格奥尔格·康托尔早期的工作是在数论方面，他在1867年至1871年间就此主题发表了许多文章。这些文章虽然质量很高，却看不出是出自一个即将改变整个数学进程的人之手。

1872年发生了一件具有重大意义的事，格奥尔格·康托尔去了一趟瑞士。在那里格奥尔格·康托尔遇到了理查德·戴德金，两人之间建立起了持续多年的友谊。1873年至1879年间两人之间的大量通信保存了下来，尽管这些信件讨论的数学内容相对较少，但显然理查德·戴德金那种深刻抽象的逻辑思维方式对格奥尔格·康托尔思想的发展产生了重大影响。

格奥尔格·康托尔从数论转向了三角级数的论文。这些论文包含了格奥尔格·康托尔关于集合论的最初思想，以及关于无理数的重要结果。理查德·戴德金独立研究无理数，而理查德·戴德金发表了Continuity and irrational numbers.

1874年，格奥尔格·康托尔在奥古斯都·利奥波德·克雷勒的期刊上发表了一篇文章，标志着集合论的诞生。格奥尔格·康托尔于1878年向奥古斯都·利奥波德·克雷勒的期刊提交了一篇后续论文，但此时集合论已成为争议的中心。利奥波德·克罗内克是奥古斯都·利奥波德·克雷勒期刊的编辑，对格奥尔格·康托尔论文中包含的革命性新思想感到不满。格奥尔格·康托尔曾想撤回论文，但理查德·戴德金说服格奥尔格·康托尔不要撤回，卡尔·魏尔斯特拉斯支持发表。论文发表了，但格奥尔格·康托尔再也没有向奥古斯都·利奥波德·克雷勒的期刊提交任何作品。

在其 1874 年的论文中，格奥尔格·康托尔 至少考虑了两种不同的无穷。在此之前，无穷的阶并不存在，但所有无限集合都被认为是“同样大小”的。然而，格奥尔格·康托尔 考察了代数实数集，即形如以下方程的所有实根组成的集合

$a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + . . . + a_{1} x + a_{0} = 0$，

其中 $a_{i}$ 是整数。格奥尔格·康托尔 用以下方式证明代数实数与自然数一一对应。

对于上述形式的方程，定义其指数为

$|a_{n}| + |a_{n-1}| + |a_{n-2}| + ... + |a_{1}| + |a_{0}| + n$。

指数为 2 的方程只有一个，即 $x = 0$。指数为 3 的方程有 3 个，即

$2x = 0, x + 1 = 0, x - 1 = 0$和$x^{2} = 0$。

这些给出根 0、1、-1。对每个指数，方程只有有限多个，因此根也只有有限多个。将它们与自然数一一对应现在就很清楚了，只需按指数顺序排列，并在每个指数内按大小递增排列。

在同一篇论文中，格奥尔格·康托尔通过一个嵌套区间的论证表明实数不能与自然数一一对应，这个论证比今天所用的（实际上归功于格奥尔格·康托尔在1891年的一篇后期论文）更为复杂。格奥尔格·康托尔现在指出，这证明了约瑟夫·刘维尔的一个定理，即每个区间内都有无穷多个超越数（即非代数数）。

在他的下一篇论文中，也就是格奥尔格·康托尔在奥古斯都·利奥波德·克雷勒的期刊上发表遇到问题的那篇，格奥尔格·康托尔引入了集合等价的概念，并说如果两个集合能一一对应，则它们是等价的或具有相同的势。“势”这个词格奥尔格·康托尔取自雅各布·施泰纳。他证明了有理数具有最小的无穷势，还表明$\mathbb{R}^{n}$与$\mathbb{R}$具有相同的势。他进一步表明，可数多个$\mathbb{R}$的副本仍然与$\mathbb{R}$具有相同的势。在这个阶段，格奥尔格·康托尔还没有使用可数这个词，但他将在1883年的一篇论文中引入这个词。

格奥尔格·康托尔从1879年到1884年发表了一部六部分的集合论专著。这部著作出现在Mathematische Annalen中，尽管对格奥尔格·康托尔思想的反对日益增长，编辑出版这部著作仍是一个勇敢的举动。反对派的主要人物是利奥波德·克罗内克，他在数学界是一位极具影响力的人物。

利奥波德·克罗内克 的批评建立在他只相信构造性数学这一事实上。他只接受能够从直观给定的自然数集有限地构造出来的数学对象。当 费迪南德·冯·林德曼 在 1882 年证明 π 是超越数时，利奥波德·克罗内克 说

你对 π 的漂亮研究有什么用。当无理数不存在时，为什么要研究这样的问题。

当然，按照这种思维方式，格奥尔格·康托尔的各种不同的无穷是不可能的。

然而格奥尔格·康托尔继续他的工作。他在六部分专著中的第五部分发表于1883年，讨论了良序集。序数被引入为良序集的序型。超限数的乘法和加法也在这部著作中定义，尽管格奥尔格·康托尔将在后来的著作中对超限算术给出更完整的论述。格奥尔格·康托尔用了相当一部分篇幅来为他的工作辩护。格奥尔格·康托尔声称数学是相当自由的，任何概念都可以引入，唯一条件是它们没有矛盾并且用先前接受的概念来定义。他还引用了许多先前对无穷概念发表过意见的作者，包括亚里士多德、勒内·笛卡儿、乔治·伯克利、哥特弗里德·威廉·莱布尼茨和伯纳德·波尔查诺。

1884年是格奥尔格·康托尔的危机之年。他对在哈勒的职位不满意，本想搬到柏林。然而这一调动被赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨和利奥波德·克罗内克阻止了。1884年，格奥尔格·康托尔写了52封信给约斯塔·米塔格-莱弗勒，每一封都攻击利奥波德·克罗内克。在这个精神危机的年份，格奥尔格·康托尔似乎对自己的工作失去了信心，并申请讲授哲学而非数学。危机没有持续太久，到1885年初，格奥尔格·康托尔已经恢复，对自己工作的信心也回来了。然而，尽管1884年之后多年有大量重要工作，有一些迹象表明他从未完全达到他1874年至1884年这10年间非凡论文所展现的天才高度。

虽然在集合论的发展中不是特别重要，但值得注意的是，朱塞佩·皮亚诺在1889年引入了符号∈表示“是……的元素”。它来自希腊语中意为“是”的单词的第一个字母。

1885年，格奥尔格·康托尔继续扩展他的基数理论和序型理论。他扩展了序型理论，使得他先前定义的序数现在成为一个特例。1895年和1897年，格奥尔格·康托尔发表了他最后的集合论双部分专著。它包含一个看起来像现代集合论书籍的引言，定义了集合、子集等。格奥尔格·康托尔证明了如果$A$和$B$是集合，$A$等价于$B$的一个子集，且$B$等价于$A$的一个子集，那么$A$和$B$等价。这个定理也由费利克斯·伯恩斯坦证明，并由恩斯特·施勒德独立证明。

1895年和1897年这两个年份在另一种意义上对集合论很重要。1897年，第一个发表的悖论出现了，由切萨雷·布拉利-福尔蒂发表。由于切萨雷·布拉利-福尔蒂把良序集的定义搞错了，这个悖论的一些影响被削弱了！然而，即使定义被修正，悖论依然存在。它基本上围绕所有序数构成的集合。所有序数构成的集合的序数必定是一个序数，这导致矛盾。据信格奥尔格·康托尔在1885年自己发现了这个悖论，并在1886年写信告诉了大卫·希尔伯特。这有点令人惊讶，因为格奥尔格·康托尔在切萨雷·布拉利-福尔蒂的论文发表时对其进行了严厉批评。1897年对格奥尔格·康托尔来说在另一种意义上也很重要，因为那一年在苏黎世举行了第一届国际数学家大会，在那次会议上格奥尔格·康托尔的工作受到了极高的推崇，包括阿道夫·赫维兹和雅克·阿达马在内的许多人都称赞它。

1899年，格奥尔格·康托尔发现了另一个由所有集合的集合产生的悖论。所有集合的集合的基数是多少？显然它必须是可能的最大基数，然而一个集合的所有子集构成的集合的基数总是比该集合本身的基数更大。看来对利奥波德·克罗内克的批评至少部分是正确的，因为集合概念扩展得太远似乎正在产生悖论。‘终极’悖论由伯特兰·罗素于1902年发现（并由恩斯特·策梅洛独立发现）。它简单地定义了一个集合

$A = \{ X | X$不是$X \}$的成员。

伯特兰·罗素接着问道：Is A an element of A？无论是假设$A$是$A$的成员，还是假设$A$不是$A$的成员，都会导致矛盾。集合构造本身似乎就产生了一个悖论。

伯特兰·罗素写信给戈特洛布·弗雷格，告诉他这个悖论。戈特洛布·弗雷格当时即将完成他关于算术基础的主要论著。戈特洛布·弗雷格在他的论著中加了一段致谢。

一位科学家几乎不会遇到比这更令人不快的事：就在工作完成之际，基础却坍塌了。当这部著作几乎要付印时，伯特兰·罗素先生的一封信使我陷入了这种境地。

然而，到这一阶段，集合论已开始对数学的其他领域产生重大影响。昂利·勒贝格于1901年定义了“测度”，并于1902年利用集合论概念定义了勒贝格积分。分析需要格奥尔格·康托尔的集合论，它不能局限于利奥波德·克罗内克精神下的直觉主义风格数学。人们不是因悖论而抛弃集合论，而是寻求各种方法，既保留集合论的主要特征，又消除悖论。

悖论来自‘选择公理’吗？格奥尔格·康托尔曾使用‘选择公理’，但并不觉得有必要把它单独挑出来给予任何特殊处理。第一个明确注意到自己使用了这样一条公理的人似乎是朱塞佩·皮亚诺，他在1890年处理一个微分方程组解的存在性证明时这样做了。1902年Beppo Levi再次提到了它，但第一个正式引入这条公理的是恩斯特·策梅洛，他在1904年证明了每个集合都可以良序化。这个定理曾被格奥尔格·康托尔猜想。Émile 埃米尔·博雷尔指出，选择公理实际上等价于恩斯特·策梅洛定理。

库尔特·弗雷德里希·哥德尔在1940年表明，选择公理不能用集合论的其他公理来否证。直到1963年，科恩才证明了选择公理独立于集合论的其他公理。

用戈特洛布·弗雷格的话说，伯特兰·罗素的悖论产生了undermined the whole of mathematics。伯特兰·罗素试图修复损害，在他与阿尔弗雷德·诺思·怀特海合著的主要著作Principia Mathematica中尝试把数学重新置于逻辑基础之上。这部著作试图将数学的基础归结为逻辑，并产生了极大的影响。然而，通过引入‘类型论’来避免悖论的方法使得人们无法说一个类是否是自身的成员。这似乎不是绕开这些问题的一种很令人满意的方式，其他人寻找了不同的途径。

恩斯特·策梅洛在1908年首次尝试对集合论进行公理化。许多其他数学家也尝试对集合论进行公理化。亚伯拉罕·弗兰克尔、冯·诺伊曼、保罗·贝尔奈斯和库尔特·弗雷德里希·哥德尔都是这一发展中的重要人物。库尔特·弗雷德里希·哥德尔表明了任何公理化理论的局限性，而许多数学家如戈特洛布·弗雷格和大卫·希尔伯特的目标永远无法实现。