数学史专题
在数学史档案中写一篇关于无穷的文章会带来特殊的问题。是纯粹集中于该主题的数学方面，还是考虑哲学甚至宗教方面？在本文中，我们认为从历史上看，不能将哲学和宗教方面与数学方面分开，因为它们在思想如何发展中起着重要作用。在古希腊时期尤其如此，正如威尔伯·诺尔在[26]中所写：-
哲学与数学的相互作用，在古代希腊人对无限的研究中，表现得最为清晰。公元前五世纪爱利亚学派的辩证谜题，在公元前四世纪经柏拉图和亚里士多德的深化，与公元前四世纪欧多克索斯以及公元前三世纪欧几里得和阿基米德所应用的精确极限方法的发明相辅相成。
当然，从人们开始思考他们所生活的世界之时起，关于无限的问题就出现了。有关于时间的问题。世界是在某一特定瞬间产生的，还是一直存在？世界会永远继续下去，还是有有限的终点？然后有关于空间的问题。如果一个人一直朝某个特定方向旅行，会发生什么？他会到达世界的尽头，还是可以永远旅行下去？再者，在地球上方，人们可以看到恒星、行星、太阳和月亮，但这个空间是有限的，还是永远延伸下去？
上述问题非常根本，必定在有文字记载的历史之前很久就困扰着思想家们。还有一些关于无穷的更微妙的问题，也是在人们开始深入思考世界的阶段被提出的。如果把一块木头切成两块，然后再把其中一块切成两块，并继续这样做，会怎样？一个人能永远这样做吗？
我们应当从“公元前五世纪的Eleatic”芝诺开始叙述无穷。早期希腊人在发展数学和科学的早期阶段就遇到了无穷的问题。在对物质的研究中，他们意识到了这个根本问题：人们能否继续将物质分割成越来越小的碎片，还是会达到一个不能再进一步分割的微小碎片。毕达哥拉斯曾主张“一切皆数”，他的宇宙由有限自然数构成。然后有原子论者，他们相信物质由无限数量的不可分物组成。巴门尼德和埃利亚学派，其中包括芝诺，反对原子论者。然而芝诺的悖论表明，物质可连续分割的信念和原子论的信念都会导致明显的矛盾。
当然，这些悖论源于无穷。亚里士多德似乎没有充分领会芝诺论证的意义，但无穷 nevertheless 使他感到困扰。他引入了一个将支配思想两千年的观念，而且至今对某些人来说仍是一个有说服力的论证。亚里士多德反对实无穷，并以其取代，他考虑了潜无穷。他的想法是，我们永远无法将自然数作为一个整体来设想。然而，它们潜在地是无穷的，其意义在于：给定任何有限集合，我们总能找到一个更大的有限集合。
与我们的讨论相关的是巴比伦人取得的显著进步，他们引入了位值制数字系统的概念，这首次允许对数字进行简洁表示，而不受其大小的限制。尽管有位值制数字系统，亚里士多德的论证仍然相当有说服力。曾经写下或曾经构想出的自然数只有有限多个。如果是迄今为止所构想出的最大数，那么我会更进一步，写下，或，但被构想出的仍然只有有限多个。亚里士多德在Physics第三卷第4-8章中讨论了这一点（见[36]），他在那里声称，否认实无限存在而只允许潜无限，对数学家来说并无不便：-
我们的论述并没有通过反驳在增加方向上实无限的存在（即不可穿越意义上的存在），而剥夺数学家的科学。事实上，他们不需要无限，也不使用无限。他们只假设有限的直线可以按他们的意愿任意延长。
两千多年后，格奥尔格·康托尔论证说，亚里士多德所做的区分只存在于他的用词中：-
……实际上，潜无限只有一种借来的实在性，因为一个潜无限的概念总是指向一个逻辑上在先的实无限概念，它的存在依赖于后者。
我们将在本文末尾讨论格奥尔格·康托尔的思想，但此刻让我们考虑一下亚里士多德只允许潜无限的做法对后来希腊数学家的影响，特别是对欧几里得的影响；例如参见[36]。那么，人们可能会问，欧几里得如何在公元前300年证明素数集合是无限的？答案在于，欧几里得并未在Elements.中证明这一点。这仅仅是对欧几里得实际陈述为其定理的内容的现代表述，根据托马斯·利特尔·希思的翻译，其内容为：-
素数比任何给定的素数数量都多。
所以实际上，欧几里得所证明的是素数潜在地是无限的，但在实践中，这当然等同于同一回事。他的证明表明，给定任何有限的素数集合，必定存在一个不在该集合中的素数。
我们应该讨论无穷的其他方面，这些方面在Elements.中起着关键作用。在那里欧几里得解释了欧多克索斯的欧多克索斯的穷竭法。现在这种方法常被认为是将圆视为正多边形当边数增加到无穷时的极限。然而，我们应该强烈强调，这不是古希腊人看待这种方法的方式。相反，它是一种避免使用无穷的反证法论证。例如，为了证明两个面积和相等，该方法会假设面积小于，然后在有限步后导出矛盾。再次假设面积小于也会在有限步内导致矛盾。
然而，最近有证据表明，并非所有古希腊数学家都感到必须只处理潜无限。[32]的作者注意到，阿基米德在阿基米德重写本中的The Method里以一种引人注目的方式研究了无限多个对象：-
……阿基米德取了三对数量无限的量，并断言它们分别“在数量上相等”。……我们怀疑在希腊数学中——或者实际上在古希腊著作中——可能没有其他已知的地方，其中数量无限的对象被称为“在量上相等”。……
某些数量无限的对象“在量上”与其他对象“相等”这一提法本身就意味着，并非所有这样的数量无限的对象都如此相等。……我们在这里有无限多个对象——具有确定的、不同的量（即它们几乎具有数）；这样的量以一种具体的方式被操作，显然是通过某种类似于一一对应的东西。……在这种情况下，阿基米德讨论实际的无限，几乎就像它们拥有通常意义上的数一样……
即使大多数数学家接受了亚里士多德的潜在无穷论证，另一些人则主张实无穷。公元前一世纪，Lucretius写下了他的诗作De Rerum Natura Ⓣ（《论自然》），在诗中他反对宇宙在空间上有界。他的论证很简单。假设宇宙是有限的，那么必定存在一个边界。现在，如果一个人接近那个边界并向它投掷一个物体，那么没有什么能阻止它，因为任何阻止它的东西都将位于边界之外，而根据定义，宇宙之外不存在任何东西。当然，我们现在知道Lucretius的论证是错误的，因为空间可以是有限的而不必有边界。然而，在许多世纪里，边界论证主导了关于空间是否有限的争论。
主要变成神学家们主张实无穷。例如，圣奥古斯丁，这位在公元5世纪初将柏拉图的哲学大量融入基督教的基督教哲学家，主张一个无限的上帝，并且这个上帝能够进行无限的思想。他在他最著名的著作City of God中写道：-
那些说无限的事物超出上帝知识的人，同样可以一头扎进这不虔的深渊，说上帝不知道所有的数。……哪个疯子会这么说？……我们是什么卑鄙的家伙，竟敢冒昧地限制他的知识。
印度数学家在从7世纪的婆罗摩笈多开始，历时500年的时间里致力于将零引入他们的数系。他们苦苦挣扎的问题是如何使零遵守通常的算术运算。婆什迦罗第二在Bijaganita:-中写道
一个量除以零成为一个分数，其分母为零。这个分数被称为无限量。在这个由以零为除数的量组成的量中，没有变化，尽管可以插入或提取许多；正如当世界被创造或毁灭时，在无限且不变的上帝中没有变化，尽管众多存在秩序被吸收或发出。
这是一次将无穷以及零引入数系的尝试。当然，这行不通，因为如果像婆什迦罗第二所建议的那样引入它，那么0乘以无穷必须等于每一个数，所以所有数都相等。
基督教神学家和哲学家托马斯·阿奎那利用没有数字可以表示无穷这一事实，作为反对实无穷存在的论据。在写于13世纪的Summa theologia Ⓣ（《神学大全》）中，托马斯·阿奎那写道：-
实无穷多的存在是不可能的。因为人们所考虑的任何事物的集合必定是一个特定的集合。而事物的集合是由其中事物的数目来确定的。现在没有数是无穷的，因为数来自于通过一组单位进行计数。所以任何事物的集合实际上都不可能固有地无限，也不可能偶然地无限。
这个反对意见确实是一个合理的意见，在阿奎那的时代没有令人满意的答复。一个实无穷集合需要一个度量，而在阿奎那看来这样的度量似乎是不可能的。我们必须前进到19世纪末的格奥尔格·康托尔，才找到了无穷集合的令人满意的度量。文章[15]考察了：-
……两位13世纪神学家亚历山大·内夸姆和理查德·菲沙克用来捍卫神圣无限一致性的数学论证。与他们的论证相关，提出了以下问题：为什么神学家们认为在解决一个纯神学问题时诉诸数学例子是恰当的？
数学归纳法在该方法的任何严格表述出现之前数百年就开始被使用了。它确实提供了一种证明命题对无穷多个整数值成立的技术。例如，卡拉吉在公元1000年左右在他的论证中使用了一种不严格的数学归纳法形式。基本上，卡拉吉所做的是展示一个关于的论证，然后基于他对的结果证明的情形，然后基于他对的结果证明的情形，并继续到大约，然后指出人们可以无限地继续这个过程。通过这些方法，他给出了使用布莱兹·帕斯卡三角形生成二项式系数的优美描述。
布莱兹·帕斯卡不知道卡拉吉关于布莱兹·帕斯卡三角形的工作，但他确实知道弗朗西斯科·马若利科在17世纪中叶使用了一种数学归纳法论证。布莱兹·帕斯卡在阐述他对布莱兹·帕斯卡三角形的版本时写道：-
尽管这个命题可能有无穷多个情形，我将假定两个引理来给出它的一个非常简短的证明。第一个引理是不证自明的，即该命题对第二行成立。第二个引理是，如果该命题对任意一行成立，那么它必然对下一行也成立。由此可以看出，它必然对所有行都成立；因为根据第一个引理它对第二行成立；然后根据第二个引理它必然对第三行成立，从而对第四行成立，如此以至无穷。
在沿着归纳法的发展前进之后，让我们稍微回溯一下，看看当时关于无限宇宙所提出的论点。亚里士多德以地球为中心的九个天球的有限宇宙模型在很长一段时间内是被普遍接受的观点。然而，它并非没有反对者，我们已经看到了卢克莱修支持无限宇宙的论点。尼古拉在15世纪中叶是一位杰出的科学家，他主张宇宙是无限的，恒星是遥远的太阳。到了16世纪，欧洲的天主教会开始试图铲除这类异端。焦尔达诺·布鲁诺不是数学家或科学家，但他在On the infinite universe and worlds（1584）中大力主张无限宇宙的观点。他被带到宗教裁判所面前，遭受了九年的酷刑，试图迫使他同意宇宙是有限的。他拒绝改变自己的观点，并于1600年被烧死在火刑柱上。
伽利略深知Bruno在宗教裁判所手中的命运，他在提出自己的观点时变得非常谨慎。他在Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienzeⓉ（Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a nuse scienze）（1638）中讨论了无限的问题，其中他研究了以为中心的两个同心圆的问题，较大的圆的直径是较小的圆的两倍。熟悉的公式给出的周长是的两倍。但取圆上的任意一点，则与圆交于一点。类似地，如果是上的一点，则延长后与圆恰好交于一点。尽管的周长是周长的两倍，它们却有相同数量的点。伽利略提出在较短的线段上添加无穷多个无穷小的间隙，使其等于较长的线段，同时允许它们有相同数量的点。他写道：-
这些困难是真实存在的；而且它们还不是唯一的困难。但让我们记住，我们面对的是无限和不可分，两者都超越了我们的有限理解，前者因为其巨大，后者因为其微小。尽管如此，人们还是忍不住要讨论它们，即使这必须以迂回的方式进行。
然而，伽利略认为这些困难之所以产生，是因为：-
……我们试图用我们有限的头脑去讨论无限，把我们对有限和受限事物所赋予的性质赋予它；但我认为这是错误的，因为我们不能把无限量说成是一个比另一个更大、更小或相等。
随后他给出了另一个悖论，与圆悖论类似，但这次涉及数字，因此无法插入无限不可分量来修正这一情况。他给出了正整数与其平方之间的标准一一对应。一方面，这表明平方数的数量与整数一样多。然而大多数数并非完全平方数。伽利略说这仅仅意味着：-
……所有数的总体是无限的，平方数的数量也是无限的；平方数的数量既不小于所有数的总体，后者也不大于前者；最后，“等于”、“大于”和“小于”这些属性不适用于无限，而只适用于有限量。
在[25]中，Knobloch重新审视了伽利略的这项工作。在同一篇论文中，哥特弗里德·威廉·莱布尼茨用极限过程对无穷小和无限的仔细定义得到了考察。哥特弗里德·威廉·莱布尼茨对微积分的发展建立在长期被研究的无穷小思想之上。
博纳文图拉·卡瓦列里写了Geometria indivisibilibus continuorum Ⓣ（Continuous indivisible geometry）（1635），其中他将线视为由无限多个点组成，将面积视为由无限多条线组成。他给出了相当严格的比较面积的方法，称为“博纳文图拉·卡瓦列里原理”。如果一条线平行于自身移动穿过两个区域，并且如果该线在每个区域内的长度之比总是，那么这两个区域之比为。
罗贝瓦尔在将线视为无限多个不可分小部分之和的道路上走得更远。他引入了比较不可分量大小的方法，因此即使它们本身没有大小，也可以定义它们大小的比。这在处理无限过程方面是真正的进步，因为他第一次能够忽略与其他量相比很小的量。然而，能够正确使用这种方法与写下它何时有效的严格精确条件之间是有区别的。因此产生了悖论，导致一些人希望拒绝不可分量方法。
罗马学院拒绝了不可分量，并于1649年在耶稣会学院禁止教授它们。教会未能让Bruno沉默，尽管将他处死；未能让伽利略沉默，尽管将他软禁；也不会通过禁止教授不可分量来阻止微分和积分微积分的进展。相反，教会只会迫使数学家在批评面前力求更大的严格性。
我们今天用来表示无穷大的符号 ∞，最早由弗瑞兹·约翰 约翰·沃利斯使用，他在 1655 年的De sectionibus conicis Ⓣ（圆锥曲线）中使用了它，并于 1656 年在Arithmetica infinitorum Ⓣ（无穷小算术）中再次使用。他选择这个符号来表示人们可以无限次地遍历该曲线这一事实。
三年后，皮埃尔·德·费马发现了正整数的一个重要性质，即它不包含无限下降序列。他在1659年引入无限下降法时做到了这一点：-
……在书中给出的普通方法不足以处理这些困难命题的情况下，我终于找到了一种完全独特的处理它们的方法。我称这种证明方法为无限下降……
该方法基于表明：如果一个命题对某个正整数值为真，那么它对某个小于的正整数值也为真。由于正整数中不存在无限下降链，这样的证明将导致矛盾。皮埃尔·德·费马用他的方法证明了不存在正整数解
。
艾萨克·牛顿否定了不可分量，转而采用他的流数，流数是量之瞬时变化的度量。当然，无穷并未被避开，因为他仍然必须考虑无限小的增量。在某种意义上，这是艾萨克·牛顿对芝诺之箭问题的回答：-
芝诺说，如果一切事物在占据与自身相等的空间时要么静止要么运动，而运动的对象处于瞬间，那么运动的箭是不动的。
艾萨克·牛顿的流数产生了奇妙的数学结果，但许多人对他使用无限小增量心存疑虑。George 乔治·伯克利的名言简洁地概括了这些反对意见：-
那么这些流数是什么？是消逝增量的速度。而这些同样的消逝增量又是什么？它们既不是有限量，也不是无限小量，也不是无。我们难道不能称它们为已逝量的鬼魂吗？
艾萨克·牛顿相信空间实际上是无限的，而不仅仅是无限大。他声称这样一种无限是可以被理解的，特别是使用几何论证，但它不能被设想。这很有趣，因为正如我们将在下面看到的，其他人利用它不能被设想这一事实来反对实无限。
空间和时间是否无限可分的问题继续困扰着人们。哲学家弗洛伦斯·南丁格尔·大卫休谟在Treatise of human nature（1739年）中主张存在一个最小可感知的大小：-
在纸上点一滴墨水，把目光固定在这滴墨水上，然后退到这样的距离，直到最后看不见它；很明显，在它消失之前的那一刻，这个图像或印象是完全不可分的。
Immanuel Kant在The critique of pure reason（1781）中论证，实无限不可能存在，因为它不能被感知：-
……为了把充满整个空间的世界设想为一个整体，就必须把对一个无限世界的各个部分的相继综合看作已经完成；也就是说，在列举所有共存事物期间，必须把一段无限的时间看作已经流逝。
这就引出了哲学家们常问的问题：如果没有能够设想世界存在的理智，世界还会存在吗？Kant说不；于是我们又回到本文开头附近提出的那一点，即整数集合不是无限的，因为我们永远只能列举出有限多个。
在实无限问题上进展甚微。同样的论证不断出现，却没有朝着更好的理解取得任何确定的进展。卡尔·弗里德里希·高斯在1831年写给Schumacher的一封信中反对实无限：-
我反对将无穷大当作某种完成了的东西来使用，这在数学中是绝不允许的。无穷只是一种说法，其真正含义是一个极限，某些比值无限接近它，而另一些则允许无限制地增大。
也许在无穷概念发展中最重要的事件之一是Bernard 伯纳德·波尔查诺的Paradoxes of the infinite，它发表于1840年。他论证无穷确实存在，其论证涉及集合的概念，他首次对其定义如下：-
我把集合称为一种汇集，其中各部分顺序无关紧要，并且如果只改变顺序，本质的东西不会改变。
为什么定义集合就使实无穷成为现实？答案很简单。一旦人们把整数看作一个集合，那么就有一个单一实体，它必须是实无穷的。亚里士多德会从人们可以找到任意大的有限子集的角度来看待整数。但一旦有了集合概念，这些就被视为整数集合的子集，而整数集合本身必须是实无穷的。也许令人惊讶的是，伯纳德·波尔查诺没有使用这个无穷集合的例子，而是考察所有真命题：-
所有真命题的类很容易看出是无穷的。因为如果我们把注意力固定在任意一个随机选取的真命题上并把它标记为A，我们会发现由“A是真的”这句话所传达的命题与命题A本身不同……
在这个阶段，对无穷的数学研究进入了集合论，关于伯纳德·波尔查诺的贡献以及格奥尔格·康托尔对无穷的处理——他通过基数和序数的定义建立了不同大小的无穷的理论——的更多信息，我们请读者参阅集合论史上关于集合论历史的文章。
无穷小的问题由亚伯拉罕·鲁滨逊在他1966年关于非标准分析的著名著作中置于严格的数学基础之上。格奥尔格·克里泽尔写道：-
这本书在哥特弗里德·威廉·莱布尼茨去世仅250年后问世，呈现了一种严格而有效的无穷小理论，如哥特弗里德·威廉·莱布尼茨所希望的那样，服从与普通数相同的规律。
Fenstad在[17]中考察了无穷与非标准分析。他还审视了其在建模自然现象中的应用。