矩阵与行列式Matrices and determinants

矩阵和行列式的起源可以追溯到公元前2世纪，尽管其痕迹可以追溯到公元前4世纪。然而，直到17世纪末，这些思想才重新出现，发展才真正开始。

矩阵和行列式的起源应该通过线性方程组的研究而产生，这并不奇怪。巴比伦人研究了导致联立线性方程组的问题，其中一些保存在幸存的泥板中。例如，一块大约公元前300年的泥板包含以下问题：-

有两块田地，总面积为1800平方码。一块以每平方码$\large\frac{2}{3}\normalsize$蒲式耳的速率生产谷物，而另一块以每平方码$\large\frac{1}{2}\normalsize$蒲式耳的速率生产谷物。如果总产量为1100蒲式耳，每块田地的面积是多少。

中国人，在公元前200年到公元前100年之间，比巴比伦人更接近矩阵。确实，可以公平地说，汉代写成的文本九章算术给出了已知的第一个矩阵方法的例子。首先设置了一个类似于上面给出的巴比伦例子的问题：-

There are three types of corn, of which three bundles of the first, two of the second, and one of the third make 39 measures. Two of the first, three of the second and one of the third make 34 measures. And one of the first, two of the second and three of the third make 26 measures. How many measures of corn are contained of one bundle of each type?

现在，作者做了一件相当了不起的事。他把三个未知数的三元线性方程组的系数摆成了一张“算板”上的表。

           1   2   3
           2   3   2
           3   1   1
          26  34  39

我们20世纪晚期的方法会让我们把线性方程写成矩阵的行而不是列，但当然方法是一样的。最引人注目的是，这位作者在公元前200年写作时，指示读者将中间一列乘以3并减去右列as many times as possible，然后同样地从第一列的3倍中减去右列as many times as possible。这给出

           0   0   3
           4   5   2
           8   1   1
          39  24  39

接下来，最左边的一列乘以5，然后减去中间一列as many times as possible。这给出

           0   0   3
           0   5   2
          36   1   1
          99  24  39

由此可以通过回代先求出第三种谷物的解，然后是第二种，再是第一种。这种方法，现在称为高斯消元法，直到19世纪初才广为人知。

吉罗拉莫·卡尔达诺，在Ars Magna（1545）中，给出了一个求解两个线性方程组的规则，他称之为regula de modo，而[7]称之为mother of rules！这个规则给出了本质上加布里尔·克拉默求解2×2系统的规则，尽管吉罗拉莫·卡尔达诺没有迈出最后一步。因此吉罗拉莫·卡尔达诺没有达到行列式的定义，但事后看来，我们可以看到他的方法确实导致了定义。

许多初等矩阵理论的标准结果早在矩阵成为数学研究对象之前就出现了。例如德·维特在Elements of curves中，作为1660年拉丁文版勒内·笛卡儿的Géométrie ,评论的一部分出版，展示了坐标轴的变换如何将给定的圆锥曲线方程化为标准形式。这相当于对角化一个对称矩阵，但德·维特从未以这些术语思考。

行列式的概念在日本出现得比在欧洲早。1683年关孝和写了Method of solving the dissimulated problems，其中包含以表格形式写出的矩阵方法，其构造方式与上述中国方法完全一致。尽管没有任何与“行列式”对应的词，关孝和仍然引入了行列式，并基于例子给出了计算它们的一般方法。利用他的“行列式”，关孝和能够求出2×2、3×3、4×4和5×5矩阵的行列式，并将它们应用于解方程，但不是线性方程组。

行列式在欧洲的首次出现是在十年后。1693年，哥特弗里德·威廉·莱布尼茨写信给洛必达。他解释说，方程组

$10 + 11x + 12y = 0\newline 20 + 21x + 22y = 0\newline 30 + 31x + 32y = 0$

有解，因为

10.21.32 + 11.22.30 + 12.20.31 = 10.22.31 + 11.20.32 + 12.21.30

这正是系数矩阵行列式为0的条件。注意，这里哥特弗里德·威廉·莱布尼茨使用的不是数值系数，而是

两个字符，第一个标记它出现在哪个方程中，第二个标记它属于哪个字母。

因此，21表示我们可以写作$a_{21}$的内容。

哥特弗里德·威廉·莱布尼茨确信良好的数学记号是进步的关键，因此他对系数系统的不同记号进行了实验。他未发表的手稿中包含50多种书写系数系统的方式，这些是他在从1678年开始的50年间研究的。只有两篇出版物（1700年和1710年）包含关于系数系统的结果，并且它们使用了与上述他写给洛必达的信中相同的记号。

哥特弗里德·威廉·莱布尼茨用“结式”一词来表示行列式项的某些组合和。他证明了关于结式的各种结果，包括本质上是加布里尔·克拉默法则的内容。他还知道行列式可以按任意一列展开——即现在所谓的皮埃尔·西蒙·拉普拉斯展开。除了研究方程的系数系统从而引出行列式外，哥特弗里德·威廉·莱布尼茨还研究了二次型的系数系统，这自然地引向了矩阵理论。

在1730年代，科林·麦克劳林写了Treatise of algebra，尽管直到1748年，即他去世两年后才出版。它包含了关于行列式的首次发表结果，证明了加布里尔·克拉默关于2×2和3×3系统的规则，并指出了4×4情形将如何运作。加布里尔·克拉默在论文Introduction to the analysis of algebraic curves（1750年）中给出了$n \times n$系统的一般规则。这源于寻找通过若干给定点的平面曲线方程的愿望。该规则出现在论文的附录中，但没有给出证明：-

通过形成n个分数来找到每个未知数的值，这些分数的共同分母具有与n个事物的排列数相同数量的项。

加布里尔·克拉默确实继续精确解释如何将这些项计算为方程中某些系数的乘积，以及如何确定符号。他还说明了如何通过将此计算中的某些系数替换为系统的常数项来找到分数的n个分子。

关于行列式的工作现在开始定期出现。1764年艾蒂安·贝祖给出了计算行列式的方法，1771年亚历山大-泰奥菲勒·范德蒙德也是如此。1772年皮埃尔·西蒙·拉普拉斯声称加布里尔·克拉默和艾蒂安·贝祖引入的方法不实用，并在一篇研究内行星轨道的论文中，通过使用行列式讨论了线性方程组的解，而没有实际计算它。相当令人惊讶的是，皮埃尔·西蒙·拉普拉斯用“结式”一词来表示我们现在称为行列式的东西：令人惊讶是因为它与哥特弗里德·威廉·莱布尼茨使用的是同一个词，然而皮埃尔·西蒙·拉普拉斯一定不知道哥特弗里德·威廉·莱布尼茨的工作。皮埃尔·西蒙·拉普拉斯给出了现在以他命名的行列式展开。

约瑟夫·拉格朗日在1773年的一篇论文中研究了3×3函数行列式的恒等式。然而这一评论是事后之见，因为约瑟夫·拉格朗日本人并未看到他的工作与皮埃尔·西蒙·拉普拉斯和亚历山大-泰奥菲勒·范德蒙德的工作之间有何联系。不过，这篇1773年关于力学的论文首次包含了我们现在所认为的行列式的体积解释。约瑟夫·拉格朗日证明了由O(0,0,0)和三个点$M(x,y,z), M'(x',y',z'), M''(x'',y'',z'')$构成的四面体体积为

$\large\frac{1}{6}\normalsize [z(x'y'' - y'x'') + z'(yx'' - xy'') + z"(xy' - yx')]$。

“行列式”一词最早由卡尔·弗里德里希·高斯在Disquisitiones arithmeticae（1801）中讨论二次型时引入。他使用这个词是因为行列式决定了二次型的性质。然而这一概念与我们现在的行列式并不相同。在同一著作中，卡尔·弗里德里希·高斯将他的二次型的系数排列成矩形阵列。他在二次型系数阵列的具体背景下描述了矩阵乘法（他将其视为复合，因此尚未达到矩阵代数的概念）和矩阵的逆。

高斯消元法最早出现在公元前200年成书的九章算术中，卡尔·弗里德里希·高斯在研究小行星智神星轨道的工作中使用了它。利用1803年至1809年间对智神星的观测，卡尔·弗里德里希·高斯得到了一个含六个未知数的六元线性方程组。卡尔·弗里德里希·高斯给出了一种解此类方程组的系统方法，这正是对系数矩阵进行的高斯消元法。

是奥古斯丁·路易·柯西在1812年首次在现代意义上使用了“行列式”一词。奥古斯丁·路易·柯西的工作是早期行列式研究中最完整的。他重新证明了先前的结果，并给出了自己关于子式和伴随矩阵的新结果。在1812年的论文中，行列式的乘法定理首次得到证明，尽管在法兰西学会的同一次会议上，雅可·比内也宣读了一篇包含乘法定理证明的论文，但不如奥古斯丁·路易·柯西给出的令人满意。

1826年，奥古斯丁·路易·柯西在n元二次型的背景下，用“表”一词表示系数矩阵。他求出了特征值，并在将二次型化为平方和的背景下给出了矩阵对角化的结果。奥古斯丁·路易·柯西还引入了相似矩阵的思想（但没有引入这个术语），并证明了如果两个矩阵相似，则它们有相同的特征方程。他还在二次型的背景下证明了每个实对称矩阵都是可对角化的。

Jacques 雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆在求解常微分方程组的背景下给出了特征值问题的一个推广。事实上，特征值的概念早在80年前就已出现，同样是在线性微分方程组的工作中，由让·勒朗·达朗贝尔在研究一根在多个点附有质量的弦的运动时提出。

应当强调，无论是奥古斯丁·路易·柯西还是Jacques 雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆都没有意识到他们所引入的思想的普遍性，只是在各自工作的特定背景下看待它们。卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅可比大约在1830年，然后是利奥波德·克罗内克和卡尔·魏尔斯特拉斯在1850年代和1860年代也研究了矩阵结果，但同样是在特殊背景下，这次是线性变换的概念。卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅可比在1841年出版了三篇关于行列式的论著。这些论著的重要性在于，行列式的定义首次以算法方式给出，且行列式中的元素没有具体指定，因此他的结果同样适用于元素为数字或为函数的情形。卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅可比的这三篇论文使行列式的概念广为人知。

阿瑟·凯莱也在1841年写作，发表了英国对行列式理论的第一个贡献。在这篇论文中，他在数组的两侧使用两条竖线来表示行列式，这种记号现已成为标准。

费迪南·艾森斯坦在1844年用单个字母表示线性替换，并展示了如何像普通数一样对它们进行加法和乘法，只是不满足交换律。可以公正地说，费迪南·艾森斯坦是第一个将线性替换视为构成一个代数的人，这从他1844年论文的以下引文中可以看出：-

一种计算算法可以基于此，它包括将乘法、除法和幂运算的通常规则应用于线性系统之间的符号方程，总能得到正确的符号方程，唯一的考虑是因子的顺序不可改变。

第一个使用“矩阵”一词的是詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特，在1850年。詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将矩阵定义为an oblong arrangement of terms，并将其视为能从中导出各种行列式的东西，这些行列式来自其中包含的方阵。1851年离开美国返回英格兰后，詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特成为一名律师，并遇到了阿瑟·凯莱，一位同样对数学感兴趣的律师同行。阿瑟·凯莱很快看到了矩阵概念的重要性，到1853年阿瑟·凯莱发表了一篇短文，首次给出了矩阵的逆。

阿瑟·凯莱在1858年发表了Memoir on the theory of matrices，该文因首次给出矩阵的抽象定义而引人注目。他表明，早先为二次型和线性变换研究的系数阵列是他的一般概念的特例。阿瑟·凯莱给出了一个矩阵代数，定义了加法、乘法、标量乘法和逆。他根据矩阵的行列式给出了矩阵逆的显式构造。阿瑟·凯莱还证明了，在2×2矩阵的情况下，矩阵满足其自身的特征方程。他声称他已对3×3矩阵验证了该结果，并指出了其证明，但他说：-

我认为没有必要承担对任意阶矩阵的一般情形给出该定理正式证明这一工作。

一个矩阵满足其自身的特征方程被称为阿瑟·凯莱-威廉·哈密顿定理，因此很自然地会问它与威廉·哈密顿有什么关系。事实上，他在研究四元数的过程中也证明了这个定理的一个特殊情形，即4 × 4的情形。

1870年，卡米耶·若尔当标准形出现在Jordan的Treatise on substitutions and algebraic equations中。它出现在素数阶有限域上线性替换的标准形的背景下。

费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯在1878年写了一部关于矩阵的重要著作On linear substitutions and bilinear forms，尽管他似乎不知道阿瑟·凯莱的工作。费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯在这篇论文中处理形式的系数，并没有使用矩阵这个术语。然而，他证明了关于标准矩阵作为矩阵等价类代表的重要结果。他引用了利奥波德·克罗内克和卡尔·魏尔斯特拉斯，分别于1874年和1868年考虑了他的结果的特例。费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯还证明了一般结果，即矩阵满足其特征方程。费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯的这篇1878年论文还包含了他用于标准形工作的矩阵秩的定义以及正交矩阵的定义。

方阵的零化度由詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特于1884年定义。他将$A, n(A)$的零化度定义为最大的$i$，使得$A$的所有$n-i+1$阶子式都为零。詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特对矩阵的不变量感兴趣，即那些不被某些变换改变的性质。詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特证明了

max $\{n(A), n(B)\} ≤ n(AB) ≤ n(A) + n(B)$。

1896年，费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯了解到阿瑟·凯莱1858年的Memoir on the theory of matrices，此后开始使用术语矩阵。尽管阿瑟·凯莱只对2 × 2和3 × 3矩阵证明了阿瑟·凯莱-威廉·哈密顿定理，费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯仍慷慨地将这一结果归功于阿瑟·凯莱，尽管费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯才是第一个证明一般定理的人。

行列式的公理化定义被卡尔·魏尔斯特拉斯在他的讲座中使用，在他去世后，于1903年发表在笔记On determinant theory中。同年，利奥波德·克罗内克关于行列式的讲座也在他去世后出版。有了这两份出版物，现代行列式理论已经就位，但矩阵理论成为完全被接受的理论则稍晚一些。1907年，马克希莫·博谢的Introduction to higher algebra是一部重要的早期著作，它将矩阵置于数学中应有的位置。Turnbull和亚历山大·艾特肯在20世纪30年代撰写了有影响力的著作，而Mirsky在1955年的An introduction to linear algebra使矩阵理论达到了目前作为最重要的本科数学主题之一的主要地位。