最速降线问题The brachistochrone problem

最速降线问题由约翰·伯努利于1696年6月在Acta EruditorumⓉ（学术文章）中提出。他如下引入该问题：-

我，约翰·伯努利，向世界上最杰出的数学家致辞。对于聪明人来说，没有什么比一个诚实、具有挑战性的问题更具吸引力，其可能的解答将赋予名声并成为永恒的纪念碑。遵循布莱兹·帕斯卡、皮埃尔·德·费马等人树立的榜样，我希望通过向我们时代最优秀的数学家提出一个考验他们方法和智力强度的问题，来赢得整个科学界的感激。如果有人向我传达所提问题的解答，我将公开宣布他值得赞扬。

他提出的问题如下：-

给定垂直平面内的两点A和B，仅受重力作用的点从A出发到达B，所描绘出的曲线是什么，使其用时最短。

也许我们对约翰·伯努利提到布莱兹·帕斯卡和皮埃尔·德·费马解读过度了，但有趣的是，布莱兹·帕斯卡最著名的挑战涉及摆线，约翰·伯努利此时已知摆线是捷线问题的解，而他解决该问题的方法使用了皮埃尔·德·费马的思想。
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约翰·伯努利并非第一个考虑捷线问题的人。伽利略在1638年在其著名著作Discourse on two new sciences.中研究过这个问题。他版本的问题是首先找到从点$A$到垂直线上的点最快的直线。他正确计算出从$A$到垂直线的这样一条线将以45度角到达所需的垂直线，比如在$B$处。

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他计算了点沿直线从$A$移动到$B$所需的时间，然后他证明如果点沿两条线段$AC$接着$CB$移动，其中$C$是圆弧上的一点，那么点将更快到达$B$。


尽管伽利略在这一点上完全正确，但他随后犯了一个错误，他接着论证从$A$到$B$的最快下降路径将是一段圆弧——这是一个错误的推论。

回到约翰·伯努利，他在Acta EruditorumⓉ（学术文章）中陈述了这个问题，尽管他自己知道如何解决，却向他人提出挑战。哥特弗里德·威廉·莱布尼茨说服约翰·伯努利允许比原先计划的六个月更长的时间来提交解答，以便外国数学家也有机会解决这个问题。共获得了五个解答，除了约翰·伯努利之外，艾萨克·牛顿、雅各布·伯努利、哥特弗里德·威廉·莱布尼茨和洛必达也解决了这个问题。

现在约翰·伯努利和哥特弗里德·威廉·莱布尼茨故意用这个问题来试探艾萨克·牛顿。考虑到围绕微积分的争论，约翰·伯努利在他的挑战中包含了这些话，这并不令人意外：-

……能够解决我们这些出色问题的人更少，甚至那些自夸[他们]……通过那些（他们认为）无人知晓、但实际上早已由他人发表的金科玉律，奇妙地扩展了其疆界的数学家当中，这样的人也更少。

据艾萨克·牛顿的传记作者Conduitt记载，他从皇家铸币厂回家后，用一个晚上就解决了这个问题。艾萨克·牛顿：-

……在伟大的重铸货币工作的繁忙之中，从塔楼回到家时已是（下午）四点，非常疲惫，但他没有睡觉，直到解决了这个问题，那是在凌晨四点。

艾萨克·牛顿将他的解答寄给了哈利法克斯伯爵Charles Montague，他是一位富有创新精神的财政大臣，也是英格兰银行的创始人。Montague是艾萨克·牛顿的主要赞助人和终身朋友，此外还是艾萨克·牛顿侄女的‘普通法’丈夫。他在1695年至1698年间担任皇家学会院长，因此艾萨克·牛顿将他对最速降线问题的解答寄给他，是很自然的。然而，正如他后来所写，这件事并不令艾萨克·牛顿高兴：-

我不喜欢被外国人就数学的事情纠缠[烦扰]和戏弄……

Royal Society于1697年1月在Philosophical Transactions of the Royal Society上匿名发表了艾萨克·牛顿的解答。他的解答向Montague解释如下：-
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问题：要求找出曲线ADB，使得一个重物仅凭自身重力，从任意给定点A下降到任意给定点B的速度最快。

解答：从给定点A出发，画一条与水平线平行的无限长直线APCZ，并在其上描述任意一条摆线AQP，与直线AB（假设已画出，必要时延长）相交于点Q，再画第二条摆线ADC，其底和高分别与前一条摆线的底和高之比等于AB与AQ之比。最后这条摆线将通过点B，且它即为一个重物仅凭自身重力从点A下降到点B速度最快的曲线。

关于摆线的更多信息，请参见THIS LINK。

1697年5月出版的Acta Eruditorum Ⓣ（学术文章）在第205页载有哥特弗里德·威廉·莱布尼茨对最速降线问题的解答，第206至211页载有约翰·伯努利的解答，第211至214页载有雅各布·伯努利的解答，第223页载有艾萨克·牛顿解答的拉丁文译本。洛必达的解答直到1988年才发表，近300年后，Jeanne Peiffer将其作为附录1收录于[1]中。约翰·伯努利给出了解答者名单，并说：-

...我的哥哥补上了其中的第四个，即德国、英国、法国这三个伟大的国家，各自派出代表，与我一同参与这项美妙的探索，大家都发现了同样的真理。

约翰·伯努利的解法将平面分成若干条带，并假设质点在每条条带内沿直线运动。于是路径是分段线性的。问题归结为确定每条条带内直线段的角度，为此他求助于皮埃尔·德·费马原理，即光总是沿所需时间最短的路径传播。若$v$是在一条条带内与竖直方向成角$\alpha$的速度，而$u$是在下一条条带内与竖直方向成角$\beta$的速度，那么根据通常的正弦定律

$\Large\frac{v}{sin {\alpha}}\normalsize = \Large\frac{u}{sin {\beta}}$。

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在极限情况下，当条带变得无限薄时，线段趋向于一条曲线，在每一点处，线段与垂直方向的夹角变为曲线切线与垂直方向的夹角。如果$v$是在$(x, y)$处的速度，$\alpha$是切线与垂直方向的夹角，那么该曲线满足

$\Large\frac{v}{sin {\alpha}}$ = 常数。

伽利略已经证明速度$v$满足

$v = √(2gy)$

（其中$g$是重力加速度），代入$v$便得到该曲线的方程为

$√y/\sin \alpha$ = 常数或$y = k^{2} \sin^{2}\alpha$

用$y' =\Large\frac{dy}{dx}\normalsize = \cot \alpha$和$\sin^{2}\alpha = 1/(1 + \cot^{2}\alpha) = 1/(1 + y'^{2})$得到

$y(1 + y'^{2}) = 2h$

对于常数$h (= \large\frac{1}{2}\normalsize k^{2}))$。

摆线$x(t) = h(t - \sin t), y(t) = h(1 - \cos t)$满足这个方程。要看出这一点，注意

$y' = \Large\frac{dy}{dx}\normalsize = \Large\frac{dy}{dt}\normalsize . \Large\frac{dt}{dx}\normalsize$ = $\Large\frac{\sin t}{1-\cos t}$

所以

$y(1+y'^{2}) = h(1 - \cos t)(1+\sin^{2}t/(1-\cos t)^{2})$

$= h(1 - \cos t + \sin^{2}t/(1-\cos t))$

$= h((1 - \cos t)^{2}+ \sin^{2}t)/(1 - \cos t)$

$= h(2 - 2\cos t)/(1-\cos t) = 2h$

克里斯蒂安·惠更斯在1659年已经证明，这是由布莱兹·帕斯卡关于摆线的挑战引起的，摆线是等时曲线问题的解，即寻找这样一条曲线：在均匀重力下沿该曲线下滑到最低点的质点所用时间与其起点无关。

约翰·伯努利以这些话结束了他对最速降线问题的解答：-

在结束之前，我必须再次表达我对克里斯蒂安·惠更斯的等时曲线与我的最速降线之间出人意料的同一性的钦佩。我认为特别值得注意的是，这种巧合只能在伽利略的假设下发生，因此我们甚至从中获得了其正确性的证明。自然界总是倾向于以最简单的方式行动，所以在这里它让一条曲线服务于两种不同的功能，而在任何其他假设下我们都需要两条曲线……

尽管约翰·伯努利用友好的言辞描述了他兄弟雅各布·伯努利对最速降线问题的解答（见上文），但在1697年5月Acta EruditorumⓉ（学术文章）出版后，兄弟之间爆发了激烈的争论。这次是雅各布·伯努利向他的兄弟提出了挑战。他回到伽利略最初的问题，即到达一条垂直线而非一个点所需的时间，他问道：-

给定一个起点和一条垂直线，在从该起点出发且具有相同水平底边的所有摆线中，哪一条能使仅受均匀重力作用的质点最快到达该垂直线。

约翰·伯努利解决了这个问题，证明使质点最快到达给定垂直线的摆线是以直角与该垂直线相交的那一条。在[1]中给出的与皮埃尔·伐里农的通信中有大量信息。雅各布·伯努利向约翰·伯努利提出了等周问题，两兄弟之间就这些问题爆发了激烈的争执，皮埃尔·伐里农也卷入其中。这是一件不愉快的事件，但对数学具有巨大价值，因为所争论的问题直接导致了变分法的创立。伯努利兄弟之间的争吵在[10]中得到了详细考察，作者除了数学细节外还研究了心理方面。他有说服力地论证说，他们之间的恶感必定始于家中一位严厉而不友好的父亲。

兄弟俩为解决他们相互抛出的挑战问题而发展出的方法，由莱昂哈德·欧拉在1744年出版的Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti Ⓣ（寻找显示极大极小性质的平面曲线的方法）中置于一般框架下。在这部著作中，莱昂哈德·欧拉推广了伯努利兄弟研究的问题，但保留了约翰·伯努利为解决这些问题而发展出的几何方法。他发现了现在被称为莱昂哈德·欧拉-约瑟夫·拉格朗日微分方程的方程，用于极大化或极小化函数及其导数的函数。

其思想是找到一个函数，使某个量极大化或极小化，而该函数被约束以满足某些约束条件。例如，约翰·伯努利曾向莱昂哈德·欧拉提出过某些测地线问题，这些问题与最速降线问题一样属于此类。这里的问题是找到长度最小的曲线，其中曲线被约束在给定曲面上。然而，莱昂哈德·欧拉评论说，他对这些问题的几何方法并不理想，它只给出了解必须满足的必要条件。解的存在性问题并未由莱昂哈德·欧拉的贡献解决。

约瑟夫·拉格朗日于1760年发表了Essay on a new method of determining the maxima and minima of indefinite integral formulas.。它给出了一种解析方法来处理变分法类型的问题。在论文的引言中，约瑟夫·拉格朗日给出了我们上文所描述的思想的历史发展，但以约瑟夫·拉格朗日的话来结束本文似乎是合适的，这实际上是对这些发展的总结：-

数学家们解决的第一类[变分法]问题是约翰·伯努利在上世纪末提出的最速降线问题，即最快下降的曲线。其解答是通过考虑特殊情况找到的，只是过了一段时间，在研究等周曲线时，我们所谈论的伟大数学家和他著名的兄弟雅各布·伯努利才给出了一些一般规则，用于解决若干其他同类问题。然而，由于这些规则不够一般，著名的莱昂哈德·欧拉承担了将所有这些研究归结为一种一般方法的任务，他在著作“论确定不定积分公式极大极小值的新方法”中给出了这一方法；这是一部原创著作，其中微积分的深奥科学贯穿始终。即便如此，尽管该方法巧妙而丰富，但必须承认，它并不像人们在纯分析著作中所希望的那样简单……

约瑟夫·拉格朗日接着描述了他引入微分符号δ的过程。他给出：-

……一种方法，只需直接运用微分和积分学的原理；但我必须强调，由于我的方法要求允许一个量以两种不同的方式变化，为了避免混淆这些不同的变化，我在计算中引入了一个新符号δ。这样，δz表示z的一个与dz不同的差，然而它将满足相同的规则；以至于在任意方程dz = m dx成立的地方，我们同样可以有δz = mδx，其他情况亦然。