代数基本定理The fundamental theorem of algebra

代数基本定理（FTA）指出

每个次数为n的复系数多项式方程在复数中有n个根。

事实上，有许多等价的表述：例如，每个实多项式都可以表示为实线性因子与实二次因子的乘积。

花拉子米（约800年）对方程的早期研究只允许正实根，FTA并不相关。吉罗拉莫·卡尔达诺是第一个意识到可以用比实数更一般的量来工作的人。这一发现是在研究一个给出三次方程根的公式的过程中做出的。当这个公式应用于方程$x^{3} = 15x + 4$时，给出的答案涉及√-121，然而吉罗拉莫·卡尔达诺知道该方程有$x = 4$作为解。他能够用他的‘复数’操作来得到正确答案，但他一点也不理解他自己的数学。

拉法耶尔·蓬贝利在1572年出版的Algebra中，为处理这些“复数”制定了一套适当的规则。勒内·笛卡儿在1637年说，对于每个次数为$n, n$的方程，人们可以“想象”出根，但这些想象出的根不对应任何实数量。

弗朗索瓦·韦达给出了次数为$n$且有n个根的方程，但首次断言总有$n$个解的是佛兰德斯数学家阿尔伯特‧吉拉德，他在1629年的L'invention en algèbre Ⓣ（代数中的发明）中提出。然而，他并未断言解的形式为$a + bi, a, b$实数，因此允许解来自比$\mathbb{C}$更大的数域的可能性。事实上，这在此后许多年里成为代数基本定理的整个问题，因为数学家们把阿尔伯特‧吉拉德的断言当作自明之理接受。他们相信一个n次多项式方程必有n个根，他们认为问题在于证明这些根的形式为$a + bi, a, b$实数。

现在托马斯·哈里奥特知道一个在$t$处为零的多项式有一个根$x - t$，但这一点直到1637年由勒内·笛卡儿在La géométrieⓉ（几何学）中陈述才广为人知，所以阿尔伯特‧吉拉德并没有多少背景来正确理解这个问题。

一个关于代数基本定理不成立的“证明”由哥特弗里德·威廉·莱布尼茨在1702年给出，当时他断言$x^{4} + t^{4}$永远不能写成两个实二次因子的乘积。他的错误在于没有意识到$√i$可以写成$a + bi, a, b$实数的形式。

莱昂哈德·欧拉在1742年与尼古拉·伯努利二世和克里斯蒂安·哥德巴赫的通信中表明，哥特弗里德·威廉·莱布尼茨的反例是错误的。

让·勒朗·达朗贝尔在1746年首次认真尝试证明代数基本定理。对于复多项式$f$，假设$f(z) ≠ 0$。那么$|f(z)|$有一个最小值，比如$m$，且$|f(z_{0})| = m$。然后他表明可以选取一个接近$z_{0}$的$z_{1}$，使得$|f(z_{1})| < |f(z_{0})|$，这与$m$的最小性矛盾。

他的证明有几个弱点。首先，他使用了一个未加证明的引理，该引理在⟦E1851⟧年由Puiseau证明，但其证明使用了FTA！其次，他缺乏必要的知识来使用紧性论证来给出$z_{0}$的存在性。尽管如此，这个证明中的思想是重要的。

莱昂哈德·欧拉很快就能证明每个次数为$n, n ≤ 6$的实多项式恰好有$n$个复根。1749年，他尝试证明一般情形，因此他试图证明实多项式的FTA：

Every polynomial of the $n$th degree with real coefficients has precisely $n$ zeros in $\mathbb{C}$。

他在Recherches sur les racines imaginaires des équations Ⓣ（关于方程虚根的研究）中的证明基于将次数为$2^{n}$的首一多项式分解为两个次数为$m = 2^{n-1}$的首一多项式的乘积。然后，由于任意多项式都可以通过乘以$ax^{k}$（对某个$k$）转化为首一多项式，定理将通过迭代分解而得到。现在莱昂哈德·欧拉知道一个可追溯到Ars Magna Ⓣ（大衍术）中吉罗拉莫·卡尔达诺的事实，或更早，即可以应用变换来消去多项式的次高次项。因此他假设

$x^{2m} + Ax^{2m-2} + Bx^{2m-3} +. . . = (x^{m} + tx^{m-1} + gx^{m-2} + . . .)(x^{m} - tx^{m-1} + hx^{m-2} + . . .)$

然后相乘并比较系数。莱昂哈德·欧拉声称这导致$g, h, ...$成为$A, B, ..., t$的有理函数。所有这些都针对$n = 4$详细展开，但一般情形仅是一个梗概。

在⟦E1772⟧年，约瑟夫·拉格朗日对莱昂哈德·欧拉的证明提出了反对意见。他反对说莱昂哈德·欧拉的有理函数可能导致0/0。约瑟夫·拉格朗日利用他对根排列的知识填补了莱昂哈德·欧拉证明中的所有空白，除了他仍然假设$n$次多项式方程必须有某种$n$个根，以便他可以处理它们并推导出性质，比如最终它们具有$a + bi, a, b$实形式。

皮埃尔·西蒙·拉普拉斯在⟦E1795⟧年尝试使用完全不同的方法，利用多项式的判别式来证明FTA。他的证明非常优雅，其唯一的“问题”是再次假设了根的存在性。

卡尔·弗里德里希·高斯通常被认为给出了代数基本定理的第一个证明。在其1799年的学位论文中，他给出了自己的第一个证明，也提出了对其他证明的反对意见。他无疑是第一个发现早期证明中根本缺陷的人，这个缺陷我们在上文已多次提及，即它们先假设根存在，然后试图推导根的性质。关于莱昂哈德·欧拉的证明，卡尔·弗里德里希·高斯说

……如果人们把这些不可能的根当作真实存在一样进行运算，并且比如说，方程$x^{m}+ax^{m-1} + bx^{m-2} + . . . = 0$的所有根之和等于-a，即使其中有些根可能是不可的（这实际上意味着：即使有些根不存在因而缺失），那么我只能说，我完全不赞同这类论证。

卡尔·弗里德里希·高斯本人并未声称给出了第一个恰当的证明。他只是把自己的证明称为new，但比如说关于让·勒朗·达朗贝尔的证明，他说尽管他有反对意见

在同一基础上可以构造出一个严格的证明。

卡尔·弗里德里希·高斯1799年的证明本质上是拓扑的，并且有一些相当严重的漏洞。它不符合我们当今对严格证明所要求的标准。

在⟦E1814⟧年，瑞士会计师Jean Robert让-罗贝尔·阿尔冈发表了一个FTA的证明，这可能是所有证明中最简单的。他的证明基于让·勒朗·达朗贝尔的⟦E1746⟧年想法。让-罗贝尔·阿尔冈已经在两年前发表的一篇论文Essai sur une manière de représenter les quantitiés imaginaires dans les constructions géometriquesⓉ（关于在几何构造中表示虚量的一种方法的论文）中勾勒了这个想法。在这篇论文中，他将$i$解释为平面旋转90°，从而产生了让-罗贝尔·阿尔冈平面或让-罗贝尔·阿尔冈图作为复数的几何表示。现在在后来的论文Réflexions sur la nouvelle théorie d'analyseⓉ（对新分析理论的反思）中，让-罗贝尔·阿尔冈使用关于连续函数最小值存在性的一般定理简化了让·勒朗·达朗贝尔的想法。

1820年，奥古斯丁·路易·柯西将在Cours d'analyseⓉ（《分析教程》）中用整整一章来讨论让-罗贝尔·阿尔冈的证明（不过，任何研究过奥古斯丁·路易·柯西工作的人都不会惊讶地发现，他并未提及让-罗贝尔·阿尔冈！）这个证明之所以不够严谨，仅仅是因为当时下界的一般概念尚未发展出来。让-罗贝尔·阿尔冈的证明在1886年由乔治·克里斯托在其Algebra教科书中给出后，便声名远扬。乔治·克里斯托的书影响深远。

让-罗贝尔·阿尔冈的证明出现两年后，卡尔·弗里德里希·高斯于1816年发表了代数基本定理的第二个证明。卡尔·弗里德里希·高斯采用了莱昂哈德·欧拉的方法，但卡尔·弗里德里希·高斯不是用可能不存在的根来运算，而是用未定元来运算。这个证明完整且正确。

卡尔·弗里德里希·高斯在1816年给出的第三个证明，与第一个一样，本质上是拓扑的。卡尔·弗里德里希·高斯在1831年引入了“复数”一词。“共轭”一词则由奥古斯丁·路易·柯西在1821年引入。

卡尔·弗里德里希·高斯对约瑟夫·拉格朗日-皮埃尔·西蒙·拉普拉斯证明的批评似乎在法国没有立即受到欢迎。约瑟夫·拉格朗日1808年关于方程的论著第二版没有提到卡尔·弗里德里希·高斯的新证明或批评。甚至由路易·普安索编辑的1828年版，仍然对约瑟夫·拉格朗日-皮埃尔·西蒙·拉普拉斯的证明表示完全满意，也没有提到卡尔·弗里德里希·高斯的批评。

1849年（在他第一个证明50周年之际！）卡尔·弗里德里希·高斯给出了第一个证明：次数为$n$、系数为复数的多项式方程有$n$个复根。该证明与卡尔·弗里德里希·高斯给出的第一个证明类似。然而它没有增加多少新内容，因为从关于实系数多项式的结果直接推出复系数多项式的结果是很容易的。

值得注意的是，尽管卡尔·弗里德里希·高斯坚持不能假设根的存在然后再证明它们是实的，但他确实相信——正如当时所有人一样——存在一个完整的虚量层级，其中复数是最简单的。卡尔·弗里德里希·高斯称它们为shadow of shadows。

正是在寻找复数的这种推广时，威廉·哈密顿在1843年前后发现了四元数，但四元数当然不是可交换系统。第一个证明唯一包含$\mathbb{R}$的可交换代数域是由卡尔·魏尔斯特拉斯在其1863年的讲座中给出的。它发表在赫尔曼·汉克尔的书Theorie der complexen ZahlensystemeⓉ（复数系理论）中。

当然，一旦有了现代的结果——每个多项式都有分裂域——上述所有证明都变得有效。费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯，在巴塞尔为莱昂哈德·欧拉诞辰二百周年举行的庆祝活动上说：-

莱昂哈德·欧拉给出了方程根存在性的最具代数性的证明，这个证明基于每个奇次实系数方程都有一个实根的命题。我认为将这个证明完全归功于卡尔·弗里德里希·高斯是不公正的，他只是做了最后的润色。

让-罗贝尔·阿尔冈证明只是一个存在性证明，它无论如何都不允许构造出根。Weierstrass在1859年朝着构造性证明迈出了第一步，但直到1940年，让-罗贝尔·阿尔冈证明的一个构造性变体才由赫尔穆特·克内泽尔给出。这个证明在1981年由Martin Kneser，赫尔穆特·克内泽尔的儿子，进一步简化。