数学史专题
世界最明显的性质之一是，如果你手里拿着一块石头并松开它，石头就会落下。尽管我们现在知道月球绕地球运行、行星绕太阳运行是因为同一种使石头落下的力，但早期的学者并没有怀疑这一点。亚里士多德在公元前330年左右写的著作中提出了他关于物体为什么落向地球以及一般运动的思想。亚里士多德在Physics:-第二卷中写道
有些存在的事物是自然的，而另一些则是由其他原因造成的。那些自然的事物是……诸如土、火、气和水的简单物体；因为我们认为这些事物以及这类事物是自然的。所有这些事物显然与那些并非自然构成的事物不同，因为它们每一个自身内部都包含着运动和静止的本原……自然是这类事物中首要属于它们的运动和静止的本原和原因……那么，自然就是我们所说的那样；而具有自然的事物就是具有这类本原的事物。所有事物都是实体，因为实体是某种主体，而自然总是存在于主体之中。合乎自然的事物既包括这些，也包括那些本来就属于它们的东西，例如向上运动属于火……
所以亚里士多德认为石头下落是因为它内部有一个“自然”，这个自然导致它运动到其自然位置，即地球的中心。按照亚里士多德的观点，天体的自然运动是圆周运动。他提出的其他观点还有：以恒定速度运动的物体需要一个持续的力作用于它才能维持该速度。他还认为，力只能通过接触施加于物体。
除了自然运动之外，还有非自然运动，例如当一块石头被向上抛时。然而，这种非自然运动是短暂的（因为需要持续施加力来维持运动），石头返回地球的“自然欲望”会接管，然后自然运动使石头回到地球。这一理论一直延续到16世纪，下面这幅出自1547年出版的一本书的插图展示了亚里士多德的理论如何应用于炮弹。在这幅插图中，炮弹首先由于其初始的非自然运动而沿直线运动，然后当这个力耗尽时，炮弹沿着圆弧运动，直到它开始其垂直向下的自然运动落向地球。
亚里士多德还认为较重的物体比较轻的物体下落得更快。这当然是一个合理的假设，因为如果你一只手拿一根羽毛，另一只手拿一块砖，同时松开，那么砖肯定会先砸到你的脚趾。当然，这是因为空气阻力，但对亚里士多德来说，较重的物体下落得更快是显而易见的。
尽管亚里士多德的这些想法完全错误，但它们很重要，因为它们被接受了近两千年。也许对欧洲科学发展最重要的是，亚里士多德的物理学思想被基督教会采纳。这使得科学家们更难以证明亚里士多德的物理学是错误的。
尽管伽利略和约翰内斯·开普勒没有提出这样的引力理论，但他们各自做出了重要贡献，为后来引力理论的发展奠定了基础。我们现在讨论的他们的贡献在当时被认为没有任何联系，因为约翰内斯·开普勒的贡献涉及行星绕太阳的轨道，而伽利略的贡献涉及运动和下落物体的加速度。我们现在知道，两者都对理解引力做出了贡献，但在他们工作的时期，没有人怀疑下落物体与行星运动之间存在联系。
约翰内斯·开普勒的行星运动前两条定律是：（1）行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳位于一个焦点上；（2）行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。除了为行星运动提供一个简单的数学模型外，这些定律还具有重大意义，因为它们首次指出天体的运动不是由圆周运动组成的。
伽利略表明，亚里士多德声称物体要保持匀速运动就必须施加力是错误的。相反，他表明，不受任何力作用的物体将继续保持恒定运动。伽利略通过让物体落向地球进行实验，他发现它们经历恒定加速度。通过进行实验，伽利略表明物体下落时经过的距离与时间的平方成正比。然而，以这种方式陈述结果并不能显示它们有多么辉煌，因为它们推翻了亚里士多德提出的引力观念，这些观念作为事实被接受了近2000年。
不仅仅是实验证据被伽利略用来表明亚里士多德关于落体的理论不正确，他还通过逻辑论证表明亚里士多德的观点没有意义。在Dialogue Concerning the Two Chief Systems of the World（1632年）中，伽利略论证如下。假设我们有两块石头，第一块比第二块轻。从高处释放两块石头让它们落到地面。石头2比石头1重，下落得更快。伽利略论证说，如果把它们绑在一起，那么组合物体下落的速度应该介于轻石头和重石头的速度之间，因为轻石头下落较慢会减缓重石头的速度。但如果我们把绑在一起的两块石头看作一个单一物体，那么亚里士多德说它下落得比重石头更快。石头怎么知道它们是一个物体还是两个物体？亚里士多德的理论是不一致的。伽利略提出了一个极其巧妙的“思想实验”，这总是比可能很容易被错误收集的实验证据更有意义。
还有其他一些由伽利略提出的极具创新性的思考方式。在此之前，人们观察摆的摆动时，看到的是摆锤来回运动。然而，伽利略看到的是摆锤上下运动。他本质上将这种运动视为由垂直和水平分量组成，而重力是垂直方向上的力。尽管摆锤上升和下落所需的时间取决于摆的长度，但它并不取决于摆锤的重量。他的论证再次表明，忽略空气阻力，物体从给定高度下落所需的时间并不取决于其重量。让球沿斜面滚下，也使伽利略得以考察下落速度的向下分量。
我们应该认识到关于重力的问题有两个方面。有情况的物理学方面，涉及找到支配受重力作用的物体的方程，为此需要对力学定律有恰当的理解。然后是更哲学的问题：为什么这些定律成立，导致观察到的重力效应的机制是什么。亚里士多德的理论涵盖了这两个方面，既描述了物体在重力下如何反应，也给出了效应的原因，即石头产生运动以将其带到地球上自然位置的“自然倾向”。当然，这两个方面都完全错误。伽利略在理解力学和物体在重力下运动的方式方面取得了惊人的进步，但他没有探讨物体如此行为的原因。另一方面，勒内·笛卡儿基于他的哲学原理提出了对重力的解释。
勒内·笛卡儿信奉理性主义。因此他认为知识必须通过推理获得，而不是通过可能轻易受骗的感官获得。伽利略的思想实验是运用逻辑推理的一个很好的例子。他并不完全拒绝使用观察和进行实验的想法，而是用这些来引导他的直觉，直觉为他提供了第一原理，然后数学和逻辑演绎将由此导向知识。他在1644年写道，见Principles of Philosophy:-
……我对物体中物质的考虑，除了分割、形状和运动之外，绝对不涉及任何东西。
在许多方面，勒内·笛卡儿的这些思想对科学的发展具有根本的重要性，因为他声称一切都可以用数学来分析。人们所需要做的就是构造一种力学的数学理论，一切就都会被理解。他提出了两种力，一种与物体的静止状态相关，仅取决于其质量；另一种与维持物体的运动相关，与motus相关，即其速度与质量的乘积。（motus不是动量，因为质量乘以速度没有方向。）对勒内·笛卡儿来说，一个物体拥有的唯一属性是质量和速度，他的力学建立在motus守恒的基础上。由此他推导出七条运动规则，描述了物体之间的运动如何被传递。
这让勒内·笛卡儿在思考重力时得出了什么？最明显的是，如果一块石头被释放并落到地面，那么必定有某种物质作用于它迫使它这样做。然而，既然我们没有察觉到这样的物质，它必定是一种新形式的物质，称之为以太。从勒内·笛卡儿的思维方式得出的另一个推论是真空不可能存在。这绝不是从任何实验推导出来的，而仅仅是一个逻辑推论：真空的概念是无意义的，因为如果某物存在，它就不可能是无。所有这些思想都是由勒内·笛卡儿在1644年提出的。
现在，一旦一切都被以太物质充满，人们就必须考虑当一个固体，比如一颗行星，穿过以太时会发生什么。显然，以太必须被从物体前方排开，然后它会以圆周运动的方式绕物体流动。由于物体在运动，宇宙必定由涡旋、漩涡和旋流组成。如果，勒内·笛卡儿论证说，以太由于物体穿过它而永远处于涡旋运动之中，那么以太反过来又会使处于其中的物体运动。这些涡旋是引力的原因；它们使行星保持在绕太阳的轨道上。地球被迅速绕地球旋转的以太物质所包围。这种轻的、快速运动的物质会流离地球，而重的、缓慢运动的物体如石头则会落向地球中心以取代它。
这种引力理论当然令人满意。石头移向地球的“自然倾向”和“欲望”，正如亚里士多德所提出的，已经消失了。它被一个纯机械的系统所取代，这个系统用关于物质之间相互作用的纯机械术语来解释引力。它很快被接受为一个好的形而上学体系，但当细节被仔细检查时，它们并不完全与观察相符。克里斯蒂安·惠更斯在1669年指出，如果以太绕地球轴作圆周运动，那么引力吸引应该朝向轴而不是朝向地球中心。他试图给出一种在各方向上都相等的涡旋运动的修改。然而，他未能解释以太如何能在不干扰自身的情况下向所有方向运动。
1675年，尼古拉斯‧马勒伯朗士发表了Recherche de la vérité，其中修订了勒内·笛卡儿的力的理论，表明没有力可以与物体的静止状态相关联，因此一切都取决于勒内·笛卡儿的motus力。结果，他只剩下勒内·笛卡儿七条运动规则中的四条。他还通过假设看似坚硬的物体被以太渗透来修改理论。哥特弗里德·威廉·莱布尼茨提出了其他反对意见，在1686年的Acta eruditorumⓉ(Learned articles)中提出了新想法。他表明motus在碰撞中不守恒，迫使尼古拉斯‧马勒伯朗士用动量取代motus。（这是质量乘以速度，并且有方向。）哥特弗里德·威廉·莱布尼茨回到两种力的想法，一种是“死力”，它会使从地球上方静止释放的石头产生运动，第二种力是“活力”，他将其定义为质量乘以速度的平方。在某些方面，哥特弗里德·威廉·莱布尼茨的第一种力标志着向亚里士多德的石头移向地球的“自然倾向”的回归。这是一个很好地解释了引力的观测证据的理论，但它被勒内·笛卡儿的追随者强烈拒绝，因为它不是基于理性解释。
在哥特弗里德·威廉·莱布尼茨于Acta erditorumⓉ(Learned articles)发表文章一年后，艾萨克·牛顿出版了Philosophiae naturalis principia mathematicaⓉ(Mathematical principles of natural philosophy)，或者如它一直被称呼的Principia。在其中艾萨克·牛顿提出了万有引力和任意两个物体之间即使相隔真空也存在的吸引力的平方反比定律。吸引力是两个质量的乘积除以它们之间距离的平方。落向地球的石头受到与使月球保持在绕地球轨道上、使行星保持在绕太阳轨道上完全相同的力。艾萨克·牛顿从吸引力的平方反比定律推导出了约翰内斯·开普勒的行星运动三定律。他表明，彗星也受到相同的引力作用，这些力对潮汐给出了简单的解释。关于艾萨克·牛顿如何发现他的引力理论的更多信息，请参见文章轨道与引力。
Principia还给出了反对勒内·笛卡儿的引力理论的论据。艾萨克·牛顿表明，在勒内·笛卡儿的理论下，约翰内斯·开普勒的第一定律和第二定律不能同时成立。他还问，彗星如何能够穿过强到足以使行星保持在轨道上的涡旋，而对其自身轨道没有任何影响。这是对勒内·笛卡儿的涡旋引力理论的毁灭性攻击，并提出了一个极其简单却能解释如此之多的理论。然而，它有一个主要问题。两个物体如何能跨越真空相互吸引？这是一个类似亚里士多德的理论，但现在石头不仅具有落向地球的“自然倾向”，更不可思议的是，它具有被宇宙中每一个其他物体吸引的“自然倾向”。勒内·笛卡儿对石头为什么落向地球以及行星为什么绕太阳运行有一个理性的解释。然而，艾萨克·牛顿的理论基于物质具有被所有其他物质吸引的某种神奇力量，这绝不是理性的。
艾萨克·牛顿如何回答那些质问：超距作用如何可能？他并没有试图回答。相反，他说他是在解释事物如何运作，而不是试图解释它们为何那样运作。对一些人来说这已经足够了，对另一些人来说这是一种如此不能令人满意的状况，以至于他们不得不拒绝艾萨克·牛顿的理论。艾萨克·牛顿本人在1693年2月25日写给⟦N5⟧博士的一封信中写道（例如见[1]，第302页）：-
不可想象，无生命的惰性物质，若没有某种非物质的他者的中介，竟能作用于并影响其他物质而不相互接触，如果按伊壁鸠鲁意义上的引力是其本质且固有的话，就必然如此。这也是我希望你不要把固有的引力归诸于我的一个原因。引力应当是物质固有的、内在的和本质的，以至于一个物体可以通过真空远距离作用于另一个物体，而无需任何其他东西的中介，通过它它们的行动和力可以从一个传递到另一个，这在我看来是极大的荒谬，我相信任何在哲学事务上具有足够思考能力的人，都不会陷入这种观点。引力必定是由某个按照一定规律持续作用的动因所引起的；但这个动因是物质的还是非物质的，我留给读者去考虑。
对于不同理论所提出的问题，没有简单的解决办法。许多人，例如克里斯蒂安·惠更斯，接受平方反比定律，但拒绝吸引的观念。这些人寻找其他机制，这些机制会导致平方反比定律，但却是通过对勒内·笛卡儿的涡旋观念进行修改而产生的。例如，尼古拉斯‧马勒伯朗士提出在大涡旋中还有小涡旋，这使得地球看起来像是在对以太产生一种“沸腾”效应，从而产生以太的径向流动，以解释石头被释放后向地心运动的现象。尽管许多人试图修改勒内·笛卡儿的涡旋理论，但它始终无法令人满意地解释观察到的世界，最终艾萨克·牛顿的理论被普遍接受。
关于引力理论的后续发展，读者现在应参阅我们的文章广义相对论。