数学史专题
埃拉托色尼计算了地球的周长，他是第一个尝试基于纬线和经线系统绘制世界地图的人。喜帕恰斯是第一个使用纬度和经度作为坐标来指定地球上地点位置的人。他在球面三角学方面的工作使他建立了这个系统。他建议通过确定某地最长日与最短日的比率来测量纬度，即赤道以北或以南的距离。
对于经度，喜帕恰斯提出了一条通过罗得岛的零子午线，通过比较某地的本地时间与绝对时间来确定与该线的东/西距离。他建议使用月食来确定绝对时间，测量月食开始和结束的时间，并找出这个绝对时间与本地时间之间的差异。这种方法在理论上是合理的，但需要一台当时无法获得的精确时钟。另一个问题是月食取决于地球上观察的位置。
克劳狄乌斯·托勒密写了Guide to Geography，共八卷。它提供了关于地图制作的信息，并列出了欧洲、非洲和亚洲的地点及其纬度和经度。这部著作完全不准确。克劳狄乌斯·托勒密使用的地球周长值太小；即使在当时，人们也知道更好的估计值。
10世纪，Abu'l-Wafa和阿布·纳斯尔·曼苏尔得出了三角学成果，这些成果尤其被比鲁尼应用于数学地理学的主要问题，即纬度和经度的确定。比鲁尼相信地球绕其轴旋转，并对纬度和经度进行了精确计算。
探索时代迅速暴露出航行中的问题。首先，没有可供导航的地图，早期探险家的一项主要任务就是绘制他们所发现陆地的地图。然而，若要制作地图，就必须能够确定地球上的位置。如何才能找到一种实用的方法呢？
西班牙和葡萄牙是参与探险的两个主要国家。他们因“新世界”而发生争端，1493年，西班牙籍教皇亚历山大六世颁布了划界诏书，以解决争端。他从亚速尔群岛向西画了一条一百里格的子午线，将线以西所有未发现的土地分配给西班牙，而将线以东所有未发现的土地分配给葡萄牙。如果能够确定土地相对于这条线的位置，那将是一个伟大的解决方案。
亚速尔群岛以西100里格。
1514年，约翰尼斯·维尔纳出版了克劳狄乌斯·托勒密的Geography的译本。在对第四章的评论中，约翰尼斯·维尔纳提出了后来被称为确定经度的月距法。该方法利用月球相对于背景恒星移动相当快的事实，大约一小时移动其直径的距离。如果给出了月球到某些恒星的距离表，那么原则上就可以确定观测地点的绝对时间，从而通过将绝对时间与地方时间进行比较来确定经度，其方式与喜帕恰斯为他的月食法所提出的相同。约翰尼斯·维尔纳提议使用十字测天仪，一种源自莱维·本·热尔松的雅各布杆的仪器，来测量月球到选定恒星的距离。他写道：-
因此，地理学家前往给定的地点之一，从那里借助这根观测杆在任何已知时刻观测月球与一颗固定恒星之间的距离，该恒星与黄道的偏差很小或没有偏差。
该方法在理论上是正确的，但约翰尼斯·维尔纳并未解决经度问题，因为十字测角器无法做出足够精确的测量，更严重的是，当时还没有关于月球轨道的数学理论（甚至当艾萨克·牛顿在150年后提出他的引力理论时，月球的运动作为一个三体问题仍无法求解）。因此，编制月球位置表只能通过收集数据并外推来获得位置预测，而这些预测很快就偏离了实际位置。
贸易繁荣，满载香料和其他贵重货物归来的船只带来了巨大财富。然而，许多船只因无法确定自身位置而失事。奥文斯·菲内在约1520年开始制作法国地图和世界地图。他主张改进希腊人的月食法来确定经度。
香料群岛的位置存在争端，西班牙寻求解决这些代价高昂的问题。佩德罗·努内斯于1529年被任命为数学教授，专门尝试解决这一问题及相关问题。他致力于航行问题，也制作地图和地图投影。他成为当时关于西班牙和葡萄牙新发现的首要专家。
海马·弗里修斯在1530年提出了一种利用时钟确定经度的方法。基本上，时钟在出发时设定，并保持一个绝对时间，到达时可与当地时间进行比较。然后就可以计算出东西方向走过的距离。他写道：——
……在我们的旅途中，我们应当确保我们的时钟从不停摆。当我们走完15或20英里的路程后，我们或许会乐于知道我们所到达之处与出发地之间的经度差。我们必须等到我们时钟的指针恰好触及某个整点，并在同一时刻借助星盘……我们必须求出我们现在所处地点的时间。
海马·弗里修斯随后给出了将时间差换算为东西方向所走距离的精确指示。当然，这种方法完全不切实际，因为时钟不够精确。然而值得注意的是，250年后海马·弗里修斯被证明是正确的，因为这成了确定海上经度的最终方法。
在海上确定位置并绘制准确的世界地图这一问题极其重要。这一问题尚未得到解决，正使各国耗费巨额资金。必须找到解决办法，于是各国开始采用标准做法，即向能够给出在海上确定经度方法的数学家和天文学家提供金钱、奖金、年金以及难以想象的财富。
第一个提供奖赏的国家是西班牙。先是腓力二世在1567年提供了一笔奖赏。不久之后，西班牙的腓力三世于1598年登基，有人建议他向
经度的发现者提供一笔巨额奖赏。
悬赏6000达克特，外加终身每年2000达克特的收入以及1000达克特的开支。然而，菲利普对作为国王的职责相当漠不关心，他的悬赏提议得到了巨大反响，但他对提出的任何方案都缺乏热情。其中一个方案来自伽利略。他在1616年写信给西班牙宫廷，提议测量绝对时间的方法——可以在世界上任何一点进行测量——是利用木星的卫星。伽利略在1610年首次观测到这些卫星，到1612年他已经有了它们运动的表格，这些表格足够精确，使他能够提前几个月预测它们的位置。
在长达16年的时间里，大量的通信往来未能使西班牙相信该方案的优点，因此，当荷兰在1636年提供巨额奖金
给发明可靠的海上经度测定方法的人时，
于是伽利略试图说服荷兰联省议会——代表荷兰联合省的代表机构——相信他涉及木星卫星的方案。成立了一个委员会，伽利略的提议被荷兰比西班牙认真得多地对待。然而此时伽利略实质上已被软禁在佛罗伦萨附近的阿切特里，当委员会的一名成员试图拜访伽利略时，宗教裁判所确保接触不可能发生。几年后伽利略去世，联省议会失去了对该方法的兴趣。
由于有许多大笔奖金可供争取，大量的人试图赢得它们。事实上，有几个人获得了数额较小的钱款，以继续研究他们各自的方法。然而，1634年Jean-Baptiste Morin提出了一个严肃的方案，并提交给了他自己的国家法国。红衣主教黎塞留——1624年至1642年间法国国王路易十三的首席大臣——成立了一个由埃蒂安·帕斯卡尔、Mydorge、让·博格朗、皮埃尔·埃里戈纳、J C Boulenger和L de la Porte组成的委员会，以调查Morin的主张。
Morin不相信海马·弗里修斯最初提出的运输时钟方法。事实上，他不信任时钟，并说
……我不知道魔鬼是否会成功制造出经度计时器，但人类尝试是愚蠢的。
他提出了月球距离法的一种变体，并作了一些改进，例如使用更好的仪器以及将月球视差考虑在内。然而他的方法仍然不实用，在他提出该方案后的五年里，委员会一直与Morin争执不休。为了说服委员们，他确实提议建立一座天文台以提供精确的月球数据。黎塞留枢机于1642年去世，他的继任者马萨林枢机于1645年因他的努力而给了Morin 2000里弗。
1651年，当时法国的主要政治人物红衣主教马萨林在国王与议会之间的斗争中被迫离开巴黎。让-巴蒂斯特·柯尔贝尔成为马萨林在巴黎的代理人，柯尔贝尔得到了马萨林的奖赏，马萨林在1661年临终时向国王路易十四推荐了柯尔贝尔。从这时起，柯尔贝尔竭尽全力以一切可能的方式为国王服务，他很快就得以实现这一点，成为内政大臣。
Colbert认为科学与海上力量是为法国成就伟业的最重要途径。1666年，在Colbert的推动下，Académie Royale des Sciences成立。到那年春天，他已说服国王承诺为新学会提供资助。该学会的总目标是研究广泛的科学活动，但其具体目标是改进地图、航海图并推进航海科学。人们坚信数学和天文学是解决当时这些突出问题的关键。
Colbert决心让Académie Royale des Sciences拥有世界上最优秀的科学家，因此他向许多顶尖科学家和数学家发出个人邀请，并提供巨额资金用于个人使用和研究，包括克里斯蒂安·惠更斯、哥特弗里德·威廉·莱布尼茨、埃伦弗里德·瓦尔特·冯·切恩豪斯、Hevelius、温琴佐·维维亚尼、Rømer和艾萨克·牛顿。克里斯蒂安·惠更斯和丹麦天文学家Rømer立即接受了邀请，让-费利克斯·皮卡德、Adrian Auzout和其他法国科学家也加入了他们。事实上，Colbert挑选了十五位顶尖科学家，Académie Royale正是以这一人数于1666年12月22日开幕。
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利用为研究提供的大量资金，Académie Royale的数学家和科学家们开始研究广泛的数学和科学问题，其中许多问题与解决经度问题有关。
克里斯蒂安·惠更斯对Académie Royale des Sciences尤为重要，因为他已于1656年为摆钟申请了专利，并且他的好几座钟都曾在海上试用过，虽然不太成功，目的是为了寻找经度。Howse在[7]中写道：-
在1657年发明摆钟后，克里斯蒂安·惠更斯将注意力转向了经度问题，他确信钟表学方法——制造一种能在任何气候下、无论船只如何运动都能连续数月保持准确而规律计时的航海计时器——很快就会使发现经度成为可能。他制造了各种航海计时器，并在1662年至1687年间在海上试用。
在巴黎开始为Académie Royale工作后，克里斯蒂安·惠更斯试图完善他的摆钟的运行。科学家们获得了科德利埃附近的一所房子，并在花园里设置了象限仪、六分仪和大型日晷等天文仪器。他们于1667年1月开始从科德利埃附近那所房子的花园进行观测，同时也从卢浮宫的花园进行观测。
这些地点远非理想的研究场所，Colbert得以从国王那里获得拨款，在Faubourg, St Jacques建立巴黎天文台，距离巴黎足够远，以避免灯光和其他问题。1667年6月21日，即夏至日，天文台正式启用，并进行了观测以确定新天文台的精确位置。穿过天文台的子午线成为巴黎的官方子午线。
在早期，Académie Royale des Sciences秘密集会，其成员的最初出版物都是匿名的。Académie邀请非成员的科学家参加会议，只是为了评估他们的工作，即便如此，来访者也得在Académie Royale成员讨论所提交工作的质量之前离开会场。提出经度构想的人之一是Jacques Graindorge，他是卡昂附近丰特奈一座本笃会修道院的院长。他早在1662年就声称知道经度的秘密，但拒绝透露他的理论。Graindorge写信给Colbert，声称他的方法能让航海者像计算纬度一样容易地通过直接测量确定经线。
1668年11月，Colbert邀请Graindorge来巴黎解释他的方法。Graindorge很高兴收到邀请，但说他负担不起来巴黎的费用。Colbert提出支付全部旅费，最后，在预订了两个马车座位以便他能更舒适地旅行之后，Graindorge同意了。1669年1月，他向Académie Royale des Sciences提交了他的方法，Académie Royale des Sciences成立了一个由克里斯蒂安·惠更斯和让-费利克斯·皮卡德组成的委员会来审查它。委员会宣布该方法无用，但Colbert仍准备付给Graindorge 1200里弗，以支付他此行的所有可能费用。Académie Royale急于审查每一个可能的解决方案，钱不是问题。
Académie Royale des Sciences的成员在1667年至1669年间对月球进行了观测，这使他们确信月球位置的数学过于困难，无法使其作为经度问题的解决方案而有用。在此期间，克里斯蒂安·惠更斯一直试图通过海上试验来完善他的钟。Howse在[7]中写道：-
1668年，他的一台计时器——在两次大风和一场海战中一直走时——给出的土伦与克里特之间的经度差为20°30'，而真值为19°13'，误差仅约100公里。他早期的计时器由摆控制，但除非海面完全平静，否则它们的走时极其不稳定。
然而在1668年，乔凡尼·多美尼科·卡西尼在意大利工作期间，发表了他历时16年编制的木星卫星表。此时的数据比伽利略最初提出该方法时更为精确，因此巴黎天文台开始了观测，Colbert着手将乔凡尼·多美尼科·卡西尼请到巴黎。在大笔金钱的诱惑下，乔凡尼·多美尼科·卡西尼于1669年4月4日来到巴黎，尽管博洛尼亚元老院、教皇和乔凡尼·多美尼科·卡西尼本人都认为这只是一次短暂的访问。
乔凡尼·多美尼科·卡西尼发现Académie Royale des Sciences的工作进展迅速。克里斯蒂安·惠更斯和阿德里安·奥祖一直在研磨透镜和反射镜，并研制出新的望远镜，使克里斯蒂安·惠更斯能够计算土星的自转周期，并发现了土星环系统和土星的一颗卫星。木星卫星所提供的通用时间 keeper 似乎为经度问题提供了部分答案，但其他困难仍然存在。地球的大小仍未被足够精确地知晓，无法在表面线性距离与通过比较地方时和绝对时得到的角度量之间进行精确换算。1669年，让-费利克斯·皮卡德被指派精确测量地球大小的任务。
让-费利克斯·皮卡德使用了三角测量法，这是海马·弗里修斯首次提出的方法，选择巴黎附近的Malvoisine亭和亚眠附近Sourdon的钟楼作为基点。测量了十三个大三角形以给出这些基点之间的精确距离。用三架望远镜对木星卫星进行了观测，让-费利克斯·皮卡德使用两个摆钟来测量时间，一个摆钟每秒摆动一次，另一个钟每半秒摆动一次。他报告说他的钟
……计秒的精确度比大多数钟计半小时的精确度还要高。
在所有测量完成并研究了测量结果之后，宣布地球的直径约为12554公里，与现在已知的赤道直径12756公里相比，这是一个很好的结果。
不久，乔凡尼·多美尼科·卡西尼负责巴黎天文台，他开始了一个项目，将木星卫星方法与关于地球大小的新数据结合起来绘制世界地图。他与许多其他国家的科学家通信，获得了数百个城镇的精确位置数据。在巴黎天文台的三楼，乔凡尼·多美尼科·卡西尼布置了一个平面球图，这是一幅以北极点为中心的方位投影世界地图。虽然这极大地扭曲了陆地形状，但它给出了精确的纬度和经度。中心系着一根绳子，上面有一个可移动的指针。将指针设定到正确的纬度，并旋转绳子到正确的经度以定位。国王、Colbert和整个法国宫廷都来观看Académie Royale des Sciences的这一奇妙创造，它由乔凡尼·多美尼科·卡西尼、让-费利克斯·皮卡德和菲利普·德拉伊尔演示。
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在完成对地球大小的测量后，让-费利克斯·皮卡德于1672年被派往卡宴进行考察。这次考察的主要目的是观测火星冲日，并且是一次成功的考察。然而，让-费利克斯·皮卡德随身带了一只在他出发前已在巴黎天文台仔细校准过的摆钟。可是到了卡宴后，这只钟每天慢约2.5分钟。让-费利克斯·皮卡德不得不把它的摆缩短约0.2厘米，使它走时准确。乔凡尼·多美尼科·卡西尼怀疑这是由于观测中的误差造成的。其他从巴黎出发进行经度测量的考察队都被告知要注意他们的摆钟性能的任何意外变化。
1681年，Académie Royale des Sciences组织了一次前往西印度群岛戈雷岛的考察。Varin和des Hayes被选中率领这次考察，他们在离开前在巴黎接受了乔凡尼·多美尼科·卡西尼的培训，以便完善他们获得精确经度测量的技能。这是一项重要任务，因为来自世界那一地区的可靠经度测量很少。虽然这次考察主要是为了确定经度，但它也被用于一般科学目的，科学家们被指示读取温度和压力，并收集科学数据。
乔凡尼·多美尼科·卡西尼详细描述了应如何精确进行经度测量。这些指示包含在若干篇文章中，极好地说明了当时的科学方法。在对卫星食进行计时时极为小心。使用的是木星最近的卫星Io，为了提高精度，对食的六个阶段进行了计时。第一次读数是在Io距木星的距离等于其直径时取得，下一次是在它接触木星时，第三次是在它被完全食时，第四次是在它刚从木星背后出现时，第五次是在它接触木星时，第六次也是最后一次计时是在Io距木星为其自身直径时。
Brown在[1]中解释了乔凡尼·多美尼科·卡西尼关于一人和两人观测的说明：-
观测并记录这些相位是两个人的工作：一人观测，一人记录以分和秒为单位的时间。如果观测者不得不独自工作……[他]在食开始的瞬间开始大声数“one-five-hundred, two-five-hundred, three-five-hundred”等等，他继续数直到他能走到钟前并记下时间。然后通过从钟的读数中减去他的计数，他就得到了进行观测的时间。
他们使用了两台时钟，一台保持平太阳时，即每天24小时，另一台保持恒星时，每天23小时56分4秒（即恒星回到前一天相同位置所需的时间长度）。这些时钟通过观测太阳和一颗恒星来进行校准。观测地点的纬度是通过计算北极星和正午太阳的高度，并查阅赤纬表得出的。经度则是利用日食和月食的时间差，结合当地时间和绝对时间的差异来计算的。
Varin和des Hayes发现，他们的钟像让-费利克斯·皮卡德的钟一样走时不准，他们不得不缩短摆的长度。乔凡尼·多美尼科·卡西尼不相信钟的这种表现是由于赤道附近重力的差异。艾萨克·牛顿曾预言地球在两极是扁平的，他很高兴接受这一实验证据作为其主张的证明，并在其Principia第三版中引用了这些实验的结果。
Académie Royale des Sciences解决了陆地上地点的经度问题。他们的数据准确，并且在乔凡尼·多美尼科·卡西尼的监督下收集，首次带来了对地球的准确认识。然而，在海上寻找经度的问题仍然存在，这对贸易船只和海军优势至关重要。木星卫星的方法对此毫无用处，因为船只的运动使得观测食的时间成为不可能。许多人设计了旨在使平台在船只摇晃时保持固定的平台，但都没有成功。
