抽象线性空间Abstract linear spaces

由皮埃尔·德·费马和勒内·笛卡儿在1636年前后引入的笛卡儿几何对数学产生了非常大的影响，把代数方法带入了几何。然而到19世纪中叶，人们对这些坐标方法产生了一些不满，人们开始寻找直接方法，即无坐标的综合几何方法。

然而，向量概念的起源可以追溯到19世纪初伯纳德·波尔查诺的工作。1804年，他出版了一部关于初等几何基础的著作Betrachtungen über einige Gegenstände der ElementargoemetrieⓉ（对初等几何某些条目的反思）。伯纳德·波尔查诺在这本书中把点、直线和平面视为未定义元素，并在它们之上定义运算。这是几何公理化的重要一步，也是朝着线性空间概念所必需的抽象迈出的早期一步。

离开坐标几何的转变主要归功于让-维克托·彭赛列和米歇尔·沙勒的工作，他们是综合几何的创立者。分析中的平行发展则是从序列空间等具体对象空间走向抽象线性空间。代替由矩阵定义的替换，必须在抽象线性空间上定义抽象线性算子。

1827年，奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯出版了Der barycentrische CalculⓉ（重心计算），这是一部研究直线和圆锥曲线变换的几何著作。这部作品的新颖之处在于引入了重心坐标。给定任意三角形$ABC$，如果在$A, B$和$C$处分别放置权重$a, b$和$c$，那么就确定了一个点$P$，即重心。奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯表明，平面中的每一点$P$都由齐次坐标$[a,b,c]$确定，这些权重需要放置在$A, B$和$C$处，以使重心位于$P$。这里的重要性在于，奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯考虑的是有向量，这是向量的早期出现。

1837年，奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯出版了一本关于静力学的书，其中明确提出了沿两条指定轴分解矢量的思想。

在奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯的这两部著作之间，Bellavitis于1832年出版了一部几何著作，其中也包含矢量类型的量。他的基本对象是线段$AB$，并将$AB$和$BA$视为两个不同的对象。他将两条线段定义为“等效力”的，如果它们相等且平行，因此用现代记号来说，两条线段若表示同一矢量则等效力。Bellavitis随后定义了“线段的等效力之和”，并得到了一种“等效力演算”，其本质上是一个矢量空间。

1814年，让-罗贝尔·阿尔冈将复数表示为平面上的点，即实数的有序对。威廉·哈密顿将复数表示为实数上的二维向量空间，尽管他当然没有使用这些一般的抽象术语。他在1833年向Irish Academy提交了一篇论文，展示了这些结果。在接下来的10年里，他致力于在实数上的三维向量空间上定义乘法。威廉·哈密顿的四元数发表于1843年，是四维向量空间的一个重要例子，但特别是随着彼得·格思里·泰特关于四元数的工作于1873年发表，向量方法和四元数方法之间出现了一些竞争。

你可以在THIS LINK看到纪念威廉·哈密顿发现四元数地点的牌匾图片，以及一幅（想象性的）版画，描绘他在THIS LINK刻下规则的情景。

1857年，阿瑟·凯莱引入了矩阵代数，通过增加所研究的结构律类型，推动了向更一般的抽象系统的转变。1858年，阿瑟·凯莱注意到四元数可以用矩阵表示。

1867年，埃德蒙·拉盖尔写信给夏尔·埃尔米特Sur le calcul des systèmes linéairesⓉ（《论线性系统的计算》）。他的systèmes linéaires是一个线性方程组系数的表格，用一个单独的大写字母表示，而埃德蒙·拉盖尔定义了这些线性系统的加法、减法和乘法。在这项工作中，埃德蒙·拉盖尔旨在统一代数系统，如复数、威廉·哈密顿的四元数以及由埃瓦里斯特·伽罗瓦和奥古斯丁·路易·柯西引入的概念。

埃德蒙·拉盖尔关于线性系统的工作由Carvallo在1891年的一篇论文所跟进。在这篇论文中，他定义了向量函数上的算子，并明确区分了算子与矩阵。

要理解算子与矩阵这两个概念之间的区别，只需说明：如果改变坐标系，人们会得到不同的矩阵来表示同一个向量函数，但算子相同。

另一位走向无坐标几何的数学家是赫尔曼·格拉斯曼。他的工作极具原创性，但奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯引入的重心坐标概念是他的主要动机。赫尔曼·格拉斯曼的贡献Die AusdehnungslehreⓉ（扩展理论）出现了几个不同的版本。第一个版本在1844年，但这是一部非常难读的著作，显然没有得到数学家的青睐，因此赫尔曼·格拉斯曼试图制作一个更易读的版本，于1862年问世。阿尔弗雷德·克莱布什激励赫尔曼·格拉斯曼研究这个新版本。

赫尔曼·格拉斯曼研究了一种代数，其元素未被指定，因此是抽象的量。他考虑元素的系统，在其中定义了形式化的加法、标量乘法和乘法运算。他从未定义的元素开始，称之为“简单量”，并使用指定的规则生成更复杂的量。

但是……我更进一步，因为我不仅称这些为量，而且称它们为简单量。还有其他一些量，它们本身是复合量，并且它们的特征彼此之间的区别，就像不同简单量的特征彼此之间的区别一样明显。这些量是通过更高形式的相加而产生的……

他的工作包含了熟悉的向量空间定律，但由于他还定义了一种乘法，他的结构满足今天所谓的代数性质。确切的结构现在被称为赫尔曼·格拉斯曼代数。线性无关和线性相关元素集的概念清楚地包含在赫尔曼·格拉斯曼的工作中，维数的概念也是如此（尽管他没有使用这个术语）。标量积也出现在赫尔曼·格拉斯曼1844年的工作中。

赫尔曼·格拉斯曼1862年版的Die AusdehnungslehreⓉ（扩张理论）有一个很长的引言，赫尔曼·格拉斯曼在其中给出了他的理论的概要。在这个引言中，他还为自己显然受到许多数学家反对的形式化方法进行了辩护。赫尔曼·格拉斯曼的辩护非常接近于说他正在建立一个公理理论，这表明他远远超越了他的时代。

奥古斯丁·路易·柯西和阿代马尔·巴雷·德·圣维南都有理由声称发明了与赫尔曼·格拉斯曼类似的系统。阿代马尔·巴雷·德·圣维南的声称是合理的，因为他在1845年发表了一部著作，其中他以类似于赫尔曼·格拉斯曼的方式对线段进行乘法运算。事实上，当赫尔曼·格拉斯曼读到阿代马尔·巴雷·德·圣维南的论文时，他意识到阿代马尔·巴雷·德·圣维南没有读过他1844年的工作，于是将相关部分的两份副本寄给奥古斯丁·路易·柯西，请他转交一份给阿代马尔·巴雷·德·圣维南。

然而，相当典型的是，奥古斯丁·路易·柯西在1853年于Comptes Rendus发表了Sur les clefs algébriqueⓉ（论代数钥匙），其中描述了一种形式符号方法，与赫尔曼·格拉斯曼的方法一致（但没有提及赫尔曼·格拉斯曼）。赫尔曼·格拉斯曼向Académie des Sciences抱怨说他的工作优先于奥古斯丁·路易·柯西的工作，于是在1854年成立了一个委员会来调查谁有优先权。我们仍在等待委员会的报告！

第一个看到赫尔曼·格拉斯曼工作重要性的人是赫尔曼·汉克尔。1867年，他写了一篇论文Theorie der complexen ZahlensystemeⓉ（复数系理论），涉及符号的组合被抽象定义的形式系统。他将赫尔曼·格拉斯曼的Die AusdehnungslehreⓉ（扩张理论）归功于为他的工作提供了基础。

第一个给出实线性空间公理化定义的是朱塞佩·皮亚诺，他在1888年于都灵出版的一本书中给出了这一定义。他将哥特弗里德·威廉·莱布尼茨、奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯1827年的工作、赫尔曼·格拉斯曼1844年的工作以及威廉·哈密顿关于四元数的工作归功为为他提供思想、引导他建立其形式演算的来源。

朱塞佩·皮亚诺1888年的书Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttivaⓉ（《根据H. Grassmann的扩展理论的几何计算，前面附有演绎逻辑的运算》）非常出色。它给出了集合运算的基本演算，引入了现代记号∩、∪、∈，分别表示交、并和属于。这一记号过了很多年才被接受，事实上朱塞佩·皮亚诺的书似乎很多年都影响甚微。它同样出色之处在于包含了对线性空间和线性代数的近乎现代的引入。

在 朱塞佩·皮亚诺 一书的第九章中，给出了线性空间的公理。
很难相信 朱塞佩·皮亚诺 在1888年写下了以下内容。它几乎可以出自1988年的一本书！第一条是关于元素的相等

1. $(a = b)$当且仅当$(b = a)$，如果$(a = b)$且$(b = c)$则$(a = c)$。

2. 定义两个对象a与b的和，即定义一个记为a + b的对象，它也属于该系统，并满足：
如果$(a = b)$，则$(a + c = b + c), a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c$，
并且最后一个等式的共同值记为$a + b + c$。

3. 如果 a 是系统中的一个对象，m 是一个正整数，那么我们以 ma 表示 m 个等于 a 的对象之和。容易看出，对于系统中的对象 a, b, ... 和正整数 m, n, ...，有
如果 $(a = b)$ 那么 $(ma = mb), m(a+b) = ma+mb$，$(m+n)a = ma+na, m(na) = mna, 1a = a.$
我们假设对于任何实数 m，记号 ma 都有意义，使得上述方程成立。

朱塞佩·皮亚诺接着陈述了零对象0的存在，并说$0a = 0$，即$a - b$意味着$a + (-b)$，并指出容易证明$a - a = 0$和$0 + a = a$。

朱塞佩·皮亚诺将线性系统定义为满足其四个条件的任何对象系统。他接着定义了相关对象和独立对象。然后他定义了维数。

定义：线性系统的维数是该系统中线性无关对象的最大数目。

他证明了有限维空间有基，并给出了无限维线性空间的例子。朱塞佩·皮亚诺考虑变量$x$的整函数$f(x)$，定义了$f_{1}(x)$与$f_{2}(x)$的和以及$f(x)$与实数$m$的积。他说：-

如果只考虑次数为$n$的函数，那么这些函数构成一个具有$n + 1$维的线性系统，而任意次数的整函数构成一个具有无限多维的线性系统。

朱塞佩·皮亚诺定义了线性空间上的线性算子，表明通过使用坐标可以得到一个矩阵。他定义了线性算子的和与积。

在19世纪90年代，萨尔瓦托雷-平谢尔研究了无限维向量空间上线性算子的形式理论。然而，萨尔瓦托雷-平谢尔的工作并非基于朱塞佩·皮亚诺的成果，而是基于哥特弗里德·威廉·莱布尼茨和让·勒朗·达朗贝尔的抽象算子理论。与该领域的许多工作一样，它几乎没有产生直接影响，直到20世纪20年代斯特凡·巴拿赫及其合作者重新研究这一课题，公理化的无限维向量空间才再次得到研究。

尽管从未达到朱塞佩·皮亚诺所实现的抽象水平，大卫·希尔伯特和他的学生艾尔哈德·施密特在1904年研究了无限维函数空间。艾尔哈德·施密特在1908年将几何语言引入大卫·希尔伯特空间理论，朝着抽象化迈出了一步。完全公理化的方法出现在斯特凡·巴拿赫1920年的学位论文中。