数学史专题
时间从数学诞生之初就在其中扮演了核心角色，然而它仍然是我们所生活的世界中最神秘的方面之一。地球上文明的起源需要关于季节的知识，围绕一年长度、一天长度和一月长度的谜团开始被研究。世界上所有宗教都赋予时间核心角色，无论是在占星术、创世故事、循环的世界历史、永恒的概念等方面。哲学家们试图把握这个概念；一些人认为时间是宇宙的基本属性，而另一些人则认为它是一种幻觉，或者是人类心灵的属性而非世界的属性。从有记录的历史开端到现在，人们投入了巨大的努力来制造以越来越高的精度测量时间的装置。
20世纪的量子力学和相对论已经显示了时间概念中的复杂性，有时甚至是明显的悖论。然而基础数学将时间视为理所当然，并围绕一个粒子发展微积分，该粒子在时间的位置由给出，其速度为，即对时间的导数，其加速度为二阶导数。这要求时间是连续的，并且时间间隔总是可分的，然而量子理论告诉我们时间是量子化的，与构成应用数学基础的数学时间相当不同。我们将在文章时间史：20世纪时间中考察20世纪在理解时间方面的迷人发展。在本文中，我们考察关于时间的观念如何发展，最终达到艾萨克·牛顿的普遍绝对数学时间。
当然，这些文章的标题本身：“时间的历史”就令人困惑。“历史”的概念已经包含了“时间”的概念。但让我们明确，我们打算在这两篇文章中考察的是关于时间的观念如何发展的历史，并且正如本档案中一贯的那样，我们强调数学方面。
数学几乎可以肯定是通过对时间的研究开始的，特别是记录事件序列的需要。理解季节对于成功种植作物至关重要。作物应该在什么时候种植？雨季什么时候到来？河流什么时候泛滥？应该在什么时候收割作物？天空中自然的计时器是太阳的每日运行和月亮的每月相位。知道一年的长度至关重要，但从天空中的计时器来看却远不那么明显，这一事实导致了计算。计数天数和月份也是必要的，这产生了历法。最早的计时证据可以追溯到大约20000年前；大约此时欧洲在棍棒和骨头上所做的标记的证据被认为是连续新月之间天数的记录。许多古代历法被创造出来，但作为例子，让我们简要看看大约公元前4500年的一个埃及历法。
对埃及人来说，知道尼罗河何时泛滥很重要，因此这在他们的历法发展方式中起了很大作用，其历法始于约公元前4500年一个以月为基础的早期版本。从公元前4236年起，一年的开始被选定为天狼星——天空中最亮的恒星——的偕日升。偕日升是恒星在因过于靠近太阳而不可见的一段时期之后的首次出现。对天狼星而言，这发生在七月，这被视为一年的开始。尼罗河在此之后不久泛滥，因此这是一个自然的年度开端。天狼星的偕日升会告诉人们准备应对洪水。一年被计算为365天，到公元前2776年，人们已经知道这一精确度。为了记录日期，创建了365天的民用历。后来，人们算出了更精确的3651/4天作为一年的长度，但民用历从未更改以将其考虑在内。事实上，两种历法并行运行，一种用于播种、收割庄稼等实际目的，以朔望月为基础。
将一年划分为月是自然的，但由于一年中没有整数个月，这又很复杂。同样，由于同样的原因，将月划分为日也很复杂。一天是一段很长的时间，显然需要划分一天，但如何划分却不那么明显。大约在公元前3000年，苏美尔人将一天分为12个时段，并将每个时段分为30个部分。大约1000年后兴起的巴比伦文明，与早期的苏美尔人位于今伊拉克的同一地区，将一天分为24小时，每小时分为60分钟，每分钟分为60秒。正是他们对一天的划分，给了我们广泛使用的现代时间单位。当然，我们应该注意到，这些现代单位虽然源自巴比伦版本，但今天并非由天文数据定义。我们还应该注意到，许多早期的时间单位在一年中会变化，因为昼夜长度随季节而变化。
现在，时间单位需要某种测量方法，毫不奇怪，由于它们的天文学定义，早期测量时间的装置使用了太阳。大约从公元前3500年起，人们使用日晷指针，它由一根垂直的棍子或细长的纪念碑组成，其影子指示一天中的时间。后来，大约在公元前1500年，日晷开始使用。日晷的问题在于，太阳在一年中穿过天空的路径不同。为了确保日晷全年大致记录正确的时间，日晷指针必须设置在完全正确的角度。随着大约公元前300年半球形日晷的引入，日晷发展成为一种更精确的仪器。到罗马建筑师维特鲁威在公元前27年前不久撰写De architecturaⓉ（《论建筑》）时，他能够在其著作第9卷中描述13种不同设计的日晷。
当然，太阳不能用来在夜间报时，到公元前1500年，埃及已在使用clepsydras或水钟。水从容器底部的一个孔流出，容器内部有线条指示时间的流逝。早期的版本没有考虑到随着压力下降，水流出得更慢这一事实。沙子也被用于至今仍熟悉的沙漏中，沙子从容器中滴落，需要一段固定的时间流完。
在这些早期文明中，时间测量具有很高的宗教意义。当然，成功的作物管理对文明生存的重要性意味着时间获得了宗教意义，而测量时间的天文学方式强调了这一点。此外，宗教仪式要求在特定时间进行某些活动，因此需要详细了解历法。我们所说的一个例子可以通过基督教复活节节日的计算方式来说明。它发生在春分或之后第一次满月后的第一个星期日。更复杂的时间与宗教的交织发生在毕达哥拉斯和佛陀身上，大约在公元前500年，他们都声称时间具有循环性质，人类在时间之流中重生。两人都能回忆起前世在地球上的记忆，事实上，鉴于在季节和年份中观察到的时间的循环性质，这个想法是非常自然的。一些宗教，如犹太教和基督教，基于创世故事，其中时间始于创世行为。在这些宗教中，造物主通常被认为在时间之外，这是一个难以理解的概念。让我们考察一些早期但对时间概念的理解有重要贡献的思想。
芝诺，约公元前450年，提出了若干悖论，指出了时间令人困惑的方面。在悖论‘飞矢’中，芝诺论证道，用亚里士多德的话说：-
If, says 芝诺, everything is either at rest or moving when it occupies a space equal to itself, while the object moved is in the instant, the moving arrow is unmoved.
论证基于这样一个事实：如果在不可分割的时间瞬间箭移动了，那么这个时间瞬间确实是可分割的（例如，在更小的‘瞬间’内，箭会移动一半的距离）。亚里士多德通过声称以下内容来反驳这个悖论：-
……因为时间并非由不可分的“现在”组成，正如其他任何量度也不是。
对于亚里士多德否认“现在”作为划分过去与未来的瞬间而存在，似乎也违背直觉。另一方面，如果瞬间“现在”不存在，那么箭就从未占据任何特定位置，这似乎也不对。实际上，人们觉得亚里士多德过于轻易地驳回了芝诺的微妙悖论。这个悖论很精彩，芝诺指出了真正深刻的谜题。
让我们看看柏拉图和亚里士多德如何看待时间。柏拉图认为，时间是在造物主从已有材料塑造世界、赋予原始物质形式时被创造的。柏拉图在Timaeus中论证造物主：——
……力求使宇宙尽可能永恒。现在，理想存在的本性是永恒的，但将这一属性完整地赋予一个被造物是不可能的。因此，他决定让永恒有一个运动的影像，当他安排诸天时，他使这个影像永恒但运动，依照数，而永恒本身则安息于统一；这个影像我们称为时间。
因此，根据柏拉图，时间与诸天在同一瞬间被创造，见[15]。然而，亚里士多德反对柏拉图关于时间被创造的观点。他的思想将时间与运动联系起来。在某种意义上这是合理的，因为对亚里士多德来说，时间由天体的运动来度量，所以一段时间由太阳划过天空的运动来表示。其他计时方式如水钟和沙漏也将时间与运动等同起来，在这些情况下是水或沙的运动。亚里士多德声称，有一种论证说时间不存在，因为过去不再存在，未来尚未存在。审视这一论证后，他拒绝它，并将时间定义为可计数的运动。由此我们看出他为何反对芝诺的箭悖论。对芝诺来说，箭不能运动，因为它在瞬间不运动。然而，对亚里士多德来说，时间本身就是运动，时间的流动就是箭或日月划过天空的运动。
圣奥古斯丁在公元4世纪末左右，将柏拉图的许多哲学引入基督教。柏拉图的创世版本与《创世记》的叙述不太吻合，因为在那里上帝从无中创造世界，而对柏拉图来说，世界是通过赋予原始物质秩序而被创造的。然而，圣奥古斯丁同意柏拉图的观点，即时间始于创世。他回答为何世界没有更早被创造的问题时明确指出，不存在“更早”。然而，时间的概念对圣奥古斯丁来说仍是一个谜：——
那么时间究竟是什么？没有人问我，我倒清楚；如果有人问我，我想说明，便茫然不解了。
与亚里士多德一样，圣奥古斯丁质疑过去或未来是否真实存在。当然，只有现在是实际存在的，而现在是瞬时的，只能通过它的流逝来衡量。然而，像亚里士多德一样，圣奥古斯丁说，过去和未来的时间怎么可能不存在呢。他试图通过声称过去的时间只有在现在被思考时才能被认为是过去，来回答这个明显的矛盾。他确定了三种时间：-
……过去事物的现在，现在事物的现在，以及未来事物的现在。……过去事物的现在是记忆，现在事物的现在是视觉，未来事物的现在是期望。
圣奥古斯丁得出了这样的结论：如果没有一个能够在现在思考过去、现在和未来事物的理智存在者，时间就不存在。然而，他对自己这些想法并不真正满意，并祈求启示：-
我的灵魂渴望知道这个最纠缠不清的谜。主啊，我向你承认，我还不知道时间是什么。
圣奥古斯丁感到自己的想法不尽如人意，这当然是正确的，但尽管如此，他对时间的思考比在他之前的任何人——包括最伟大的希腊哲学家——似乎都更为深刻，也比此后一千年中任何其他人似乎都更为深刻。如果他的想法不尽如人意，至少圣奥古斯丁第一次认识到时间是一个多么复杂而令人困惑的概念。
在圣奥古斯丁思考这一难题的时期，用于测量时间周期的钟表取得了一些进展。然而，这些进展并非在于新型钟表，而仅仅在于日晷和漏刻设计的改进。漏刻上增加了机械装置，用以敲钟、移动表盘上的指针、开门展示人偶，如同现代布谷鸟钟，但这些都无助于改进基本的计时。然而，人们对钟表兴趣浓厚，公元前一世纪，雅典建成了风之塔。它既有日晷，也有驱动机械装置在24小时刻度上显示小时的漏刻。它还有其他与时间相关的功能，如显示季节和各种占星日期。
从公元500年到1300年左右，欧洲在计时方面毫无进展，但在其他国家，进展仍在继续，机械钟被引入中国。然而，14世纪欧洲擒纵轮的发明引发了机械钟的革命。擒纵轮的工作原理是，一个带齿的轮子被一对金属片阻止旋转，金属片上下移动，使齿轮每次前进一个齿。金属片连接在一个摆杆上，这是一个配重横杆，上面的小重物可以前后移动，以调整摆杆摆动的速率。整个机构由驱动齿轮的重物提供动力。这种钟比任何早期的计时方式都更精确，但很难调整以获得这种精确度。钟的运行速度仍然完全取决于重物施加的动力以及机构中的摩擦力。
这种机械钟的一个早期例子是1352年至1354年间在斯特拉斯堡建造的一座钟。三王钟建于斯特拉斯堡大教堂，高十二米。当时的钟需要很大，以便重物有较长的下落距离，否则重物需要频繁上弦，但斯特拉斯堡钟不仅仅是一座钟，因为它将时间与其所有天文起源联系起来。此外，这座钟在装饰和自动装置的新奇性方面都是一件艺术品。钟的最低部分是一个日历，其上方是一个星盘，再上方是圣母与圣婴的雕像。每小时，东方三博士的人偶出现，向圣母与圣婴鞠躬，同时钟声响起，一只自动公鸡啼叫并拍动翅膀。
你可以看到一个picture of the Strasbourg clock。
时间获得了某种它以前未曾享有的地位。机械钟是重要的地位象征，但城镇只需要自己的地方时间，还要再过500年，火车的出现才使标准时区成为必需。
我们稍后会回到斯特拉斯堡天文钟，但首先让我们考虑14世纪尼克尔·奥里斯姆的著作De proportionibus proportionum Ⓣ（比例的 proporciones）。在这部著作中，尼克尔·奥里斯姆讨论了天体运动是否可公度，或者换句话说，是否存在一个基本时间间隔，使得日、月、年都是它的精确整数倍。一方面，尼克尔·奥里斯姆说人们可能期望宇宙的创造者会如此安排事物。然而，他结束讨论时，却站在了没有两种天体运动是可公度的一边。这是一场引人入胜的讨论，本质上是在问由太阳和月亮测量的时间是否是“同一个”时间。
斯特拉斯堡天文钟运行了大约150年后，其机械装置失灵。人们决定更换这座钟，并于1547年开始在大教堂内建造一座新钟。斯特拉斯堡科学院的天文学家和数学教授Chrétien Herlin与两位同样是数学家的助手负责该项目。项目开始时，大教堂是新教的，因为大约二十年前宗教改革席卷了德国。然而，新钟开始建造后不久，大教堂又回归为罗马天主教教堂，项目被搁置，直到1571年大教堂再次成为新教教堂时才重新启动。Herlin在斯特拉斯堡科学院数学教授职位的继任者是Conrad Dasypodius，他现在被任命负责此事。
这座钟既是机械上的也是艺术上的杰作，清晰地展示了16世纪人们如何看待时间。时间是天文时间，建立在天体运动的基础上，这通过一个带有48个星座和1022颗恒星的天球来体现。太阳、月亮和五颗行星的运动被展示出来。日食、月食和月相也被展示，还有一个根据克劳狄乌斯·托勒密的宇宙模型设计的星盘。
在16世纪，解决与时间有关的问题变得至关重要，因为它与确定经度有关。在一个全球探索的时代，确定位置成为一个关键问题，人们投入了大量精力来解决它。人们认识到，一个世界性的绝对时间标准将允许通过与当地时间的比较来计算任何位置的经度，这是促使人们努力设计精确时钟的主要动力。这也导致人们在思想上明确区分了绝对时间和当地时间。海马·弗里修斯在1530年写道：-
……在我们的旅途中，我们应当确保我们的时钟从不停摆。当我们走完15或20英里的路程后，我们或许会乐于知道我们所到达之处与出发地之间的经度差。我们必须等到我们时钟的指针恰好触及某个整点，并在同一时刻借助星盘……我们必须求出我们现在所处地点的时间。
在17世纪，伽利略在天空中发现了记录“绝对时间”的“时钟”，即木星卫星的食的时间。理论上，这为经度问题提供了解决方案，但在实践中，从船甲板上观察木星卫星的食基本上是不可能的。为解决确定经度的问题提供了几项大奖，伽利略在1616年试图说服西班牙宫廷，他可以使用木星的卫星确定绝对时间，在未能说服他们之后，当荷兰在1636年提供大奖时，他试图说服荷兰采用他的方法。
这不是伽利略对时间研究的唯一贡献。早在发现木星卫星之前，他就在1583年发现了摆的基本特性。在比萨大教堂参加礼拜时，他注意到教堂里摆动的灯无论位移多大，摆动时间都相同。当然，有人可能会合理地问，在伽利略的时代，没有设备能精确测量小时间间隔，他是如何发现这一点的。事实上，伽利略使用了他身体内置的生物钟，因为他用自己的脉搏来比较摆摆动所需的时间。伽利略似乎直到许多年后才意识到他的发现可能用于设计精确的时钟，但在1640年左右，他确实设计了第一个摆钟。伽利略于1642年初去世，但他的钟设计的重要性肯定被他的儿子意识到了，他试图按照伽利略的设计制造一个钟，但失败了。
第一个成功制造摆钟的是克里斯蒂安·惠更斯在1656年，见[11]。这项发明为时间测量带来了新的精度，他的早期版本每天误差不到1分钟。通过后来改进的设计，克里斯蒂安·惠更斯能够建造一个每天误差在10秒内的钟。罗伯特·胡克使用弹簧的自然振荡来控制钟的摆轮，几年后克里斯蒂安·惠更斯也试验了摆轮和弹簧组件，这种组件至今仍可在机械手表中找到。
勒内·笛卡儿使用数学原理来解释世界，许多人，包括伦敦皇家学会的早期成员，都效仿他的榜样。然而，这在许多用宗教解释世界并反对机械方法的人中引发了反应。罗伯特·波义耳，一位伟大的数学描述世界的倡导者，通过明确表示他相信一位能够创造一个按照某些规律运行的机械宇宙的上帝来提供答案，并以斯特拉斯堡钟为例。罗伯特·波义耳说，斯特拉斯堡钟的创造者建造了一个无需建造者干预即可自行运行的机械装置，与上帝创造的宇宙之间存在相似之处，宇宙按照他的规律运行，但无需他的干预。机械宇宙的终极版本出现在1687年艾萨克·牛顿的Principia中。对艾萨克·牛顿定律的整个描述都依赖于时间，因此艾萨克·牛顿首先将时间定义为：-
...绝对的、真实的、数学的时间，[它]自身，并且从其自身的本性出发，均匀地流动，与任何外部事物无关。
这是关于时间的一个重大新思想，见[6]、[9]、[16]和[17]。时间不再由宇宙决定，而是艾萨克·牛顿假设了一个绝对时钟，它外在于宇宙，独立于宇宙本身来测量时间。凭借他的思想，艾萨克·牛顿将时间置于数学中的一个新位置。微积分是他的流数理论，将运动与这种普遍的时间流动联系起来。时间不再能像一些古代哲学家所暗示的那样被称为幻觉，因为现在整个科学都建立在完全基于时间概念的法律之上。
然而，并非所有人都被艾萨克·牛顿的论点说服，哥特弗里德·威廉·莱布尼茨使用宗教推理反对艾萨克·牛顿的绝对时间概念。他相信上帝是理性的，因此每个行动都需要一个理由。那么上帝如何能选择一个瞬间来创造宇宙呢？如果像艾萨克·牛顿所声称的那样，没有办法区分一个时间与另一个时间，上帝就面临着一个不可能的选择，即理性地决定创造的时刻。尽管今天许多人可能不认为哥特弗里德·威廉·莱布尼茨的这个论证是科学的，但它可以转化为一个哲学论证，并且以一种现代形式，会主张时间是在创造的瞬间被创造出来的。哥特弗里德·威廉·莱布尼茨还使用了另一个论证。如果两个事物在各方面都完全相同，那么，哥特弗里德·威廉·莱布尼茨声称，它们就是一回事。艾萨克·牛顿的绝对空间和时间根据其定义在任何时候任何地方都是相同的，因此莱布尼茨声称任何两个位置都是一回事，任何两个时间也是一回事。
艾萨克·牛顿基于其精确数学定律对宇宙的描述还有另一个有趣的后果，这一点被皮埃尔·西蒙·拉普拉斯完全理解。如果一个人知道宇宙中每个粒子的精确位置和运动，那么他就可以计算出每个粒子的未来位置，以及过去的位置。一个例子是预测日食和月食，这可以通过知道太阳系中物体的位置和运动，然后使用艾萨克·牛顿的定律来实现。这样的知识也允许我们计算过去发生这种日食和月食的时间。皮埃尔·西蒙·拉普拉斯正确地论证说，给定力学定律，过去和未来世界的完整图景都 encapsulated 在当前世界中。随后是一个科学旨在以越来越高的精度进行计算的时代。
艾萨克·牛顿的定律很快被接受，因为它们导致了对世界的正确预测。然而，它们确实包含几个谜题，其中之一是它们仅仅描述了世界的样子，而没有说明为什么如此。就时间而言，它们最令人困惑的方面是，如果时间向前运行或时间向后运行，它们同样有效。定律中存在完全的时间对称性，然而人类经验导致人们相信时间总是向前流动。直到19世纪中叶，鲁道夫·克劳修斯才提出了热力学第二定律，这是第一个在时间方向上缺乏对称性的定律，参见[7]。
鲁道夫·克劳修斯于1850年2月18日向柏林科学院宣读了一篇包含热力学第二定律的论文。他定义了熵，最初衡量的是可以从热气体中提取的以功的形式存在的能量，但后来代表了对系统随机性的更一般度量。热力学第二定律指出，封闭系统的熵总是增加，即其随机性总是增加。这可以通过以下事实来说明：如果我们取一个中间有隔膜的盒子，一侧充满热气体，另一侧充满冷气体，那么移除隔膜将导致热气体和冷气体混合，温度将接近两种气体的平均温度。人们不会期望看到相反的情况发生。如果盒子充满气体，人们不会期望高能分子移动到盒子的一侧，低能分子移动到另一侧。该系统不是时间对称的。
尽管在理解时间概念方面仍然存在困难，但到19世纪后期，人们不得不说艾萨克·牛顿的普遍时间在为那些被观察到以高度精确性成立的定律提供基础方面已被证明极为有效。虽然我们今天远未理解时间概念，但20世纪见证了时间研究的革命。我们可能不理解时间，但我们知道艾萨克·牛顿的绝对时间无法提供答案。在时间史：20世纪时间一文中，我们考察这场革命。
