二次、三次与四次方程Quadratic, cubic and quartic equations

人们常常声称巴比伦人（约公元前1800年）是最早解二次方程的人。这是一种过度简化，因为巴比伦人没有“方程”的概念。他们确实发展出了一种算法方法来解决问题，用我们的术语来说，这些问题会产生二次方程。该方法本质上是配方法。然而，所有巴比伦问题的答案都是正数（更准确地说，是无符号数）量，因为通常的答案是一个长度。

大约在公元前300年，欧几里得发展了一种几何方法，尽管后来的数学家用它来解二次方程，但该方法实际上相当于求一个长度，用我们的记号来说，这个长度是二次方程的根。欧几里得没有方程、系数等概念，而是纯粹用几何量来工作。

印度数学家将巴比伦方法推进得更远，因此婆罗摩笈多（公元598-665年）给出了一种几乎现代的、允许负量的方法。他还用缩写表示未知量，通常使用一种颜色的首字母，有时一个问题中会出现几个不同的未知量。

阿拉伯人不知道印度人的进步，因此他们既没有负数，也没有未知数的缩写。然而花拉子米（约800年）给出了不同类型二次方程的分类（尽管每种只有数值例子）。不同类型的出现是因为花拉子米没有零或负数。他有六章，每章专门讨论一种不同类型的方程，这些方程由三种量组成，即：根、根的平方和数，即$x, x^{2}$和数。

1. 平方等于根。
2. 平方等于数。
3. 根等于数。
4. 平方和根等于数，例如$x^{2} + 10x = 39$。
5. 平方与数等于根，例如$x^{2} + 21 = 10x$。
6. 根与数等于平方，例如$3x + 4 = x^{2}$。

花拉子米给出了求解每一类方程的规则，本质上就是我们所熟悉的一元二次方程求根公式，在每种情形下都针对一个数值例子给出，然后对每个例子给出一个证明，该证明是几何上的completing the square.

Abraham bar Hiyya Ha-Nasi，常以其拉丁名Savasorda为人所知，因他的书Liber embadorumⓉ（测量之书）而闻名，该书于1145年出版，是欧洲出版的第一本给出二次方程完整解的书。

大约1500年，数学在意大利开始了一个新阶段。1494年，Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalitaⓉ（《算术、几何、比与比例之总和》）的第一版问世，此书现在被称为Suma,。它由卢卡·帕西奥利撰写，尽管在书上很难找到作者的名字，Fra Luca以小号字出现，但不在扉页上。在许多方面，这本书更像是对当时知识的总结，没有取得重大进展。记号和计算过程的书写几乎已是现代风格：

                    6.p.R.10
                   18.m.R.90
____________________________
108.m.R.3240.p.R.3240.m.R.90


hoc est 78.

用我们的记号

(6 + √10)
(18 - √90) =
(108-√3240 + √3240 - √900)
即 78。

答案90中的最后一项是早期的印刷错误，应为900，但页边太窄，印刷工漏掉了最后的0！

卢卡·帕西奥利没有讨论三次方程，但讨论了四次方程。他说，用我们的记法，$x^{4} = a + bx^{2}$可以用二次方法求解，但$x^{4} + ax^{2} = b$和$x^{4} + a = bx^{2}$是impossible at the present state of science。

希皮奥内·德尔·费罗（1465-1526）在博洛尼亚大学担任算术与几何讲席，并且一定见过1501-1502年间在博洛尼亚讲学的卢卡·帕西奥利。希皮奥内·德尔·费罗被认为用代数方法解出了三次方程，但情况要复杂一些。问题是要通过加减乘除以及取系数表达式的根来求根。我们相信希皮奥内·德尔·费罗只能解形如$x^{3} + mx = n$的三次方程。事实上，这已经足够了。

因为，给定一般三次方程$y^{3} - by^{2} + cy - d = 0$，令$y = x + \large\frac{1}{3}\normalsize b$便得到

$x^{3} + mx = n$，其中$m = c - \large\frac{1}{3}\normalsize b^{2}, n = d - \large\frac{1}{6}\normalsize bc + \large\frac{2}{27}\normalsize b^{3}$。

然而，如果没有印度人关于负数的知识，希皮奥内·德尔·费罗就无法利用他对一种情形的解法来解所有三次方程。值得注意的是，希皮奥内·德尔·费罗在1515年前后解出了这个三次方程，但他将自己的工作完全保密，直到1526年去世前不久，才把方法透露给他的学生Antonio Fior。

Fior 是一位平庸的数学家，而且远不如 希皮奥内·德尔·费罗 善于保守秘密。很快，博洛尼亚就开始流传三次方程已被解出的谣言。布雷西亚的 Nicolo，人称 尼科洛·塔尔塔利亚，意为“口吃者”，受谣言驱使，设法解出了形如 $x^{3} + mx^{2} = n$ 的方程，并且毫不隐瞒自己的发现。

Fior 向 尼科洛·塔尔塔利亚 发起公开挑战：规则是每人给对方 30 道题，并有 40 或 50 天的时间来解这些题，解出最多题的人获胜，但每解出一道题也会提供少量奖金。尼科洛·塔尔塔利亚 在 2 小时内解出了 Fior 的所有题目，因为 Fior 出的所有题都是形如 $x^{3} + mx = n$ 的，他相信 尼科洛·塔尔塔利亚 无法解出这种类型。然而，就在题目即将被收回的 8 天前，尼科洛·塔尔塔利亚 已经找到了适用于所有类型三次方程的一般方法。

尼科洛·塔尔塔利亚获胜的消息传到了米兰的Girolamo Cardan那里，当时他正准备出版Practica ArithmeticaeⓉ（《实用算术》）（1539年）。吉罗拉莫·卡尔达诺邀请尼科洛·塔尔塔利亚来访，经过多方劝说，让他透露了解三次方程的秘诀。尼科洛·塔尔塔利亚这样做了，但让吉罗拉莫·卡尔达诺承诺保密，直到尼科洛·塔尔塔利亚自己发表为止。吉罗拉莫·卡尔达诺没有遵守诺言。1545年，他出版了Ars Magna，这是第一部关于代数的拉丁文论著。

这里用现代记号给出的是吉罗拉莫·卡尔达诺对$x^{3} + mx = n$的解法。

注意 $(a - b)^{3} + 3ab(a - b) = a^{3} - b^{3}$
因此如果 $a$ 和 $b$ 满足 $3ab = m$ 和 $a^{3} - b^{3} = n$，那么 $a - b$ 是 $x^{3} + mx = n$ 的一个解。
但现在 $b = \Large\frac{m}{3a}\normalsize$，所以 $a^3 - \Large\frac{m^3 }{27a^3}\normalsize = n$，
即 $a^{6} - na^{3} - \large\frac{1}{27}\normalsize m^{3} = 0$。
这是关于 $a^{3}$ 的二次方程，所以用通常的二次方程求根公式解出 $a^{3}$。
现在通过取立方根求出 $a$，而 $b$ 可以用类似的方法求出（或利用 $b=\Large\frac{m}{3a}\normalsize$）。
于是 $x = a - b$ 就是三次方程的解。

吉罗拉莫·卡尔达诺在把公式应用于某些三次方程时注意到一件奇怪的事。在解$x^{3} = 15x + 4$时，他得到了一个包含$\sqrt{-121}$的表达式。吉罗拉莫·卡尔达诺知道不能对负数开平方，但他也知道$x = 4$是该方程的一个解。1539年8月4日他写信给尼科洛·塔尔塔利亚，试图澄清这一困难。尼科洛·塔尔塔利亚当然没有理解。在Ars Magna中，吉罗拉莫·卡尔达诺用“复数”作了一次计算来解一个类似的问题，但他其实并不理解自己的计算，他说这是as subtle as it is useless.

在尼科洛·塔尔塔利亚向吉罗拉莫·卡尔达诺展示了如何解三次方程之后，吉罗拉莫·卡尔达诺鼓励自己的学生洛多维科·费拉里研究四次方程。洛多维科·费拉里解出了四次方程，所用的方法也许是解决这类问题所找到的所有方法中最优雅的。吉罗拉莫·卡尔达诺在Ars Magna中发表了四次方程的全部20种情形。这里同样用现代记号给出洛多维科·费拉里对情形$x^{4} + px^{2} + qx + r = 0$的解法。首先配方得到

$x^{4} + 2px^{2} + p^{2} = px^{2} - qx - r + p^{2}$
即
$(x^{2} + p)^{2} = px^{2} - qx - r + p^{2}$

现在是最巧妙的一点。对任意$y$，我们有

$(x^{2} + p + y)^{2} = px^{2} - qx - r + p^{2} + 2y(x^{2} + p) + y^{2}$
$= (p + 2y)x^{2} - qx + (p^{2} - r + 2py + y^{2})$ (*)

现在右边是关于$x$的二次式，我们可以选择$y$使它成为完全平方。这通过使判别式为零来实现，在这种情况下

$(-q)^{2} -4(p + 2y)(p^{2} - r + 2py + y^{2}) = 0$。

将最后一个方程改写为

$(q^{2} - 4p^{3} + 4 pr) + (-16p^{2} + 8r)y - 20 py^{2} - 8y^{3} = 0$

可以看出它是关于$y$的三次方程。

现在我们知道如何解三次方程了，所以解出$y$。用这个$y$的值，(*)的右边是一个完全平方，因此对两边取平方根，我们得到一个关于$x$的二次方程。解这个二次方程，我们就得到了四次方程所需的解。

三次方程的不可约情形，即吉罗拉莫·卡尔达诺的公式导致负数的平方根的情形，由拉法耶尔·蓬贝利在1572年的著作Algebra中详细研究过。

在吉罗拉莫·卡尔达诺的Ars Magna之后的岁月里，许多数学家对三次和四次方程的解法做出了贡献。弗朗索瓦·韦达、托马斯·哈里奥特、埃伦弗里德·瓦尔特·冯·切恩豪斯、莱昂哈德·欧拉、艾蒂安·贝祖和勒内·笛卡儿都设计了方法。埃伦弗里德·瓦尔特·冯·切恩豪斯的方法由瑞典数学家厄兰·塞缪尔·布灵在18世纪末加以推广。

托马斯·哈里奥特做出了若干贡献。对我们来说最基础的一个，却显示出理解上的显著进步，是观察到如果$x = b, x = c, x = d$是三次方程的解，那么该三次方程为

$(x - b)(x - c)(x - d) = 0$。

托马斯·哈里奥特也有一个解三次方程的巧妙方法。考虑三次方程

$x^{3} + 3b^{2}x = 2c^{3}$

令 $\Large\frac{e^2 - b^2 }{e}$。于是

$e^{6} - 2c^{3}e^{3} = b^{6}$

这是关于 $e^{3}$ 的二次式，因此可以解出 $e^{3}$，得到

$e^{3} = c^{3} +√(b^{6} + c^{6})$。

然而

$e^{3}(e^{3} - 2c^{3}) = b^{6}$，所以 $\Large\frac{b^6}{e^3}$ $= -c^{3} +√(b^{6} + c^{6})$。

现在 $x = e -$ $\Large\frac{b^2}{e}$，而 $e$ 和 $\Large\frac{b^2}{e}$ 都是上面给出的表达式的立方根。

哥特弗里德·威廉·莱布尼茨在1673年3月给克里斯蒂安·惠更斯写了一封信。在信中他对理解三次方程做出了许多贡献。也许最引人注目的是对吉罗拉莫·卡尔达诺-尼科洛·塔尔塔利亚公式的直接验证。哥特弗里德·威廉·莱布尼茨通过从它的三个根（如公式所给出的）重构三次方程来做到这一点，正如托马斯·哈里奥特一般所声称的那样。在哥特弗里德·威廉·莱布尼茨之前似乎没有人想到这种直接的验证方法。这是该公式的第一个真正的代数证明，之前所有的证明本质上都是几何的。