圆周率史A history of Pi

《圣经》中有一节鲜为人知的经文写道

他又铸一个铜海，样式是圆的，高五肘，径十肘，围三十肘。（列王纪上 7:23）

同一节经文也见于历代志下 4:2。它出现在所罗门圣殿的规格清单中，该圣殿建于约公元前950年，此处引人注意的是它给出了 π = 3。当然，这不是一个很精确的值，甚至在其时代也不算很精确，因为埃及和Mesopotamian的$\large\frac{25}{8}\normalsize = 3.125$和√10 = 3.162 的值可以追溯到更早的时期：不过为所罗门的工匠们辩护一下，应该指出所描述的物件似乎是一件非常大的黄铜铸件，在这种情况下，高度的几何精确性既不可能也不必要。

关于如何对此作出解释以得到一个好得多的值，有一个建议见THIS LINK。

圆的周长与直径之比为常数这一事实早已为人所知，以至于无从追溯。π 的最早的值，包括《圣经》中的值 3，几乎可以肯定是通过测量得到的。在埃及的Rhind Papyrus中，其年代约为公元前1650年，有充分证据表明$4 \times (\large\frac{8}{9}\normalsize )^{2} = 3.16$是 π 的一个值。

第一个理论计算似乎是由阿基米德（公元前287-212年）完成的。他得到了近似值

$\large\frac{223}{71}\normalsize < \pi < \large\frac{22}{7}\normalsize$。

在给出他的证明提示之前，请注意这里使用不等式所涉及的相当可观的精巧程度。阿基米德知道——而许多人至今仍不知道——π不等于$\large\frac{22}{7}\normalsize$，并且没有声称发现了精确值。如果我们把他最好的估计取为两个界限的平均值，就得到3.1418，误差约为0.0002。

以下是阿基米德的论证。

考虑一个半径为1的圆，我们在其中内接一个边数为3 × $2^{n-1}$的正多边形，其半周长为$b_{n}$，并外切一个边数为3 × $2^{n-1}$的正多边形，其半周长为$a_{n}$。
插图：Archimedes_diagram.jpeg ↗
$n = 2$情形的图在右侧。

这一过程的效果是定义一个递增序列

$b_{1} , b_{2} , b_{3} , ...$

和一个递减序列

$a_{1} , a_{2} , a_{3} , ...$

使得这两个序列都以π为极限。

使用三角学记号，我们看到这两个半周长由下式给出

$a_{n} = K \tan(\large\frac{\pi}{K}\normalsize ), b_{n} = K \sin(\large\frac{\pi}{K}\normalsize )$，

其中$K = 3 \times 2^{n-1}$。同样，我们有

$a_{n+1} = 2K \tan(\large\frac{\pi}{2K}\normalsize ), b_{n+1} = 2K \sin(\large\frac{\pi}{2K}\normalsize )$，

而通过三角学不难证明

$\large\frac{1}{a_{n}\normalsize} + \large\frac{1}{b_{n}\normalsize} = \large\frac{2}{a_{n+1}\normalsize}$ . . . (1)

$a_{n+1}b_{n} = (b_{n+1})^{2}$ . . . (2)

阿基米德从$a_{1} = 3 \tan(\large\frac{\pi}{3}\normalsize ) = 3√3$和$b_{1} = 3 \sin(\large\frac{\pi}{3}\normalsize ) = \large\frac{3√3}{2}\normalsize$出发，先用(1)算出$a_{2}$，再用(2)算出$b_{2}$，再用(1)算出$a_{3}$，再用(2)算出$b_{3}$，如此继续，直到算出$a_{6}$和$b_{6}$。他的结论是

$b_{6} < \pi < a_{6}$。

必须认识到，这里使用三角学是不符合历史的：阿基米德没有代数与三角学记号之便，只能通过纯几何方法推导出(1)和(2)。而且他甚至没有我们这种十进制数字记号的便利，因此由(1)和(2)计算$a_{6}$和$b_{6}$绝非易事。所以这无论在想象力还是计算上都是相当惊人的成就，令人惊叹的不是他止步于96边形，而是他竟走到了那么远。

因为原则上当然没有理由不继续下去。许多人都这样做了，包括：

除了祖冲之之外——关于他几乎一无所知，而且他极不可能知道阿基米德的工作——这些改进没有涉及理论上的进展，只是在计算上更有耐力。请注意，在这一问题上，如同在所有科学问题上一样，在公元400年至1400年这一千年间，领先地位从欧洲转移到了东方。

花拉子米住在巴格达，顺便说一下，他的名字成了“algorithm”一词，而他一本书标题中的al jabr一词则给了我们“algebra”这个词。卡西住得更靠东，在撒马尔罕，而祖冲之，几乎无需补充，住在中国。

欧洲文艺复兴适时地带来了一个全新的数学世界。这种觉醒的最初影响之一是π的数学公式的出现。最早的公式之一是约翰·沃利斯（1616—1703）的公式

$\large\frac{2}{\pi}\normalsize = \large\frac{1.3.3.5.5.7. ...}{2.2.4.4.6.6. ...}\\$

而最著名的公式之一是

$\large\frac {\pi}{4}\normalsize = 1 - \large\frac{1}{3}\normalsize + \large\frac{1}{5}\normalsize - \large\frac{1}{7}\normalsize + ....$

这个公式有时被归功于哥特弗里德·威廉·莱布尼茨（1646—1716），但似乎最早是由詹姆斯·格雷果里（1638—1675）发现的。

这些都是既戏剧性又令人惊奇的公式，因为右边的表达式完全是算术性质的，而π最初却来自几何。它们展示了无穷过程所能达到的惊人结果，并指向现代数学的奇妙丰富性。

然而，从计算π的角度来看，两者都毫无用处。例如，在詹姆斯·格雷果里的级数中，要得到正确的4位小数，我们需要误差小于$0.00005 = \large\frac{1}{20000}\normalsize$，因此我们需要该级数的大约10000项。然而，詹姆斯·格雷果里还展示了更一般的结果

$\tan^{-1} x = x - \large\frac{1}{3}\normalsize x^{3} + \large\frac{1}{5}\normalsize x^{5} - ... (-1 ≤ x ≤ 1)$ . . . (3)

如果令$x = 1$，则第一个级数由此得出。因此，利用

$\tan^{-1}(\large\frac{1}{√3}\normalsize ) = \large\frac{\pi}{6}\normalsize$我们得到

$\large\frac{\pi}{6}\normalsize = \large\frac{1}{√3}\normalsize (1 - \large\frac{1}{3.3}\normalsize + \large\frac{1}{5.3.3}\normalsize - \large\frac{1}{7.3.3.3}\normalsize + ...$

它收敛得快得多。第$10^{th}$项是$\large\frac{1}{√3}\normalsize \large\frac{1}{19\times 3^{9}\normalsize}$，小于0.00005，因此仅用9项后我们就至少有4位小数正确。

一个更好的想法是采用公式

$\large\frac{\pi}{4}\normalsize = \tan^{-1}(\large\frac{1}{2}\normalsize ) + \tan^{-1}(\large\frac{1}{3}\normalsize )$ . . . (4)

然后计算将$\large\frac{1}{2}\normalsize$和$\large\frac{1}{3}\normalsize$分别代入(3)所得到的两个级数。

显然，如果我们能找到一个类似这样的公式，就会得到非常快的收敛

$\large\frac{\pi}{4}\normalsize = \tan^{-1}(\large\frac{1}{a}\normalsize ) + \tan^{-1}(\large\frac{1}{b}\normalsize )$

其中$a$和$b$很大。1706年，约翰·梅钦找到了这样一个公式：

$\large\frac{\pi}{4}\normalsize = 4 \tan^{-1}(\large\frac{1}{5}\normalsize ) - \tan^{-1}(\large\frac{1}{239}\normalsize )$ . . . (5)

实际上，如果你知道如何证明(4)，那么证明(5)并没有实质性的额外困难，只是算术更麻烦而已。当然，最初想出这个公式完全是另一回事。

有了这样一个公式，计算π的唯一困难就是继续算下去的那种纯粹的枯燥乏味。不用说，有少数人傻到把大量时间和精力投入到这种乏味且毫无用处的追求上。其中一位名叫威廉·尚克斯的英国人，利用约翰·梅钦的公式将π计算到707位，并于1873年发表了多年劳动的成果。威廉·尚克斯因一个非常奇特的原因而获得了不朽名声，我们马上就会解释。
下面是这一改进过程的概述：

更详细的年表可在π年表获取。

威廉·尚克斯知道π是无理数，因为这一点在1761年由兰伯特证明。在威廉·尚克斯的计算之后不久，费迪南德·冯·林德曼证明了π是超越数，即π不是任何整系数多项式方程的解。事实上，费迪南德·冯·林德曼的这个结果表明‘化圆为方’是不可能的。π的超越性意味着不存在用尺规构造一个与给定圆面积相等的正方形的方法。

在威廉·尚克斯的计算之后不久，奥古斯塔斯·德摩根注意到了一个奇怪的统计异常，他发现最后707位数字中7的数量少得可疑。他在1872年的Budget of Paradoxes中提到了这一点，直到1945年Ferguson发现威廉·尚克斯在第528位出了错，此后他的所有数字都是错的，这个谜团才得以解开。1949年，人们用计算机将π计算到了2000位。在这次以及之后所有的计算机展开中，7的数量与期望值没有显著差异，而且到目前为止，数字序列通过了所有随机性统计检验。

你可以在THIS LINK看到π的2000位数字。

我们应该稍微谈谈π这个记号是如何产生的。威廉·欧垂在1647年用符号$\large\frac{d}{\pi}\normalsize$表示圆的直径与周长之比。大卫·格雷戈里（1697）用$\large\frac{\pi}{r}\normalsize$表示圆的周长与半径之比。第一个以现在含义使用π的是威尔士数学家威廉·琼斯，他在1706年写道“3.14159 etc = π”。莱昂哈德·欧拉在1737年采用了这个符号，它很快就成了标准记号。

关于π这个记号的来源，在THIS LINK有更多信息。

我们以关于π计算的另一个统计学趣事作结，即布丰的投针实验。如果我们有一个由平行线组成的均匀网格，线间单位距离，并且如果我们在网格上投下一根长度为$k < 1$的针，那么针落在一根线上的概率是$2k/\pi$。许多人尝试通过投针来计算π。最引人注目的结果是Lazzerini（1901）的，他投了34080次，得到

$\pi = \large\frac{355}{113}\normalsize = 3.1415929$

顺便说一句，这正是祖冲之所发现的值。这个结果好得可疑，而投掷次数34080这个奇怪的数字泄露了天机。Kendall和Moran评论说，通过在最佳时刻停止实验可以获得一个好的值。如果你事先设定要投掷多少次，那么这是一种非常不精确的计算π的方法。Kendall和Moran评论说，你最好剪出一个大木圆，然后用卷尺测量它的周长和直径。

仍然围绕假实验这个主题，Gridgeman在一篇对Lazzerini等人嗤之以鼻的论文中，通过使用一根精心选择长度$k$ = 0.7857的针，投掷两次，并有一次落在线上，制造了一些乐趣。他对π的估计因此由下式给出

$2 \times \large\frac{0.7857}{\pi}\normalsize = \large\frac{1}{2}\normalsize$

由此他得到了π = 3.1428这个非常值得称赞的值。他并不是认真的！

几乎令人难以置信的是，1934年，π的定义竟被用作——至少是作为借口——对著名数学家埃德蒙·朗道进行种族攻击。埃德蒙·朗道在同年于哥廷根出版的教科书中，以如今相当常用的方法定义了π，即称π/2是使$\cos x$为零的介于1与2之间的$x$的值。这引发了一场学术争议，最终导致埃德蒙·朗道被解除其在哥廷根的讲席。路德维希·比贝尔巴赫，一位因种族主义观点而声名狼藉的著名数论学家，解释了埃德蒙·朗道被解职的原因：-

因此，伟大的数学家埃德蒙·朗道所经历的哥廷根学生群体的勇敢抵制，归根结底是由于此人在研究和教学中非德国的风格令德国人的情感无法忍受。一个民族若已察觉到另一个种族的成员正致力于强加与其自身相异的观念，就必须拒绝异族文化的教师。

戈弗雷·哈罗德·哈代立即在发表的一则短文中回应了路德维希·比贝尔巴赫，论及这个非德国的π定义所带来的后果

我们中有许多人，许多英国人和许多德国人，在战争期间说过一些我们几乎并非真心的话，如今回想起来深感抱歉。对自身地位的担忧、害怕落后于不断高涨的愚蠢洪流、不惜一切代价不甘落后的决心，这些或许是可以理解的——即便算不上特别英勇的——借口。路德维希·比贝尔巴赫教授的声誉排除了对他言论的此类解释，我不得不被迫得出一个更不宽容的结论：他真的相信那些话是正确的。

π带来的问题不仅限于德国。在美国，π的值引发了激烈的政治辩论。1897年，印第安纳州众议院一致通过了一项Bill introducing a new mathematical truth.

兹由印第安纳州议会制定：已发现，圆面积与以其周长的四分之一为边长的正方形面积之比，等于等边矩形面积与其一边的平方之比。
（第一条，第246号众议院法案，1897年）

印第安纳州参议院表现得稍微明智一些，无限期推迟了该法案的通过！

关于数π的未解决问题

1. 在π中，数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9是否每个都出现无限多次？
2. 勒伊岑·布劳威尔的问题：在π的十进制展开中，是否存在连续一千位数字全为零的情况？
3. π关于10进制是简单正规的吗？也就是说，在其十进制展开中，每个数字在渐近意义下是否出现得同样频繁？
4. π关于10进制是正规的吗？也就是说，在其十进制展开中，任意给定长度的数字块在渐近意义下是否出现得同样频繁？
5. π 是 normal 吗？也就是说，在渐近意义下，给定长度的每一数字块在任意进制展开中是否以相同频率出现？这一概念由 埃米尔·博雷尔 于 1909 年引入。
6. 又一个正规性问题！我们知道 π 不是有理数，因此不存在数字开始循环的位置。然而，如果 π 是正规的，那么前一百万位数字 314159265358979... 将会从某处出现。即使 π 不是正规的，这也可能成立！会成立吗？如果成立，从哪一点开始？注意：直到两亿位，出现的最长串是 31415926，它出现了两次。

作为附记，这里有一个 π 十进制展开的记忆法。每一个相继的数字是对应单词中的字母数。

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard...：

3.14159265358979323846264...