微积分史A history of the calculus

支撑微积分的主要思想实际上是在很长一段时间内发展起来的。最初的步骤是由希腊数学家迈出的。

对希腊人来说，数是整数的比，所以数轴上有“洞”。他们通过使用长度、面积和体积以及数来绕过这个困难，因为对希腊人来说，并非所有长度都是数。

芝诺，约公元前450年，提出了若干基于无限的问题。例如，他论证运动是不可能的：-

如果一个物体从A运动到B，那么在它到达B之前，它会经过AB的中点，记为$B_{1}$。现在要运动到$B_{1}$，它必须先到达$AB_{1}$的中点$B_{2}$。继续这个论证就可以看出，A必须经过无穷多个距离，因此无法运动。

留基伯、德谟克利特和安提丰都对希腊的穷竭法作出了贡献，而穷竭法在约公元前370年由欧多克索斯置于科学基础之上。穷竭法之所以如此称呼，是因为人们认为所测量的面积不断扩展，从而覆盖了所需面积的越来越多部分。

然而，约公元前225年，阿基米德作出了希腊最重要的贡献之一。他的第一个重要进展是证明抛物线的弓形面积是底和顶点相同的三角形面积的$\large\frac{4}{3}\normalsize$，也是外切平行四边形面积的$\large\frac{2}{3}\normalsize$。阿基米德构造了一个无穷三角形序列，从一个面积为$A$的三角形开始，不断在已有三角形与抛物线之间添加新的三角形，以得到面积

$A, A + \Large\frac{A}{4}\normalsize , A + \Large\frac{A}{4}\normalsize + \Large\frac{A}{16}\normalsize , A + \Large\frac{A}{4}\normalsize + \Large\frac{A}{16}\normalsize + \Large\frac{A}{64}\normalsize , ...$

因此，抛物线的弓形面积为插图：Archimedes_diagram.jpeg ↗

$A(1 + \large\frac{1}{4}\normalsize + \large\frac{1}{4^{2}\normalsize} + \large\frac{1}{4^{3}\normalsize} + ....) = (\large\frac{4}{3}\normalsize )A$。

这是已知的第一个无穷级数求和的例子。

阿基米德使用穷竭法来求圆面积的近似值。当然，这是积分的一个早期例子，它导致了π的近似值。

这是阿基米德用于逼近圆面积的图

在阿基米德的其他“积分”工作中，有球体的体积和表面积、圆锥的体积和面积、椭圆的表面积、旋转抛物面的任意弓形体积以及旋转双曲面的弓形体积。

直到16世纪才取得进一步进展，当时力学开始促使数学家研究诸如重心之类的问题。Luca Valerio（1552-1618）于1606年在罗马出版了De quadratura parabolaeⓉ（《抛物线的求积》），该书延续了希腊人处理这类面积问题的方法。约翰内斯·开普勒在研究行星运动时，必须求出椭圆扇形的面积。他的方法是将面积视为线段之和，这是另一种粗糙的积分形式，但约翰内斯·开普勒无暇顾及希腊式的严密性，而且相当幸运的是，在这项工作中犯了两个相互抵消的错误后仍得到了正确答案。

三位数学家，彼此出生相差不到三年，是接下来做出重大贡献的人。他们是皮埃尔·德·费马、罗贝瓦尔和博纳文图拉·卡瓦列里。博纳文图拉·卡瓦列里受约翰内斯·开普勒在积分方面的尝试启发，提出了他的“不可分法”。他的方法并不严谨，很难清楚地看出他是如何思考他的方法的。看来博纳文图拉·卡瓦列里认为一个区域是由作为线的组分构成的，然后将他无限多个“不可分量”相加。他使用这些方法，通过展示$n$的若干值的结果并推断出一般结果，证明了$x^{n}$从0到$a$的积分是$a^{n+1}/(n + 1)$。

罗贝瓦尔考虑了同一类型的问题，但比博纳文图拉·卡瓦列里严密得多。罗贝瓦尔把曲线与直线之间的面积看作由无穷多条无穷窄的矩形条组成。他把这一点应用于$x^{m}$从0到1的积分，并表明其近似值为

$\Large\frac{0^m + 1^m + 2^m + ... + (n-1)^m}{n^{m+1}}$。

罗贝瓦尔随后断言，当$n$趋于无穷时，这个值趋于$\large\frac{1}{m+1}\normalsize$，从而计算出面积。

皮埃尔·德·费马在其方法上也更为严密，但没有给出证明。他推广了抛物线和双曲线：-

抛物线：$\Large\frac{y}{a}\normalsize = (\Large\frac{x}{b}\normalsize )^{2}$到$(\Large\frac{y}{a}\normalsize )^{n} = (\Large\frac{x}{b}\normalsize )^{m}$

双曲线：$\Large\frac{y}{a}\normalsize = \Large\frac{b}{x}\normalsize$到$(\Large\frac{y}{a}\normalsize )^{n} = (\Large\frac{b}{x}\normalsize )^{m}$。

在考察$\Large\frac{y}{a}\normalsize = (\Large\frac{x}{b}\normalsize )^{p}$的过程中，皮埃尔·德·费马计算了从$r = 1$到$r = n$的$r^{p}$之和。

皮埃尔·德·费马还通过考虑曲线的切线何时平行于$x$轴来研究极大值和极小值。他写信给勒内·笛卡儿，给出了本质上与今天所用相同的方法，即通过计算函数的导数为0的时刻来求极大值和极小值。事实上，由于这项工作，约瑟夫·拉格朗日明确表示他认为皮埃尔·德·费马是微积分的发明者。

勒内·笛卡儿在La Géométrie Ⓣ（几何学）中基于双重相交于1637年提出了一种重要的确定法线的方法。De Beaune扩展了他的方法，并将其应用于切线，其中双重相交转化为双重根。Hudde发现了一种更简单的方法，称为Hudde法则，基本上涉及导数。勒内·笛卡儿的方法和Hudde的法则对艾萨克·牛顿产生了重要影响。

克里斯蒂安·惠更斯批评了博纳文图拉·卡瓦列里的证明，说人们需要的是一种至少能让人相信可以构造出严格证明的证明。克里斯蒂安·惠更斯对哥特弗里德·威廉·莱布尼茨产生了重大影响，因此在产生更令人满意的微积分方法方面发挥了相当大的作用。
插图：Barrows_triangle.jpeg ↗
下一个重大步骤是由埃万杰利斯塔·托里拆利和伊萨克·巴罗提供的。伊萨克·巴罗给出了一种求曲线切线的方法，其中切线被表示为当点相互接近时弦的极限，这被称为Barrow's differential triangle。

这是伊萨克·巴罗的微分三角形

埃万杰利斯塔·托里拆利和伊萨克·巴罗都考虑了变速运动问题。距离的导数是速度，而逆运算则从速度得到距离。因此，对微分之逆的认识开始自然发展，而积分与导数互为逆运算的观念对伊萨克·巴罗来说已很熟悉。事实上，尽管伊萨克·巴罗从未明确陈述微积分基本定理，但他正朝着这一结果努力，而艾萨克·牛顿则继续这一方向并明确陈述了微积分基本定理。

埃万杰利斯塔·托里拆利的工作在意大利由皮耶特罗·曼戈里和斯特凡诺‧德力‧安杰利继续。

艾萨克·牛顿于1666年10月写了一篇关于流数的短论。这是一部当时未出版但被许多数学家看到的著作，并对微积分的发展方向产生了重大影响。艾萨克·牛顿想到一个粒子描绘出一条曲线，其中有两条移动的线作为坐标。水平速度$x'$和垂直速度$y'$是与时间流相关的$x$和$y$的流数。流数或flowing quantities就是$x$和$y$本身。用这种流数记号，$y'/x'$是$f(x, y) = 0$的切线。

在其1666年的短论中，艾萨克·牛顿讨论了反问题：给定$x$与$y'/x'$之间的关系，求$y$。因此，对每个$x$都给出了切线的斜率，而当$y'/x' = f(x)$时，艾萨克·牛顿通过反微分解决了这个问题。他还通过反微分计算了面积，这项工作包含了Fundamental Theorem of the Calculus的第一个明确陈述。

艾萨克·牛顿在出版其数学著作方面遇到了困难。伊萨克·巴罗在某种程度上应为此负责，因为伊萨克·巴罗著作的出版商破产了，此后出版商对出版数学著作变得谨慎起来！艾萨克·牛顿关于Analysis with infinite series的著作写于1669年并以手稿形式流传。直到1711年才出版。同样，他的Method of fluxions and infinite series写于1671年，并于1736年以英文译本出版。拉丁文原版直到很久以后才出版。

在这两部著作中，艾萨克·牛顿计算了$\sin x$和$\cos x$的级数展开，以及实际上是指数函数的展开，尽管这个函数直到莱昂哈德·欧拉引入现在的记号$e^{x}$才被确立。

你可以在THIS LINK看到正弦级数展开的图像，在THIS LINK看到余弦级数展开的图像。它们现在被称为布鲁克·泰勒或科林·麦克劳林级数。

艾萨克·牛顿的下一部数学著作是Tractatus de Quadratura CurvarumⓉ（曲线的求积），他于1693年写成，但直到1704年才作为其Optiks的附录出版。这部著作包含了另一种涉及取极限的方法。艾萨克·牛顿说

在x通过流动变为$x+o$的时间内，量$x^{n}$变为$(x+o)^{n}$，即通过无穷级数的方法，

$x^{n} + nox^{n-1} + (nn-n)/2 oox^{n-2} + . . .$

最后，他通过‘取极限’让增量$o$消失。

哥特弗里德·威廉·莱布尼茨在一次欧洲旅行中学到了很多，这使他在1672年于巴黎见到了克里斯蒂安·惠更斯。他还在1673年于伦敦见到了罗伯特·胡克和罗伯特·波义耳，并在那里买了几本数学书，包括伊萨克·巴罗的著作。哥特弗里德·威廉·莱布尼茨后来与伊萨克·巴罗有长期的通信。回到巴黎后，哥特弗里德·威廉·莱布尼茨在微积分方面做了一些非常出色的工作，他对基础的想法与艾萨克·牛顿非常不同。

艾萨克·牛顿考虑随时间变化的变量。哥特弗里德·威廉·莱布尼茨认为变量$x, y$取遍无穷接近值的序列。他引入$dx$和$dy$作为这些序列相继值之间的差。哥特弗里德·威廉·莱布尼茨知道$\Large\frac{dy}{dx}\normalsize$给出切线，但他没有把它用作定义性质。

对艾萨克·牛顿来说，积分在于为给定的流数找到流，因此积分与微分互为逆运算这一事实是隐含的。哥特弗里德·威廉·莱布尼茨把积分用作求和，方式与博纳文图拉·卡瓦列里相当类似。他也乐于使用“无穷小”$dx$和$dy$，而艾萨克·牛顿使用的是有限速度$x'$和$y'$。当然，哥特弗里德·威廉·莱布尼茨和艾萨克·牛顿都没有从函数的角度思考，而是始终从图形的角度思考。对艾萨克·牛顿来说，微积分是几何的，而哥特弗里德·威廉·莱布尼茨则把它引向分析。

哥特弗里德·威廉·莱布尼茨非常清楚找到一个好的记号具有根本的重要性，并对此思考了很多。另一方面，艾萨克·牛顿更多是为自己写作，因此倾向于使用他当天想到的任何记号。哥特弗里德·威廉·莱布尼茨的$d$和∫的记号突出了算子方面，这在后来的发展中证明是重要的。到1675年，哥特弗里德·威廉·莱布尼茨已经确定了记号

$\int y dy = \large\frac{1}{2}\normalsize y^{2}$

写得与今天完全一样。他在积分学方面的成果于1684年和1686年以‘calculus summatorius’为名发表，积分学这个名称是由雅各布·伯努利在1690年提出的。

在艾萨克·牛顿和哥特弗里德·威廉·莱布尼茨之后，微积分的发展由雅各布·伯努利和约翰·伯努利继续。然而，当乔治·伯克利在1734年发表他的Analyst，攻击微积分缺乏严格性并质疑其基础逻辑时，人们做出了大量努力来收紧推理。科林·麦克劳林试图将微积分置于严格的几何基础之上，但真正令人满意的基础不得不等到19世纪奥古斯丁·路易·柯西的工作。