数学史专题
我们收录在网站档案“历史专题”栏目中的最早文章之一是关于 π 的历史的。这是一篇非常受欢迎的文章，并促使许多人要求写一篇关于数 的类似文章。这两个数的历史发展形成了鲜明对比，而且在许多方面，写一部 的历史比写一部 π 的历史要困难得多。与 π 相比，数 在数学舞台上相对而言是个新来者。
数 最初以一种非常次要的方式进入数学。那是在 1618 年，在 约翰·纳皮尔 关于对数著作的一个附录中，出现了一张给出各种数的自然对数的表。然而，人们并未认识到这些是以 为底的对数，因为当时人们思考对数的方式并没有产生计算对数所用的底。尽管我们现在把对数看作为了得到所需数而必须对底所取的指数，但这是一种现代的思考方式。我们将在本文后面回到这一点。附录中的这张表虽然没有作者署名，但几乎可以肯定是由 威廉·欧垂 写的。几年后，在 1624 年， 再次几乎进入数学文献，但并未完全进入。那一年，亨利·布里格斯 给出了 的以 10 为底的对数的数值近似，但在他的著作中并未提到 本身。
下一次可能出现的情况同样可疑。1647 年，格雷瓜尔·德·圣樊尚 计算了等轴双曲线下的面积。他是否认识到这与对数的联系尚有争议，即使他认识到了，他也没有什么理由明确遇到数 。当然，到 1661 年，克里斯蒂安·惠更斯 已经理解了等轴双曲线与对数之间的关系。他明确考察了等轴双曲线 下的面积与对数之间的关系。当然，数 使得从 1 到 的等轴双曲线下的面积等于 1。正是这一性质使 成为自然对数的底，但当时的数学家并未理解这一点，尽管他们正在缓慢地接近这种理解。
克里斯蒂安·惠更斯 在 1661 年又取得了一项进展。他定义了一条他称为“对数”的曲线，但用我们的术语会称之为指数曲线，其形式为 。由此再次得到了 的以 10 为底的对数，克里斯蒂安·惠更斯 将其计算到了 17 位小数。然而，它在他的著作中是作为某个常数的计算出现的，并未被认识到是一个数的对数（所以这又是一次擦肩而过，但 仍未被认识到）。
随后出现了关于对数的进一步工作，其中仍然没有看到数 本身出现，但这些工作确实促进了对数的发展。1668 年，尼古拉斯·墨卡托 发表了 Logarithmotechnia，其中包含 的级数展开。在这项工作中，Mercator 首次将“自然对数”这一术语用于以 为底的对数。数 本身再次未能如此出现，并且再次 elusive 地停留在近在咫尺之处。
也许令人惊讶的是，尽管这项关于对数的工作已经如此接近认识到数 ，但当 首次被“发现”时，它根本不是通过对数的概念，而是通过对复利的研究。1683 年，雅各布·伯努利 研究了复利问题，并在考察连续复利时，试图求 当 趋于无穷时的极限。他使用二项式定理证明该极限必须介于 2 和 3 之间，因此我们可以将此视为所找到的 的第一个近似值。此外，如果我们接受这作为 的定义，那么这是第一次用一个极限过程来定义一个数。他当然没有认识到他的工作与对数工作之间的任何联系。
我们在上文提到，在早期发展阶段，对数并未被认为与指数有任何联系。当然，从方程，我们可以推出，其中对数的底为，但这涉及一种晚得多的思维方式。这里我们实际上是把对数看作一个函数，而早期的对数工作者纯粹把对数看作一种有助于计算的数。可能是雅各布·伯努利首先理解了对数函数是指数函数的反函数。另一方面，第一个将对数与指数联系起来的人很可能就是詹姆斯·格雷果里。在1684年，他确实认识到了对数与指数之间的联系，但他可能并非第一人。
据我们所知，数首次以其自身身份出现是在1690年。那一年，哥特弗里德·威廉·莱布尼茨写了一封信给克里斯蒂安·惠更斯，在信中他使用了记号来表示我们现在称为的东西。数终于有了一个名字（即使不是它现在的名字），并且得到了承认。现在读者可能会问，并非不合理地，为什么我们没有从首次出现的地方开始我们关于其历史的文章。原因是，尽管我们之前描述的工作从未完全成功地识别出，但一旦这个数被识别出来，人们就慢慢意识到这些早期工作是相关的。回顾起来，关于对数的早期发展成为了理解数的一部分。
我们在上文提到了由于对数未被看作函数而产生的问题。公平地说，约翰·伯努利在1697年开始了指数函数的微积分研究，当时他发表了Principia calculi exponentialium seu percurrentium Ⓣ（《指数微积分原理》）。这项工作涉及各种指数级数的计算，许多结果是通过逐项积分得到的。
我们的数学记号有那么多都归功于莱昂哈德·欧拉，因此发现这个数的记号也归功于他，就毫不令人惊讶了。然而，有时有人声称莱昂哈德·欧拉使用字母是因为它是他名字的首字母，这种说法很荒谬。甚至很可能也不是来自“exponential”，而可能只是“a”之后的下一个元音，因为莱昂哈德·欧拉已经在自己的工作中使用了记号“a”。无论原因如何，记号首次出现在莱昂哈德·欧拉于1731年写给克里斯蒂安·哥德巴赫的一封信中。在随后几年里，他关于作出了各种发现，但直到1748年莱昂哈德·欧拉出版Introductio in Analysin infinitorumⓉ（《无穷小分析引论》）时，他才对围绕的思想给出了完整处理。他证明了
并且是当趋于无穷时的极限。莱昂哈德·欧拉给出了精确到18位小数的近似值，
= 2.718281828459045235
却没有说明这是从哪里来的。很可能他自己计算了这个值，但若是如此，也没有任何迹象表明这是如何做到的。事实上，取的大约20项就能达到莱昂哈德·欧拉所给出的精度。这部著作中其他有趣的结果还包括正弦函数和余弦函数与复指数函数之间的联系，莱昂哈德·欧拉利用亚伯拉罕·棣莫弗的公式推导出了这一联系。
有趣的是，莱昂哈德·欧拉还给出了的连分数展开，并注意到了展开式中的规律。他特别给出了
通常写作或[0; 1, 6, 10, 14, ...]
以及
或[1; 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...]
莱昂哈德·欧拉没有证明他发现的规律会持续下去（事实上确实如此），但他知道，如果给出了这样的证明，就能证明是无理数。因为，如果的连分数遵循前几项所示的规律，6, 10, 14, 18, 22, 26, ...（每次加4），那么它将永远不会终止，所以（因而）不可能是有理数。人们完全可以将此视为证明不是有理数的首次尝试。
驱使人们将π计算到越来越多小数位的那种热情，似乎从未以同样的方式在上出现。然而，确实有人计算了它的小数展开，第一个将给出大量小数位的是1854年的威廉·尚克斯。值得注意的是，威廉·尚克斯是一位更热衷于计算π的小数展开的人。詹姆斯·惠特布雷德·李·格莱舍表明威廉·尚克斯对计算的前137位是正确的，但发现了一个错误，经威廉·尚克斯纠正后，给出了的205位。事实上，需要的大约120项才能得到精确到200位的。
1864年，本杰明·皮尔斯让人拍了一张他站在黑板前的照片，黑板上写着他写的公式。在讲座中，他会对学生说：-
先生们，我们对这个方程的含义毫无头绪，但我们可以确信它意味着某种非常重要的东西。
大多数人认为莱昂哈德·欧拉是第一个证明是无理数的人。当然，是夏尔·埃尔米特在1873年证明了不是代数数。是否是代数数仍然是一个未解决的问题，尽管当然所缺的只是一个证明——没有数学家会真的相信是代数数！据我们所知，数学家们最接近证明这一点的是最近的一个结果，即和中至少有一个的次幂是超越数。
随后进行了更多小数展开的计算。1884年，Boorman将计算到346位，并发现他的计算与威廉·尚克斯的计算在第187位之前一致，但之后变得不同。1887年，Adams将以10为底的对数计算到272位。
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