数学史专题
从古希腊时代至今，光的研究一直是数学和物理学研究中的一个主要课题。这项研究有时在本质上高度数学化，而在其他时候则与其他科学学科更为相关。在本文中，我们对该主题进行宽泛的考察，不过我们将强调其更为数学化的方面。
早期希腊关于自然哲学的观念，特别是关于光的本质的观念，影响了世界两千年。恩培多克勒在公元前五世纪提出，万物由四种元素组成：火、气、土和水。他认为阿佛洛狄忒用这四种元素造出了人的眼睛，并在眼中点燃了火，火从眼中射出，使视觉成为可能。当然，如果这是真的，人在夜里也能看见东西，所以恩培多克勒知道事情比这要复杂一些，并提出从眼睛发出的光线与从太阳等光源发出的光线之间存在相互作用。
并非所有人都相信视觉是由来自眼睛的光束解释的。Lucretius在On the nature of the Universe（公元前55年）中写道：-
太阳的光和热；这些由微小的原子组成，当它们被推出时，立即沿着推力的方向径直穿过空气的间隙。
尽管这一观点极为准确，Lucretius的观点并未被普遍接受，视觉仍被认为是从眼睛发出的。
早在卢克莱修之前，欧几里得就对光进行了数学研究。他在约公元前300年写了OpticaⓉ（《光学》），其中研究了他假定沿直线传播的光的性质。他描述了反射定律，并对它们进行了数学研究。他确实质疑视觉是眼睛发出的光束的结果，因为他问道：如果一个人闭上眼睛，然后在夜里睁开，他立刻就能看到星星，这该如何解释？当然，如果从眼睛发出的光束以无限快的速度传播，这就不是问题。约公元60年，海伦作出了有趣的观察：光被镜子反射时，沿长度最短的路径传播。克劳狄乌斯·托勒密在海伦之后约80年，在其天文学工作中研究了光。通过精确测量恒星的位置，他认识到光会被大气折射。
古代最大的突破是由海什木在约公元1000年作出的。他论证说，视觉仅仅是由于来自外部光源的光进入眼睛，眼睛本身并不发出光束。他给出了若干论据来支持这一主张，最有说服力的是暗箱，或称针孔照相机。在这里，光穿过针孔照在屏幕上，在屏幕上观察到倒立的像。任何到访苏格兰爱丁堡的人都应该去皇家一英里顶端附近的暗箱看看，并惊叹于暗箱在这个令人愉快的旅游景点中是多么有效。
现在海什木相当正确地论证说，我们看见物体是因为太阳的光线——他相信这是沿直线传播的微小粒子流——从物体反射进入我们的眼睛。他明白光必定以很大但有限的速度传播，并且折射是由于速度在不同物质中不同而引起的。他还研究了球面镜和抛物面镜，并明白透镜的折射如何能使像聚焦并产生放大。他从数学上理解了球面镜为什么会产生像差。
追随海什木的欧洲学者并不知道他的工作。直到16世纪最后四分之一，他的工作才在欧洲广泛流传。然而，尽管没有在希腊人的基础上取得重大进展，一些欧洲人还是作出了一些改进。罗伯特·格罗斯泰斯特在约1220年强调了光的性质对自然哲学的重要性，进而主张用几何学来研究光。不过，他提出的颜色理论没有什么价值。约50年后，罗吉尔·培根继续追随他的老师罗伯特·格罗斯泰斯特，相信研究光的重要性，并且他确实以非常科学的方式从实验中得出了一些正确的结论。他相信光速是有限的，研究了凸透镜并主张用它们来矫正视力缺陷。大约同一时期，罗吉尔·培根在英格兰研究光学，维特罗则在研究镜子与光的折射，并将他的发现写成PerspectivaⓉ（《透视》），这本书在几个世纪里都是光学的标准教材。
此后，人们对使用透镜的理解有所提高，到1590年Zacharius 约翰·琴生甚至将复合透镜用于显微镜。然而，在海什木时代之后第一个取得重大进展的人是17世纪初的约翰内斯·开普勒。约翰内斯·开普勒研究光学，并提出了第一个正确的暗箱数学理论。他还首次正确解释了人眼如何工作，即在视网膜上形成倒立的像。他正确解释了近视和远视。他给出了一个重要结果：从光源观察到的光强与观察者到光源距离的平方成反比。然而，他错误地论证光速是无限的。他的成果发表在Supplements to Witelo,中关于天文学的光学部分（1604年）。事实上，托马斯·哈里奥特在1601年发现了光的折射正弦定律，这是一个重要发现，但他没有发表这一结果。
约翰内斯·开普勒的工作是一份漂亮的数学成果，但人们不相信眼睛会在视网膜上形成倒立的像。我们不觉得世界是倒立的这一论据似乎很有说服力。在约翰内斯·开普勒的著作出版大约五年后，伽利略根据荷兰的Hans Lippershey的想法建造了一架望远镜，后者在前一年建造了一架。伽利略在1610年将他的望远镜对准木星，并观测到它的四颗主要卫星。英格兰的Thomas 托马斯·哈里奥特在同一年观测到木星的卫星。1611年，约翰内斯·开普勒出版了Dioptrice Ⓣ（《屈光学》），这是另一部重要的光学著作。它描述了如何将透镜组合起来，以得到今天所谓的长焦镜头。它还描述了全内反射，但未能给出正确的光的折射定律，约翰内斯·开普勒（或其他任何人）都不知道托马斯·哈里奥特的结果，尽管两人曾通信。
威理博·斯涅尔在1621年发现了光的折射正弦定律，但像托马斯·哈里奥特一样，他没有发表这一结果。第一个发表该定律的是勒内·笛卡儿，在1637年。它包含在La Dioptrique Ⓣ（《屈光学》）中，作为Discours de la méthod pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences Ⓣ（《指导理性并在科学中寻求真理的方法论》）的附录出版。勒内·笛卡儿和皮埃尔·德·费马在此出版后进行了讨论（详情见[47]），皮埃尔·德·费马起初以为他们得出了不同的定律，因为他们从不同的假设出发。皮埃尔·德·费马提出光沿耗时最短的路径传播，从而使威理博·斯涅尔的折射定律能够用数学推导出来。勒内·笛卡儿在这一时期的其他贡献包括他相信约翰内斯·开普勒的数学论证，该论证表明在眼睛视网膜上形成的像应当是倒立的。他用一头死牛的眼睛做了实验，刮去视网膜，看到像确实是倒立的。勒内·笛卡儿的一些主张是谬误的，例如他相信光速是无限的。他相当愚蠢地宣称，他把自己的哲学押在这一事实上。关于勒内·笛卡儿为何如此坚信的详情，见[38]。
1647年，博纳文图拉·卡瓦列里发表了光学领域的一项重要贡献，给出了薄透镜曲率与其焦距之间的关系。受约翰内斯·开普勒关于光的发现的启发，詹姆斯·格雷果里开始研究透镜，并在Optica PromotaⓉ（《光学评论》）（1663年）中描述了第一台实用的反射望远镜，现称为格雷戈里望远镜。事实上，詹姆斯·格雷果里几年后在圣安德鲁斯期间对光做出了一项根本性发现。他通过让光穿过一根羽毛发现了衍射，但他并非第一个研究这一现象的人，因为弗朗西斯科·马里亚·格里马尔迪几年前就已研究过。以下是詹姆斯·格雷果里的描述：-
让阳光通过一个小孔进入暗室，在孔处放置一根羽毛（为此目的，越精致越白越好），它会在对面的白墙或纸上投射出若干小圆圈和椭圆形（如果我没弄错的话），其中一个是略带白色的（即正对太阳的中间那个），其余则各自呈现不同颜色。我很想听听艾萨克·牛顿先生对此的看法。
提到艾萨克·牛顿，将我们引向那位彻底改变了光学思考的人。我们现在来看17世纪最后三分之一，这一时期将提出关于光的重大理论。这些理论源于克里斯蒂安·惠更斯、罗伯特·胡克和艾萨克·牛顿的贡献，并支持了两种对立的理论。17世纪60年代，皮埃尔·伽桑狄提出了微粒说，认为光由微小的粒子流组成，而勒内·笛卡儿则认为空间充满“以太”，将来自光源的压力传递到眼睛。克里斯蒂安·惠更斯和罗伯特·胡克的波动说是勒内·笛卡儿思想的发展，现在他们提出光是穿过以太的波，而艾萨克·牛顿支持光线由微小粒子组成的理论。让我们首先考察艾萨克·牛顿的主要贡献。
1666年前后，当艾萨克·牛顿用三角玻璃棱镜做光线通过实验时，人们已经知道会产生彩色光谱。对此有一个标准解释，即纯白光在穿过玻璃时以某种方式被污染了。光在玻璃中必须传播得越远，它就被污染得越厉害，因此出现了不同的颜色。艾萨克·牛顿做了一个非常简单的实验。他把第二个三角棱镜放在从第一个三角棱镜射出的彩色光束的路径上，但他把第二个棱镜倒过来放，也就是让它立在顶点上。彩色光线进入这第二个棱镜，而射出的是一束白光。
现在，光穿过两个棱镜后所经过的玻璃距离比只穿过一个棱镜时更长，按理说它应该被污染得更厉害，但事实并非如此。真正的解释对艾萨克·牛顿来说已经清楚了。白光并不像人们所相信的那样纯净，它由不同颜色的光组成，这些光组合起来形成白光。现在艾萨克·牛顿利用他对颜色的理解来设计色差尽可能小的望远镜。他现在明白了是什么造成了色差，即通过望远镜观察物体时在物体周围看到的彩色边缘。这几乎是使用透镜的必然结果。为了避免这个问题，艾萨克·牛顿设计了一种反射望远镜。
1672年，艾萨克·牛顿在Philosophical Transactions of the Royal Society上发表了他的颜色理论，并在其中给出了光是微小粒子组成的实验证据。几年前，皇家学会的另一位会员罗伯特·胡克已经发表了光的波动说和他自己的颜色理论。他对艾萨克·牛顿的论文的反应是声称论文中原创的部分是错误的，而论文中正确的部分是从他那里偷来的。在[3]中，Nakajima讨论了1672年的艾萨克·牛顿-罗伯特·胡克争论：-
尚未被充分强调的是，存在两种颜色修正理论，即亚里士多德的修正理论和勒内·笛卡儿-罗伯特·胡克的修正理论。这似乎在解释1672年艾萨克·牛顿与罗伯特·胡克之间的光学争论时造成了一些混乱。[我们]对1672年的光学争论提出了一种新的解释。
这场争论的结果是阻止了艾萨克·牛顿发表他完整的光理论，直到1703年罗伯特·胡克去世之后。然而，我们应当指出，艾萨克·牛顿的观点在1672年至1704年Opticks出版之间确实发生了变化。这些变化在[41]中得到了仔细考察。
现在，罗伯特·胡克并不是唯一反对艾萨克·牛顿光理论的人。克里斯蒂安·惠更斯当时正在发展他的光的波动说，到1678年他已经把它的所有数学细节都推演出来了，尽管他直到1690年才发表他的Treatise on light。像艾萨克·牛顿一样，对望远镜的兴趣促使克里斯蒂安·惠更斯试图理解光的本质。他提出了一种波动说，但波当然必须通过某种介质传播，所以克里斯蒂安·惠更斯的模型包含一种充满一切、承载波的以太。这类似于声波传播的方式。声波在空气中传播，如果把铃放在真空中，就什么也听不到。同样，人们相信，光波也需要以太才能传播。这是一个推演得很漂亮的理论，解释了大多数观察到的光现象，如反射、折射、衍射等。
罗伯特·胡克去世后，艾萨克·牛顿于1704年发表了Opticks。它讨论了光和颜色的理论，并涉及薄片颜色、‘艾萨克·牛顿环’以及光的衍射的研究。为了解释他的一些观察，艾萨克·牛顿不得不论证光的微粒在以太中产生了波。然而，这部著作强烈支持光的微粒说，其中最有说服力的论据是光沿直线传播，而波却会弯入阴影区域。有一种可能的方法可以区分艾萨克·牛顿的微粒说和克里斯蒂安·惠更斯的波动说。在前一种理论中，光在更致密的介质中必须传播得更快，而在后一种理论中，光需要传播得更慢。
事实上，在克里斯蒂安·惠更斯完成他的波动理论之前几年，罗默就已经计算出了光速。1676年，罗默利用木星卫星的食的数据，首次得到了合理的光速值。他意识到，当地球与木星位于太阳同侧时，木星卫星两次食之间的时间较短，而当地球与木星向太阳两侧移动时，这一时间变长，其原因在于光穿越增加的距离所需的时间。他计算出的光速为每秒225,000公里，而非正确的每秒299,792公里，但这是一项非凡的成就，也明确证明了光速是有限的。然而，在当时，通过速度实验来区分波动理论和微粒说是完全不可能的。直到1850年，莱昂·傅科才表明光在水中比在空气中传播得慢，从而证明艾萨克·牛顿是错误的。
在18世纪，大多数意见都支持艾萨克·牛顿。他在如此多的事情上都是正确的，以至于人们普遍认为他在光是微粒这一点上必定也是正确的。然而，18世纪并非人人都同意，当莱昂哈德·欧拉于1746年发表他的光学著作Nova theoria lucis et colorum Ⓣ（关于光与颜色的新理论）时，该书强烈主张光的波动理论。衍射是用微粒说最难解释的现象，而莱昂哈德·欧拉利用它来支持自己的波动理论。他强烈主张光与声之间的类比，并因此主张存在承载光波的以太，正如空气承载声波一样。莱昂哈德·欧拉说，太阳是“一只敲响光的钟”。莱昂哈德·欧拉的理论实际上是他光的波动理论的第二个版本，这两种理论的细节在[24]中有所讨论。
从艾萨克·牛顿1704年的Opticks到莱昂哈德·欧拉的光学工作之间，进展甚微。也许最重要的是詹姆斯·布拉德利在1727年对光速的计算。这仍然是一种天文学方法，但布拉德利利用了来自恒星光行差的观测。这是由地球的周年运动引起的恒星位置的明显微小变化。值得注意的是，布拉德利的工作提供了地球绕太阳旋转的第一个直接证据。
莱昂哈德·欧拉对波动说的支持几乎没有改变人们对微粒说的普遍信念。在[22]中，Hakfoort研究了1772年Nicolas Béguelin的工作：-
Beguelin比较了牛顿的光的发射理论和Leonhard 莱昂哈德·欧拉的波动说。其他人通过援引论据或权威来选择两种理论之一，而Beguelin则系统地寻找他希望解决争论的实验。其中两个实验最具原创性。第一个由Beguelin亲自进行，涉及光线掠过玻璃表面。由于若干原因，它没有产生应有的影响。第二个是一个思想实验，旨在说明波动说的一个主要原则，即光与声之间的类比。……两者都没有使争论结束。
然而，托马斯·杨在1797年至1799年间在剑桥进行了光的干涉实验，为波动说提供了重要证据。Young在点光源前放置了一个带有两个针孔的屏幕。他于1801年发表了他的结果，描述了孔后屏幕上看到的明暗条纹图案。他还使用双缝产生了这些干涉图案，并用波动说解释了结果。事实上，他走得更远，用他的波动说解释了艾萨克·牛顿的结果。Young说，不同颜色的光是不同波长的光。他把光的折射量或衍射量与波长联系起来。根据Young的说法，衍射条纹是入射波与来自衍射孔径或物体边缘的波之间干涉的结果。他甚至使用艾萨克·牛顿自己的实验数据计算了不同颜色的波长。他对自己干涉的解释，用他1807年的话来说，如下[1]：-
图样的中央总是亮的，而两侧的亮条纹到中心距离满足这样的条件：从其中一个孔到达这些亮条纹的光，比从另一个孔到达的光多经过了一段距离，这段距离等于一个、两个、三个或更多个假设波长的宽度，而其间暗区则对应于半个假设波长、一个半、两个半或更多个假设波长的差值。
这一描述完全正确，但人们难以接受。声称两束光在某些条件下可以叠加而给出黑暗，这确实有某种非常反直觉的地方。我们应当注意到，⟦E1⟧还做出了关于光的其他重要发现，特别是他认识到色觉是由于眼睛具有分别对红、绿、蓝三色之一敏感的受体。
有两位科学家对理解光从表面反射时可以偏振作出了贡献，他们是艾蒂安-路易·马吕斯和Brewster。艾蒂安-路易·马吕斯于1809年发表了关于反射引起光的偏振的发现，并在次年发表了他的晶体中光双折射理论。艾蒂安-路易·马吕斯将几何光学转变为对直线及其在表面上的反射和折射的研究，详见[10]。Brewster在1811年的出版物给出了现在所称的Brewster定律，即当一束光以这样的方式击中透明介质的表面，使得折射光线与反射光线成90°角时，光束的偏振达到最大。
光谱中的暗线最早由William Wollaston于1802年观察到，但对其正确的解释还得等几年，直到Joseph von Fraunhofer进行了更彻底的研究，他测量了500多条此类暗线的精确位置。
光的波动理论的一个重大胜利来自奥古斯丁·菲涅耳的工作。他似乎并不知道克里斯蒂安·惠更斯、莱昂哈德·欧拉或Young的波动理论，而是自己发展出了波动理论。使他确信自己的波动理论正确的实验是在光路中放置一个小障碍物，并检查阴影中形成的衍射图样。1817年，法国Académie des Sciences提议将解释衍射的数学理论作为1819年大奖赛的悬赏题目。奥古斯丁·菲涅耳写了一篇论文，给出了他的光的波动理论的数学基础，1819年，由弗朗索瓦·阿拉戈担任主席，包括西莫恩·德尼·泊松、让-巴蒂斯特·毕奥和皮埃尔·西蒙·拉普拉斯在内的委员会开会审议他的工作。
这是一个对光的波动说并不友善的委员会，其中大多数人相信微粒模型。然而西莫恩·德尼·泊松被奥古斯丁·菲涅耳提出的数学模型深深吸引，并成功计算了其中一些积分以找出其他推论。他写道[1]：-
让平行光入射到一个不透明圆盘上，周围完全透明。圆盘当然会投下阴影——但阴影的正中心将是亮的。简言之，在不透明圆盘后方沿中心垂直线的任何地方都没有黑暗（除了紧贴圆盘之后）。
这是一个非凡的预言，但弗朗索瓦·阿拉戈要求对西莫恩·德尼·泊松基于奥古斯丁·菲涅耳数学模型所作的预言进行检验。果然，亮斑正如理论所预言的那样被看到了。弗朗索瓦·阿拉戈在向Académie des Sciences提交的关于奥古斯丁·菲涅耳参赛作品的报告中说道[1]：-
你们的一位委员，M 西莫恩·德尼·泊松，从[奥古斯丁·菲涅耳]所报告的积分中推导出了这个奇特的结果：不透明圆形屏的阴影中心，当光线以仅稍微更倾斜的入射角穿透到那里时，必定会被照亮得就像屏不存在一样。这一推论已被提交给直接实验检验，而观察完全证实了计算。
奥古斯丁·菲涅耳获得了大奖，他的工作为光的横波理论提供了强有力的论据。奥古斯丁·菲涅耳和弗朗索瓦·阿拉戈随后进行了进一步的工作，用他们的理论解释了光的偏振。在19世纪20年代和30年代，许多科学家研究了衍射；Fraunhofer于1823年发表了他的理论，而十二年后乔治·比德尔·艾里通过数学计算得出了圆孔产生的衍射图案。接下来的重大进展归功于麦可·法拉第和詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，从某种意义上说，这些进展完成了对光的‘经典’理解。这里所说的‘经典’是指相对论之前和量子理论之前。我们将在另一篇文章中研究相对论-量子理论时代的发展；参见 Light through the ages: Relativity and quantum era。在我们继续探讨麦可·法拉第和詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的主要贡献之前，让我们简要看看19世纪中叶的一些其他贡献。
阿尔芒·斐索在1849年成为第一个不使用天文方法计算光速的人。他使用一个带有720个齿的旋转轮将光束分解成一系列脉冲。一个部分反射镜将一些光通过轮子，而一些则通过。通过轮子的光被发送到17.3公里的旅程，然后被反射回来与通过部分反射镜的光发生干涉。他发现完成17.3公里的旅程需要0.00056秒，他计算出光速为每秒300,000公里，误差为每秒1000公里。次年，傅科使用旋转镜方法计算了光在空气和水中的速度，发现水中的速度较慢。光的波动理论至此已经完全确立。1860年，Bunsen和古斯塔夫·基尔霍夫观察到了通过燃烧物质的光源光谱中的暗线。这些是吸收线，正如Wollaston和Fraunhofer早先在太阳光谱中观察到的那样。
麦可·法拉第本人并不具备必要的数学技能，但他的工作对于詹姆斯·克拉克·麦克斯韦基于麦可·法拉第对电、磁、引力和光的研究所带来的理解，发展出一套精密的数学理论至关重要。1845年，麦可·法拉第研究了磁场对平面偏振光的影响。他发现了现在被称为麦可·法拉第效应的现象，即如果一束光通过一种使其偏振的物质，那么偏振面会被与光线平行的磁场旋转。1846年，麦可·法拉第在皇家学会发表了一次演讲，他在演讲中提出了自然界各种力存在统一性的观点。他提出，与原子相关的电场线和磁场线可以提供光波传播的介质：-
我大胆提出的观点认为，辐射是力线中一种高级的振动形式，这些力线已知将粒子以及物质团块连接在一起。它试图摒弃以太，但不摒弃振动。
麦可·法拉第的思想为詹姆斯·克拉克·麦克斯韦建立其数学电磁理论提供了基础。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦对光的首批贡献之一是在1861年创造了第一张彩色照片。他的想法基于杨对色觉的理解。Young已经表明，色觉是由于眼睛有三种类型的感受器，每种类型对红、绿、蓝三种原色之一敏感。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦拍摄了三张格子缎带的黑白照片，一张通过红色滤光片，一张通过绿色滤光片，一张通过蓝色滤光片。在皇家学会的一次会议上，麦可·法拉第也在听众席中，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦投影了这三张图像，用红色滤光片制作的图像用红光投影，其他图像也类似。三张图像被叠加投影，在屏幕上创建出格子缎带的彩色图像。
1862年，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦发现电磁现象以相同的速度传播，从而意识到它们与光有关。他在On Physical Lines of Force:-中写道
我们几乎无法避免这样的推论：光由同一种介质的横向波动构成，而这种介质是电和磁现象的原因。
1864年，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦发表了一篇论文，其中陈述道（见[1]）：-
这个速度如此接近光速，以至于我们似乎有充分理由得出结论：光本身（包括辐射热和其他辐射）是一种电磁扰动，以波的形式按照电磁定律通过电磁场传播。
这四个偏微分方程，现在被称为詹姆斯·克拉克·麦克斯韦方程组，完整地描述了经典电磁理论，以完全发展的形式出现在詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的论文Electricity and Magnetism（1873年）中。马克斯·普朗克，他在历代光之探索：相对论与量子时代中描述了下一个重大突破之一，在1931年詹姆斯·克拉克·麦克斯韦诞辰一百周年之际说，这一理论：-
……永远是人类智力努力的最伟大胜利之一。