数学史专题

素数Prime numbers

素数及其性质最早由古希腊数学家广泛研究。

毕达哥拉斯学派的数学家（公元前500年至公元前300年）出于神秘和数字命理学的兴趣而研究数字。他们理解素性的概念，并对perfect和amicable数感兴趣。

perfect number是其真因数之和等于该数本身的数。例如，数字6的真因数为1、2和3，且1 + 2 + 3 = 6，28的因数为1、2、4、7和14，且1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28。

pair of amicable numbers是一对像220和284这样的数，使得一个数的真因数之和等于另一个数，反之亦然。

你可以在完全数的历史专题文章完全数中看到更多关于这些数的内容。

到欧几里得的Elements在约公元前300年出现时，关于素数的一些重要结果已经被证明。在Elements的第九卷中，欧几里得证明了素数有无穷多个。这是已知最早使用反证法来确立一个结果的证明之一。欧几里得还给出了算术基本定理的证明：每个整数都可以本质上唯一地写成素数的乘积。

欧几里得还表明，如果数 $2^{n} - 1$ 是素数，那么数 $2^{n-1}(2^{n} - 1)$ 是完全数。数学家莱昂哈德·欧拉（很久之后的1747年）能够证明all偶完全数都是这种形式。至今仍不知道是否存在odd完全数。

大约在公元前200年，希腊人埃拉托色尼设计了一种计算素数的algorithm，称为Sieve of Eratosthenes。

此后，在通常被称为黑暗时代的时期，素数史上有很长一段空白。

接下来的重要进展是由皮埃尔·德·费马在17世纪初做出的。他证明了阿尔伯特‧吉拉德的一个猜想：每个形如 $4 n + 1$ 的素数都能唯一地写成两个平方数之和，并且能够说明任何数如何写成四个平方数之和。
他设计了一种分解大数的新方法，并通过分解数2027651281 = 44021 × 46061来演示。
他证明了后来被称为Fermat's Little Theorem的定理（以区别于他所谓的Last Theorem）。
该定理指出，如果 $p$ 是素数，那么对任意整数a，我们有 $a^{p} = a$ 模 $p$ 。
这证明了大约2000年前被称为Chinese hypothesis的定理的一半，即整数 $n$ 是素数当且仅当数 $2^{n} - 2$ 能被 $n$ 整除。这个定理的另一半是假的，因为例如， $2^{341} - 2$ 能被341整除，尽管341 = 31 × 11是合数。皮埃尔·德·费马小定理是数论中许多其他结果的基础，也是检验数是否为素数的方法的基础，这些方法至今仍在今天的电子计算机上使用。

皮埃尔·德·费马与他同时代的其他数学家通信，特别是与修士Marin 马兰·梅森。在他给马兰·梅森的一封信中，他猜想如果 $n$ 是2的幂，那么数 $2^{n} + 1$ 总是素数。他对 $n$ = 1, 2, 4, 8和16验证了这一点，并且知道如果 $n$ 不是2的幂，结果就不成立。这种形式的数被称为Fermat numbers，直到100多年后，莱昂哈德·欧拉才证明下一个情况 $2^{32} + 1 = 4294967297$ 能被641整除，因此不是素数。

形如 $2^{n} - 1$ 的数也引起了人们的注意，因为容易证明，除非 $n$ 是素数，否则这些数必定是合数。这些数常被称为Mersenne numbers $M_{n}$ ，因为马兰·梅森研究过它们。

并非所有形如 $2^{n} - 1$ 且 $n$ 为素数的数都是素数。例如 $2^{11} - 1 = 2047 = 23 \times 89$ 是合数，尽管这一点直到1536年才首次被注意到。
多年来，这种形式的数提供了已知最大的素数。数 $M_{19}$ 在1588年被伯多禄·卡塔迪证明为素数，并且在约200年里一直是已知最大的素数，直到莱昂哈德·欧拉证明了 $M_{31}$ 。 is prime. This established the record for another century and when 爱德华·卢卡斯表明 $M_{127}$ （一个39位数）是素数，这把记录一直保持到电子计算机时代。
1952年，马兰·梅森数 $M_{521}, M_{607}, M_{1279}, M_{2203}$ 和 $M_{2281}$ 被Robinson用一台早期计算机证明为素数，电子时代由此开始。

到2018年，总共已发现50个马兰·梅森素数。最大的是 $M_{77 232 917}$ ，它有23 249 425个十进制数字。

莱昂哈德·欧拉的工作对整个数论，尤其是对素数，产生了巨大影响。
他推广了皮埃尔·德·费马小定理，并引入了Euler φ-function。如上所述，他分解了第5个皮埃尔·德·费马数 $2^{32} + 1$ ，找到了上文提到的60对亲和数，并且陈述了（但未能证明）后来被称为二次互反律的定理。

他是第一个意识到可以用分析的工具来研究数论的人，并由此创立了分析数论这一学科。他能够证明，不仅所谓的调和级数 $\sum (\Large\frac{1}{n}\normalsize )$ 发散，而且由素数倒数之和构成的级数

$\large\frac{1}{2}\normalsize + \large\frac{1}{3}\normalsize + \large\frac{1}{5}\normalsize + \large\frac{1}{7}\normalsize + \large\frac{1}{11}\normalsize + ...$

也是发散的。调和级数的前 $n$ 项之和大致像 $\log(n)$ 那样增长，而后者发散得更慢，像 $\log[ \log(n) ]$ 那样。这意味着，例如，将所有已列出的素数的倒数相加，即使使用最强大的计算机，也只能得到大约 4 的和，但该级数仍然发散到 ∞。

乍一看，素数在整数中的分布似乎相当杂乱无章。例如，在 10 000 000 之前的 100 个数中有 9 个素数，而在其后的 100 个数中只有 2 个素数。然而，在大尺度上，素数的分布方式非常有规律。阿德里安-马里·勒让德和卡尔·弗里德里希·高斯都对素数的密度进行了大量计算。卡尔·弗里德里希·高斯（一位惊人的计算者）告诉一位朋友，每当他有 15 分钟空闲时间，他就会用来数一个“千数区间”（1000 个数的范围）中的素数。据估计，到他去世时，他已经数完了大约 300 万以内的所有素数。阿德里安-马里·勒让德和卡尔·弗里德里希·高斯都得出结论：对于大的 $n$ ， $n$ 附近的素数密度约为 $1/\log(n)$ 。阿德里安-马里·勒让德给出了 ≤ n 的素数个数 $\pi(n)$ 的估计为

$\pi(n) = \Large\frac{n}{\log(n)-1.08366}\normalsize$

而卡尔·弗里德里希·高斯的估计是用 logarithmic integral 表示的

$\pi(n) = \int _{2}^{n}\Large\frac{1}{\log(t)}\normalsize dt$ 。

你可以在THIS LINK看到阿德里安-马里·勒让德的估计，在THIS LINK看到卡尔·弗里德里希·高斯的估计，并可以在THIS LINK对它们进行比较。

素数密度为 $\Large\frac{1}{\log(n)}\normalsize$ 这一论断被称为Prime Number Theorem。整个19世纪，人们一直在尝试证明它，并取得了显著进展，其中巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫和波恩哈德·黎曼将这一问题与所谓的Riemann Hypothesis联系起来：这是一个关于所谓波恩哈德·黎曼zeta函数在复平面上零点的尚未证明的结果。该结果最终由雅克·阿达马和de la 夏尔-让·德拉瓦莱·普桑于1896年证明（使用了复分析中的强大方法）。

关于素数仍有许多未解决的问题（其中一些可追溯到数百年前）。
一些未解决的问题

存在无穷多对相差仅为2的素数的Twin Primes Conjecture。
Goldbach's Conjecture (made in a letter by 克里斯蒂安·哥德巴赫在1742年致莱昂哈德·欧拉的信中提出）每个大于2的偶数都可以写成两个素数之和。
形如 $n^{2} + 1$ 的素数有无穷多个吗？
（约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷证明了每个公差为 $\{a + bn | n \in \mathbb{N}\}$ 且 $a, b$ 互素的等差数列都包含无穷多个素数。）
在 $n^{2}$ 和 $(n + 1)^{2}$ 之间是否总有一个素数？
（在 $n$ 和 $2n$ 之间总有一个素数这一事实被称为约瑟·伯特兰猜想，并由巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫证明。）
有无穷多个素数皮埃尔·德·费马数吗？事实上，在第四个之后还有any个素数皮埃尔·德·费马数吗？
对于任意给定的（有限）长度，是否存在连续素数的等差数列？例如 251, 257, 263, 269 的长度为 4。largest example known 的长度为 10。
是否存在无穷多组由 3 个连续素数构成的等差数列。（如果省略“连续”一词，则为真。）
$n^{2} - n + 41$ 对 $0 ≤ n ≤ 40$ 是素数。这种形式的素数是否有无穷多个？同样的问题适用于 $n^{2} - 79 n + 1601$ ，它对 $0 ≤ n ≤ 79$ 是素数。
形如 $n\# + 1$ 的素数是否有无穷多个？（其中 $n\#$ 是所有 ≤ $n$ 的素数的乘积。）
形如 $n\# - 1$ 的素数是否有无穷多个？
形如 $n! + 1$ 的素数是否有无穷多个？
形如 $n! - 1$ 的素数是否有无穷多个？
如果 $p$ 是素数， $2^{p} - 1$ 是否总是无平方因子？即不被某个素数的平方整除。
斐波那契序列中是否包含无穷多个素数？

以下是我们已知的最新素数记录。

已知最大的素数（由GIMPS [Great Internet 马兰·梅森 Prime Search] 于2024年10月发现）是 $M_{136 279 841}$ ，它有41 024 841个十进制数字。它是已知的第52个梅森素数，尽管可能还有一些较小的尚未被发现。参见 Official announcement

已知最大的孪生素数对是 $2 996 863 034 895 \times 2^{1 290 000} ± 1$ ，有388 342个十进制数字。它于2016年9月被发现。

已知最大的阶乘素数（形如 $n! + 1$ ）是422,429! + 1，它有2 193 027位数字；它于2022年被发现。

已知最大的素数阶乘素数（形如 $n\# ± 1$ 的素数，其中 $n\#$ 是所有≤ $n$ 的素数的乘积）是3 267 113# - 1。它是一个1 418 398位的数字，于2021年被宣布。

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