数学史专题

完全数Perfect numbers

完全数最早在何时被研究尚不清楚，实际上最早的研究可能可以追溯到数最初引起人们好奇心的最早时期。很可能——尽管并不确定——埃及人由于其计算方法的方式会自然地遇到这样的数，例如参见[17]，其中给出了这一想法的详细论证。完全数曾被毕达哥拉斯及其追随者研究，更多是为了其神秘性质而非其数论性质。在我们开始考察完全数研究的历史之前，我们先定义所涉及的概念。

今天完全数的通常定义是就其除数而言的，但早期的定义是就一个数的“真因数”而言的。

一个数的aliquot part是该数的一个真商。例如，10的真因数是1、2和5。它们之所以出现，是因为 $1 = \large\frac{10}{10}\normalsize , 2 = \large\frac{10}{5}\normalsize$ 和 $5 = \large\frac{10}{2}\normalsize$ 。注意10不是10的真因数，因为它不是真商，即不是不同于该数本身的商。完全数被定义为其真因数之和等于该数本身的数。

四个完全数 6、28、496 和 8128 似乎自古以来就为人所知，而这些发现没有留下任何记载。

6 = 1 + 2 + 3,
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

已知最早关于完全数的有记载的数学结果出现在约公元前300年欧几里得的 Elements 中。许多人得知欧几里得的 Elements 中有数论结果时可能会感到惊讶，因为它被认为是一本几何书。然而，尽管数由线段表示因而具有几何外观，但 Elements 中有重要的数论结果。这里我们感兴趣的结果是 Elements 第 IX 卷的命题 36，它陈述道[2]：

如果从单位开始，按二倍比例连续列出任意多个数，直到所有数之和成为素数，并且如果这个和乘以最后一个数得到某个数，那么该乘积将是完全数。

这里“二倍比例”意味着序列中的每个数是前一个数的两倍。为了说明这个命题，考虑 1 + 2 + 4 = 7，它是素数。那么

（和）×（末项）= 7 × 4 = 28，

这是一个完全数。作为第二个例子，1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31，是素数。那么 31 × 16 = 496，是一个完全数。

现在欧几里得给出了该命题的严格证明，我们得到了关于完全数的第一个重要结果。我们可以利用毕达哥拉斯学派已知的事实，将命题重新表述为稍微更现代的形式：

$1 + 2 + 4 + ... + 2^{k-1} = 2^{k} - 1$ 。

该命题现在表述为：-

如果对某个 $k > 1, 2^{k} - 1$ 是素数，那么 $2^{k-1}(2^{k} - 1)$ 是一个完全数。

对完全数的下一个重要研究是由尼各马科做出的。大约在公元100年，尼各马科写下了他著名的著作Introductio Arithmetica，其中基于完全数的概念对数进行了分类。尼各马科将数分为三类：过剩数，其真因数之和大于该数；亏数，其真因数之和小于该数；完全数，其真因数之和等于该数（见[8]，或[1]中的不同译本）：-

在偶数中，有些是过剩数，有些是不足数：这两类如同两个对立的极端；至于处于两者中间位置的，则被称为完全数。而那些被称为彼此对立的，即过剩数与不足数，其状况（即不等）被分为过多与过少。

然而尼各马科心中所想的远不止数论，因为他接下来表明自己是以道德术语来思考的，其方式对今天的数学家来说可能显得非同寻常（见8，或1中的另一种译文）：——

在过多的情况下，产生的是过剩、多余、夸张和滥用；在过少的情况下，产生的是匮乏、缺陷、剥夺和不足。而在那些处于过多与过少之间的情况，即相等之中，产生的是美德、适度、得体、美以及诸如此类的事物——其中最具典范性的形式就是被称为完全数的那种数。

现在，尼各马科在满足于数的道德考量之后，接着提供了生物学类比，他将过剩数描述为像一种动物（见8，或1）：——

……十张嘴，或九片唇，并配有三排牙齿；或者有一百条手臂，或者一只手上手指过多……

不足数则被比作具有以下特征的动物：——

一只眼睛，……一只手臂或一只手少于五根手指，或者没有舌头……

尼各马科接着描述了关于完全数的一些结果。所有这些都没有给出任何证明的尝试。让我们用现代记号来陈述它们。

(1) 第 $n$ 个完全数有 $n$ 位数字。
(2) 所有完全数都是偶数。
(3) 所有完全数交替以6和8结尾。
(4) 欧几里得生成完全数的算法将给出所有完全数，即每个完全数都具有形式 $2^{k-1}(2^{k} - 1)$ ，其中 $k > 1$ 为某个值，且 $2^{k} - 1$ 是素数。
(5) 存在无穷多个完全数。

随着讨论的继续，我们将看到这些断言如何经受住了时间的考验，但在此我们不妨说，断言(1)和(3)是错误的，而如所述，(2)、(4)和(5)仍是未解决的问题。然而，自尼各马科时代以来，我们对他这五个断言的了解确实比我们刚才所作的简单陈述要多得多。让我们更详细地考察尼各马科关于生成完全数的算法的描述，即上面的断言(4)（见[8]或[1]）：-

存在一种优雅而可靠的方法来生成这些数，它既不遗漏任何完全数，也不包含任何非完全数；其做法如下。首先将2的幂按顺序排成一行，从1开始，一直进行到你所希望的程度：1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096；然后每当有一个新项时就将它们累加，并在每次累加时检查结果，如果你发现它是素数且非合数，就必须将它乘以你加到该行中的最后一项的量，乘积将总是完全数。否则，如果它是合数而非素数，就不要乘它，而是加上下一项，再次检查结果，如果它是合数，就将其搁置一旁，不乘它，再加上下一项。另一方面，如果它是素数且非合数，就必须将它乘以用于其合成的最后一项，所得的数将是完全数，如此继续直至无穷。

正如我们所看到的，这个算法正是欧几里得在Elements中给出的。然而，这种生成完全数的方法很可能是从欧几里得时代之前流传下来并一直延续到尼各马科撰写其论著时的一般数学传统的一部分。尼各马科的这五个断言是否基于这个算法之外的任何东西，以及他所知道的四个完全数6、28、496和8128这一事实，无法断言，但看来这些未经证明的断言背后不太可能还有更多东西。其中一些断言出现在这段关于完全数的引文中，它紧接在算法的描述之后[1]：-

……在个位数中只找到一个，即6；在十位数中只找到另一个，即28；在百位数中第三个，只有496；在千位数范围内，即一万以下，第四个，即8128。而它们的伴随特征是交替地以6或8结尾，并且总是偶数。
当这些被发现之后，即个位数中的6和十位数中的28，你必须以同样的方式构造下一个。……结果是在百位数中的496；接着是在千位数中的8128，依此类推，直到人们方便继续下去为止。

尽管尼各马科没有为他的断言提供任何理由，但这些断言多年来一直被视为事实。当然，还有我们尚未提到的宗教意义，即6是上帝创造世界所用的天数，并且人们相信这个数字之所以被选中，是因为它是完美的。同样，上帝选择了下一个完美数28作为月亮绕地球运行的天数。圣奥古斯丁（354-430）在其著名著作The City of God 中写道：-

六本身就是一个完美的数，并不是因为上帝在六天内创造了万物；相反，反过来才是真的。上帝在六天内创造了万物，因为这个数是完美的……

阿拉伯数学家也对完美数着迷，塔比·伊本·库拉撰写了Treatise on amicable numbers，在其中他考察了形如 $2^{n}p$ 的数，其中 $p$ 是素数，何时可以是完美的。海什木在未发表的作品Treatise on analysis and synthesis中证明了欧几里得命题的部分逆命题，他表明满足某些条件的完美数必须具有形式 $2^{k-1}(2^{k} - 1)$ ，其中 $2^{k} - 1$ 是素数。

在众多热情接受希腊人对完美数研究的阿拉伯数学家中，有伊斯梅尔·伊本·易卜拉欣·伊本·法卢斯（1194-1239），他基于尼各马科的Introduction to arithmetic撰写了一篇论文。他接受了尼各马科对数的分类，但该著作纯粹是数学的，不包含尼各马科的道德评论。伊本·法卢斯在其论文中给出了一个声称是完美数的十个数的表，前七个是正确的，实际上是前七个完美数，其余三个数是不正确的。关于这项令人印象深刻的工作的更多细节，见[6]和[7]。

在1500年左右欧洲数学复兴之初，尼各马科的断言被视为真理，关于完美数没有进一步的了解，甚至不知道阿拉伯人的工作。有些人甚至相信一个更无根据且不正确的结果，即对于每个奇数 $k$ ， $2^{k-1}(2^{k} - 1)$ 是一个完美数。卢卡·帕西奥利似乎确实相信这个谬误。夏里·德波维尔，一位神学家和哲学家，在1509年出版了一本关于完美数的书。在其中他声称欧几里得的公式 $2^{k-1}(2^{k} - 1)$ 对所有奇整数 $k$ 给出一个完美数，见[10]。然而，相当显著的是，尽管直到相对最近才为人所知，但已经取得了进展。

第五个完美数再次被发现（在阿拉伯人的未知结果之后），并记录在一份日期为1461年的手稿中。它也出现在一份由约翰·缪勒在维也纳大学逗留期间撰写的手稿中，他于1461年离开那里，见[14]。它也在大约1458年撰写的一份手稿中被发现，而第五和第六个完美数都在同一作者可能写于1460年之后的另一份手稿中被发现。关于这位作者所知道的一切就是他住在佛罗伦萨，是多梅尼科·达戈斯蒂诺·瓦亚伊奥的学生。

1536年，胡达尔里库斯·雷吉乌斯取得了第一个突破，这后来成为后来数学家的常识，当时他出版了Utriusque ArithmeticesⓉ（两种算术），在其中他给出了分解 $2^{11} - 1 = 2047 = 23 . 89$ 。由此他找到了第一个素数p，使得 $2^{p-1}(2^{p} - 1)$ 不是完美数。他还表明 $2^{13} - 1 = 8191$ 是素数，因此他发现（并公布了他的发现）第五个完美数 $2^{12}(2^{13} - 1) = 33550336$ 。这表明尼各马科的第一个断言是错误的，因为第五个完美数有8位数字。然而，尼各马科关于完美数交替以6和8结尾的说法仍然成立。也许令人惊讶的是，雷吉乌斯，他一定认为自己取得了数学上的重大突破之一，今天却几乎无人知晓。

J·沙伊布尔在1555年在其对欧几里得的Elements译本的评论中给出了第六个完美数。这直到1977年才被注意到，因此没有影响完美数的进展。

下一步进展出现在1603年，当时伯多禄·卡塔迪找到了所有不超过800的数的因子，还给出了所有不超过750的素数的表（这样的素数有132个）。伯多禄·卡塔迪能够用他的素数表证明 $2^{17}- 1 = 131071$ 是素数（因为 $750^{2} = 562500 > 131071$ 他可以通过繁琐的计算检验131071没有素因子）。由此伯多禄·卡塔迪现在知道了第六个完全数，即 $2^{16}(2^{17} - 1) = 8589869056$ 。伯多禄·卡塔迪的这个结果表明，尼各马科关于完全数交替以6和8结尾的断言是错误的，因为第五个和第六个完全数都以6结尾。伯多禄·卡塔迪也用他的素数表检验了 $2^{19} - 1 = 524287$ 是素数（同样因为 $750^{2} = 562500 > 524287$ ），因此他也找到了第七个完全数，即 $2^{18}(2^{19} - 1) = 137438691328$ 。

正如读者已经意识到的，完全数的历史充满了错误，而伯多禄·卡塔迪尽管取得了发现两个新完全数的重大进展，也提出了一些错误的断言。他在Utriusque ArithmeticesⓉ（两种算术）中写道，指数 $p$ = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37给出完全数 $2^{p-1}(2^{p} - 1)$ 。当然，对于 $p$ = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19，他是正确的，因为他从素数表中得到了证明，但在他进一步提出的四个断言23, 29, 31, 37中，只有一个正确。

许多数学家对完美数感兴趣，并试图为这一理论做出贡献。例如，勒内·笛卡儿在1638年写给马兰·梅森的一封信中写道[8]：-

……我想我能证明，除了欧几里得中的那些之外，没有偶完全数；并且没有奇完全数，除非它们由一个素数与一个平方数相乘构成，而该平方数的根由若干其他素数组成。但我看不出有什么能阻止人们找到这类数。例如，如果22021是素数，将它乘以9018009——这是一个平方数，其根由素数3、7、11、13组成——就会得到198585576189，这将是一个完全数。但是，无论采用什么方法，寻找这些数都需要大量时间……

下一个重大贡献由皮埃尔·德·费马做出。他在1636年告诉罗贝瓦尔，他正在研究这个课题，尽管问题非常困难，他打算就此发表一篇论文。这篇论文最终从未写成，部分原因是皮埃尔·德·费马从未抽时间把自己的结果好好写出来，但也因为他没有取得他所期望的关于完全数的实质性结果。1640年6月，皮埃尔·德·费马写信给马兰·梅森，告诉他关于完全数的发现。他写道：——

……这是我发现的三个命题，我希望在此基础上建立一座宏大的结构。比二倍级数少一的数，如
1  2  3   4   5   6    7    8    9    10    11    12    13


1  3  7  15  31  63  127  255  511  1023  2047  4095  8191
让它们被称为完全数的根基，因为只要它们是素数，就能产生完全数。在这些数上方按自然顺序写上1、2、3、4、5等，称为它们的指数。这样做之后，我说
当一个根基数的指数是合数时，它的根基也是合数。正如63的指数6是合数，我说63将是合数。
当指数是素数时，我说它的根基减一可被指数的两倍整除。正如127的指数7是素数，我说126是14的倍数。
当指数是一个素数时，我说它的根号不可能被任何其他素数整除，除了那些比指数的两倍的某个倍数大一的素数……
这里是我发现并毫不费力地证明的三个漂亮命题，我将称它们为完全数发明的基础。我不怀疑福兰尼可更早到达了那里，但我才刚刚开始，毫无疑问，这些命题在那些对这些问题还没有变得足够虚伪的人心中将被视为非常可爱，我将非常高兴能得到M 罗贝瓦尔的意见。

在写给马兰·梅森这封信后不久，皮埃尔·德·费马于1640年10月18日写信给福兰尼可。在这封信中，他给出了前一封信中结果的一个推广，陈述了现在被称为皮埃尔·德·费马小定理的结果，该定理表明对于任何素数 $p$ 和不能被 $p$ 整除的整数 $a$ ， $a^{p-1}- 1$ 能被 $p$ 整除。当然，皮埃尔·德·费马发现他的小定理是他研究完全数的结果。

此处一段未译出，以下为英文原文Using special cases of his Little Theorem, 皮埃尔·德·费马 was able to disprove two of 伯多禄·卡塔迪's claims in his June 1640 letter to 马兰·梅森. He showed that $2^{23} - 1$ was composite (in fact $2^{23} - 1 = 47 \times 178481$ ) and that $2^{37} - 1$ was composite (in fact $2^{37} - 1 = 223 \times 616318177$ ). 福兰尼可 had, earlier in that year, asked 皮埃尔·德·费马 (in correspondence through 马兰·梅森) if there was a perfect number between $10^{20}$ and $10^{22}$ . In fact assuming that perfect numbers are of the form $2^{p-1}(2^{p} - 1)$ where $p$ is prime, the question readily translates into asking whether $2^{37} - 1$ is prime. 皮埃尔·德·费马 not only states that $2^{37} - 1$ is composite in his June 1640 letter, but he tells 马兰·梅森 how he factorised it.

皮埃尔·德·费马使用了三个定理：-

(i) 若 $n$ 是合数，则 $2^{n} - 1$ 是合数。
(ii) 若 $n$ 是素数，则 $2^{n} - 2$ 是 $2n$ 的倍数。
(iii) 若 $n$ 是素数， $p$ 是 $2^{n}- 1$ 的一个素因子，则 $p - 1$ 是 $n$ 的倍数。

注意(i)是平凡的，而(ii)和(iii)是皮埃尔·德·费马小定理的特殊情况。皮埃尔·德·费马进行如下：如果 $p$ 是237 - 1的一个素因子，那么37整除 $p - 1$ 。由于 $p$ 是奇数，它是形式为 $2 \times 37m+1$ 的素数，对于某个 $m$ 。第一个要尝试的情况是 $p$ = 149，这失败了（进行了试除）。下一个要尝试的情况是223（情况 $m = 3$ ），这成功了并且 $2^{37} - 1 = 223 \times 616318177$ 。

马兰·梅森对皮埃尔·德·费马寄给他的完全数结果很感兴趣，并很快提出了自己的一个论断，这个论断在之后许多年里令数学家们着迷。1644年，他出版了Cogitata physica mathematica Ⓣ（《物理数学随想》），其中声称对于以下情况， $2^{p} - 1$ 是素数（因此 $2^{p-1}(2^{p} - 1)$ 是完全数）

$p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257$

以及直到257为止的 $p$ 的其他任何值，⟦M6⟧都是素数（因而⟦M7⟧是完全数）。当然，马兰·梅森不可能验证过这些结果，他自己也承认了这一点，他说：

……要判断一个给定的15位或20位数是否为素数，所有时间都不足以完成检验。

引人注目的事实是，如果这只不过是一个猜测，那么马兰·梅森做得非常好。在大于19但小于258的47个素数 $p$ 中， $2^{p} - 1$ 可能是素数也可能是合数。马兰·梅森猜对了42个，错了5个。关于他在给出列表时所使用规则的提示见[9]。

形式为 $2^{p}- 1$ 的素数称为马兰·梅森素数。

下一个对完全数问题做出重大贡献的人是莱昂哈德·欧拉。1732年，他证明了第八个完全数是 $2^{30}(2^{31} - 1) = 2305843008139952128$ 。这是125年来发现的第一个新的完全数。然后在1738年，莱昂哈德·欧拉解决了伯多禄·卡塔迪的最后一个断言，他证明了 $2^{29} - 1$ 不是素数（所以伯多禄·卡塔迪的猜测并不太好）。应当注意（当时也确实注意到了），马兰·梅森在这两点上都是正确的，因为 $p = 31$ 出现在他的列表中，而 $p = 29$ 没有。

在他生前未发表的两份手稿中，莱昂哈德·欧拉证明了欧几里得结果的逆命题，即每个偶完全数都必须具有 $2^{p-1}(2^{p} - 1)$ 的形式。这至少对偶数情形验证了尼各马科的第四个断言。它还引出一个简单证明：所有偶完全数都以6或8结尾（但不是交替出现）。莱昂哈德·欧拉还试图在奇完全数是否存在这一问题上取得一些进展。他能够证明勒内·笛卡儿在1638年写给马兰·梅森的信中所作的断言，我们上文已引用过该信。他更进一步，证明了任何奇完全数都必须具有如下形式

$(4n+1)^{4k+1} b^{2}$

其中 $4n+1$ 是素数。然而，正如我们考察过其贡献的大多数人一样，莱昂哈德·欧拉关于完全数的预测后来被证明是错误的。他声称对于 $p = 41$ 和 $p = 47$ ， $2^{p-1}(2^{p} - 1)$ 是完全数，但莱昂哈德·欧拉确实有发现自身错误的殊荣，他在1753年纠正了这个错误。

对完全数的寻找此时已变成检验马兰·梅森在Cogitata physica mathematicaⓉ（《物理数学思考》）中的断言是否正确的一种尝试。事实上，莱昂哈德·欧拉的结果使许多人相信马兰·梅森掌握着某种未公开的方法，能告诉他正确答案。实际上，莱昂哈德·欧拉的完全数 $2^{30}(2^{31} - 1)$ 在150多年里一直是已知最大的完全数。像彼得·巴洛这样的数学家在其1811年出版的Theory of Numbers 中写道，完全数 $2^{30}(2^{31} - 1)$ ：-

……是将来所能发现的最大者；因为它们只是奇特而无用，所以不大可能有人会试图去寻找比它更大的完全数。

当然，这又被证明是关于完全数的又一个错误断言！

马兰·梅森列表中的第一个错误于1876年由爱德华·卢卡斯发现。他能够证明 $2^{67} - 1$ 不是素数，尽管他的方法无法找出它的任何因子。爱德华·卢卡斯还验证了马兰·梅森列表中的一个数是对的，他证明 $2^{127} - 1$ 是一个马兰·梅森素数，因此 $2^{126}(2^{127}- 1)$ 确实是一个完全数。爱德华·卢卡斯取得了另一项重要进展，经Lehmer在1930年修改后，成为今天用计算机寻找马兰·梅森素数、从而寻找完全数的基础。在爱德华·卢卡斯宣布 $p = 127$ 给出马兰·梅森素数 $2^{p} - 1$ 之后，乌惹内·查尔斯·卡塔兰猜想：若 $m = 2^{p} - 1$ 是素数，则 $2^{m} - 1$ 也是素数。这个乌惹内·查尔斯·卡塔兰序列是 $2^{p} - 1$ ，其中

$p =$ 3, 7, 127, 170141183460469231731687303715884105727, ...

当然，如果这个猜想成立，它将解决一个仍未解决的问题：马兰·梅森素数是否有无穷多个（同时也解决另一个仍未解决的问题：完全数是否有无穷多个）。然而，检验这个序列的第四项，即当 $p =$ 为170141183460469231731687303715884105727时的 $2^{p} - 1$ ，是否为素数，远远超出了可能做到的范围。

1883年，Pervusin证明了 $2^{60}(2^{61}- 1)$ 是一个完全数。三年后，Seelhoff独立地证明了这一点。许多数学家纷纷为马兰·梅森辩护，说他列表中的数字67是61的印刷错误。

1903年，法兰克·尼尔森·寇尔成功分解了 $2^{67} - 1$ ，这个数被爱德华·卢卡斯证明为合数，但在此之前无人知晓其因子。1903年10月，法兰克·尼尔森·寇尔向美国数学会的一次会议提交了一篇论文On the factorisation of large numbers。在一次有史以来最奇特的“演讲”中，法兰克·尼尔森·寇尔在黑板上写道

$2^{67} - 1 = 147573952589676412927$ 。

然后他写下761838257287，并在其下方写下193707721。他一言不发地将这两个数相乘，得到147573952589676412927，然后在听众的掌声中坐下。[值得一提的是，我（EFR）用来输入这篇文章的计算机在大约一秒内就给出了 $2^{67} - 1$ 的这个分解——时代变了！]

马兰·梅森所犯的更多错误被发现。1911年，Powers证明了 $2^{88}(2^{89} - 1)$ 是一个完全数，几年后，他证明了 $2^{107}- 1$ 是素数，因此 $2^{106}(2^{107}- 1)$ 是一个完全数。1922年，Kraitchik证明了马兰·梅森关于他最大的素数257的断言是错误的，他证明 $2^{257}- 1$ 不是素数。

我们追踪了寻找偶完全数的进展，但也有人试图证明奇完全数不可能存在。这方面进展的主要方向是证明奇完全数必须具有的不同素因子的最小数目。詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特研究过这个问题，并写道（见[20]）：-

……[奇完全数]的存在——可以说，它从四面八方将其束缚的复杂条件之网中逃脱——几乎可以说是一个奇迹。

事实上，詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特在1888年证明了任何奇完全数必须至少有4个不同的素因子。同年晚些时候，他将自己的结果改进为五个因子，多年来，这一结果不断得到改进，直到今天我们得知奇完全数必须至少有八个不同的素因子，以及至少29个不一定不同的素因子。还已知这样的数将超过300位，并且有一个大于 $10^{6}$ 的素因子。然而，奇完全数是否存在这一问题仍未解决。

今天（2020年）已知有51个完全数， $2^{88}(2^{89}- 1)$ 是1911年通过手工计算发现的最后一个（尽管不是手工计算发现的最大者），其余都是通过计算机发现的。事实上，计算机引发了人们对发现马兰·梅森素数的兴趣的复兴，从而也引发了对完全数的兴趣。目前已知最大的马兰·梅森素数是 $2^{82 589 933} - 1$ （这也是已知最大的素数），相应的已知最大完全数是 $2^{82 589 932} (2^{82 589 933} - 1)$ 。它于2018年12月被发现，这是被发现的第51个这样的素数，包含超过2300万位数字。如果你想知道为什么我们没有以十进制形式包含这个数字，那么让我说，它包含的字符数大约是这篇关于完全数的整篇文章的860倍。同样值得注意的是，尽管这是被发现的第51个，但它可能不是第51大的完全数，因为并非所有更小的情况都被排除。参见 Official announcement。

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