拓扑学史A history of Topology

拓扑学思想几乎存在于当今数学的所有领域。拓扑学本身由几个不同的分支组成，如点集拓扑学、代数拓扑学和微分拓扑学，它们之间相对而言共同点很少。我们将追溯拓扑概念在一些不同情况下的兴起。

也许第一个值得被视为拓扑学开端的工作是由莱昂哈德·欧拉完成的。1736年，莱昂哈德·欧拉发表了一篇关于解决Königsberg bridge problem的论文，题为Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis Ⓣ（解决一个与位置几何有关的问题）。标题本身表明莱昂哈德·欧拉意识到他正在处理一种不同类型的几何，其中距离无关紧要。

插图：Konigsberg_colour.jpeg ↗

这是柯尼斯堡桥的示意图

这篇论文不仅表明一次走完七座桥是不可能的，而且将问题推广到表明，用今天的记号，

一个图有一条恰好经过每条边一次的路径，当且仅当恰有两个顶点的度为奇数。

使数学摆脱作为关于测量的学科的下一个步骤也归功于莱昂哈德·欧拉。1750年，他写了一封信给克里斯蒂安·哥德巴赫，信中除了评论克里斯蒂安·哥德巴赫与一位书商之间的争执外，还给出了莱昂哈德·欧拉关于多面体的著名公式

$v - e + f = 2$

其中$v$是多面体的顶点数，$e$是棱数，$f$是面数。有趣的是，这个其实相当简单的公式似乎被阿基米德和勒内·笛卡儿遗漏了，尽管两人都写了大量关于多面体的著作。原因必定又是，对于莱昂哈德·欧拉之前的每个人来说，不涉及测量就不可能思考几何性质。

莱昂哈德·欧拉在1752年的两篇论文中发表了他的公式的细节，第一篇承认莱昂哈德·欧拉无法证明结果，但第二篇给出了一个基于将实体分割成四面体切片的证明。莱昂哈德·欧拉忽略了他那非常聪明的证明中的一些问题。特别是，他假设实体是凸的，即连接任意两点的直线总是完全位于实体内部。

由莱昂哈德·欧拉以其多面体公式开创的路线，被一位鲜为人知的数学家Antoine-Jean Lhuilier（1750 -1840）所继承，他一生中大部分时间都在研究有关莱昂哈德·欧拉公式的问题。1813年，Lhuilier发表了一部重要著作。他注意到莱昂哈德·欧拉的公式对于带有洞的立体是错误的。如果一个立体有$g$个洞，Lhuilier表明

$v - e + f = 2 - 2g$。

这是关于拓扑不变量的第一个已知结果。

奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯在1865年发表了对奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯带的描述。他试图用不可定向性来描述奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯带的“单侧”性质。他设想曲面被有向三角形覆盖。他发现奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯带无法用相容的有向三角形填充。

利斯廷（1802-1882）是第一个使用拓扑学这个词的人。利斯廷的拓扑学思想主要归功于卡尔·弗里德里希·高斯，尽管卡尔·弗里德里希·高斯本人选择不发表任何关于拓扑学的著作。利斯廷在1847年写了一篇论文，题为Vorstudien zur Topologie Ⓣ（拓扑学初步研究），尽管他已经在通信中使用了这个词十年。1847年的论文并不十分重要，尽管他也引入了复形的概念，因为它极为初等。1861年，利斯廷发表了一篇重要得多的论文，其中他描述了奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯带（比奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯早4年），并研究了曲面的分支和连通性。

利斯廷并不是第一个研究曲面连通性的人。波恩哈德·黎曼在1851年研究了这个概念，并在1857年再次研究，当时他引入了波恩哈德·黎曼曲面。这个问题源于研究一个多项式方程$f (w, z) = 0$，并考虑当$w$和$z$变化时根如何变化。波恩哈德·黎曼引入了波恩哈德·黎曼曲面，由函数$f (w, z)$确定，使得由方程$f (w, z) = 0$定义的函数$w(z)$在这些曲面上是单值的。

卡米耶·若尔当引入了另一种考察曲面连通性的方法。他把曲面上一条不自交的简单闭曲线称为不可约回路，如果它不能连续形变为一个点。如果一个一般回路$c$可以变换为一组不可约回路$a_{1}, a_{2}, ...., a_{n}$，使得$c$描述$a_{i} m_{i}$次，那么他写道

$c = m_{1}a_{1} + m_{2}a_{2} + ....+ m_{n}a_{n}$。

回路$c$是可约的，如果

$m_{1}a_{1} + m_{2}a_{2} + ....+ m_{n}a_{n} = 0$。（*）

一组不可约回路$a_{1}, a_{2}, ...., a_{n}$称为independent，如果它们不满足形如（*）的关系；称为complete，如果任何回路都可用它们表示。卡米耶·若尔当证明了完全独立集中的回路数目是曲面的一个拓扑不变量。

利斯廷研究了三维欧几里得空间中的连通性，但恩里科·贝蒂将他的思想推广到了$n$维。这并不像看起来那么直接，因为即使在三维中，也可能存在一个不能约化为一个点的曲面，但曲面上的闭曲线却可以约化为一个点。恩里科·贝蒂对连通性的定义还有待改进，Heegaard对此提出了批评。

连通性的概念最终由儒勒·昂利·庞加莱在1895年的一系列论文Analysis situs Ⓣ（位置分析）中置于完全严格的基础上。儒勒·昂利·庞加莱引入了同调的概念，并给出了与空间相关的恩里科·贝蒂数的比恩里科·贝蒂本人更精确的定义。莱昂哈德·欧拉的凸多面体公式在1890年被Jonquières推广到不一定凸的多面体，现在儒勒·昂利·庞加莱将其置于$p$维簇$V$的完全一般框架中。

同样在处理连通性时，儒勒·昂利·庞加莱引入了簇的基本群，而同在1895年的论文中引入了同伦的概念。

拓扑学发展的第二种方式是通过对收敛思想的推广。这一过程真正开始于1817年，当时伯纳德·波尔查诺去掉了收敛与数列的关联，而将收敛与实数的任何有界无限子集联系起来。

格奥尔格·康托尔于1872年引入了一个集合的第一导集或极限点集的概念。他还将实直线的闭子集定义为包含其第一导集的子集。格奥尔格·康托尔还引入了开集的概念，这是点集拓扑学中的另一个基本概念。

卡尔·魏尔斯特拉斯在1877年的一门未发表的讲座课程中给出了伯纳德·波尔查诺-卡尔·魏尔斯特拉斯定理的严格证明，该定理表述为

实数的一个有界无限子集S至少有一个聚点p，即p满足：对任意ε > 0，存在S中点的无限序列(pn )，使得$| p - p_{n} | < \epsilon$。

因此，点的neighbourhood概念被引入。

大卫·希尔伯特在1902年使用邻域概念回答了他自己提出的一个问题，即

连续变换群是否可微？

1906年，莫里斯·弗雷歇将任何无限有界子集都包含聚点的空间称为紧空间。然而，莫里斯·弗雷歇通过定义度量空间，将收敛概念从欧几里得空间推广开来。他还表明，格奥尔格·康托尔关于开子集和闭子集的思想自然地推广到了度量空间。

里斯在给International Congress of Mathematics in Rome的一篇论文（1909年）中，完全抛弃了度量，并提出了一种新的拓扑学公理化方法。该定义基于极限点的集合定义，没有距离的概念。几年后的1914年，费利克斯·豪斯多夫用四条公理定义了邻域，因此同样没有度量的考虑。里斯和费利克斯·豪斯多夫的这项工作真正使得抽象拓扑空间的定义成为可能。

拓扑学概念进入数学还有第三条途径，即通过泛函分析。这是一个源自数学物理和天文学的主题，其产生是因为经典分析的方法在处理某些类型的问题时有些不足。雅各布·伯努利和约翰·伯努利发明了变分法，其中积分的值被视为被积函数的函数。

雅克·阿达马在1903年研究形如$F$的线性泛函时引入了“泛函”一词。

$F(f) = lim \int f (x) g_{n}(x) dx$

其中极限取为$n \rightarrow ∞$，积分从$a$到$b$。莫里斯·弗雷歇于1904年通过定义泛函的导数继续发展了泛函理论。

艾尔哈德·施密特在1907年考察了序列空间中的收敛概念，推广了大卫·希尔伯特在其积分方程工作中使用的方法，以推广约瑟夫·傅里叶级数的概念。距离通过内积来定义。艾尔哈德·施密特关于序列空间的工作在平方可和函数理论中有类似物，这项工作也于1907年由艾尔哈德·施密特本人以及独立地由莫里斯·弗雷歇完成。

斯特凡·巴拿赫在1932年采取了进一步的抽象步骤，他从内积空间转向赋范空间。斯特凡·巴拿赫采用了莫里斯·弗雷歇的线性泛函，并表明它们在赋范空间中有自然的背景。

儒勒·昂利·庞加莱在研究源于某些天文学问题的常微分方程时发展了他的许多拓扑方法。他对自治系统的研究

$\Large\frac{dx}{dt}\normalsize = f (x, y) , \Large\frac{dy}{dt}\normalsize = g(x, y)$

涉及考察所有解的总体，而非像早先那样考察特定轨线。儒勒·昂利·庞加莱所发展的方法汇集，由勒伊岑·布劳威尔于1912年构建成完整的拓扑理论。