数学史专题
广义相对论是一种引力理论，要理解该理论的背景，我们必须考察引力理论是如何发展的。亚里士多德关于物体运动的观念长期阻碍了对引力的理解。他认为力只能通过接触施加；超距力是不可能的，并且需要恒定的力来维持物体的匀速运动。
尼古拉·哥白尼的太阳系观点很重要，因为它使得对引力的合理思考成为可能。约翰内斯·开普勒的行星运动定律和伽利略对运动与落体的理解，为艾萨克·牛顿的引力理论奠定了基础，该理论于1687年在Principia中提出。艾萨克·牛顿的引力定律表示为
其中是质量分别为和的两物体之间的力，是它们之间的距离。⟦M5⟧是万有引力常数。
在从莱昂哈德·欧拉那里获得其确定的分析形式之后，艾萨克·牛顿的运动公理被约瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密顿和卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅可比改造成非常强大和普遍的方法，这些方法采用了新的分析量，如势，它与力相关但远离日常经验。由于亚历克西斯·克劳德·克莱罗和皮埃尔·西蒙·拉普拉斯的工作，艾萨克·牛顿的万有引力被认为被证明是正确的。皮埃尔·西蒙·拉普拉斯在1799年的Traité du Mécanique CélesteⓉ（《天体力学论》）中考察了太阳系的稳定性。事实上，所谓的三体问题在19世纪被广泛研究，直到很久以后才被正确理解。对引力势的研究使得由地球形状不规则引起的引力变化可以在实践和理论上得到研究。西莫恩·德尼·泊松使用引力势方法给出了一个方程，与艾萨克·牛顿的不同，它可以在相当一般的条件下求解。
艾萨克·牛顿的引力理论极为成功。除了一个弱点之外，几乎没有理由质疑它，这个弱点就是要解释两个物体如何知道对方的存在。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在1864年对引力作出了一些深刻的论述。他的主要著作A dynamical theory of the electromagnetic field（1864年）写作的目的是
……解释相距遥远的物体之间的电磁作用，而不假设存在能够直接在可感知距离上作用的力。
在著作的结尾，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦对引力作了评论。
在将磁吸引与排斥以及电吸引与排斥都追溯到周围介质的作用，并发现它们依赖于距离的平方反比之后，我们自然会问：遵循同样距离规律的万有引力，是否也可以追溯到周围介质的作用。
然而詹姆斯·克拉克·麦克斯韦指出，同类物体的吸引会导致一个悖论。介质所具有的能量必定因这些物体的存在而减少，而詹姆斯·克拉克·麦克斯韦说
由于我无法理解一种介质如何能拥有这样的性质，我无法在这个方向上进一步寻找引力的原因。
在1900年亨德里克·洛伦兹猜想引力可以归因于以光速传播的作用。儒勒·昂利·庞加莱在1905年7月的一篇论文中（在阿尔伯特·爱因斯坦的狭义相对论论文提交前几天提交）提出，所有力都应按照亨德里克·洛伦兹变换进行变换。在这种情况下，他指出艾萨克·牛顿的引力定律不成立，并提出了以光速传播的引力波。
1907年，在提出狭义相对论两年后，阿尔伯特·爱因斯坦正在准备一篇关于狭义相对论的综述，这时他突然想到，牛顿引力必须如何修改才能与狭义相对论相容。此时，阿尔伯特·爱因斯坦想到了被他称为happiest thought of my life ,的东西，即一个从房顶下落的观察者感受不到引力场。他提出了Equivalence Principle作为推论：——
……因此我们将假设引力场与参考系的相应加速度在物理上完全等价。这一假设将相对性原理推广到参考系作匀加速运动的情形。
在1907年等效原理这一重大进展之后，阿尔伯特·爱因斯坦直到1911年才再次发表关于引力的文章。那时他意识到，引力场中光线的弯曲——他在1907年就知道这是等效原理的一个推论——可以通过天文观测来检验。1907年时他仅从地面观测的角度考虑，那时似乎几乎没有实验验证的可能。这一时期还讨论了引力红移，即光离开大质量天体时，由于逃离引力场而损失能量，会向红端移动。
阿尔伯特·爱因斯坦在1912年发表了关于引力的进一步论文。在这些论文中，他意识到亨德里克·洛伦兹变换将不适用于这种更一般的情形。阿尔伯特·爱因斯坦也意识到引力场方程必然是非线性的，而等效原理似乎只局部成立。
阿尔伯特·爱因斯坦的这项工作促使其他人提出引力理论。Nordström、马克斯·亚伯拉罕和Mie的工作都是阿尔伯特·爱因斯坦迄今为止未能找到满意理论的尝试的结果。然而阿尔伯特·爱因斯坦意识到了他的问题。
如果所有加速系统都是等价的，那么欧几里得几何不可能在所有这些系统中成立。
阿尔伯特·爱因斯坦随后想起他学生时代曾学过卡尔·弗里德里希·高斯的曲面理论，并突然意识到几何学的基础具有物理意义。他咨询了他的朋友马塞尔·格罗斯曼，后者能够告诉阿尔伯特·爱因斯坦关于波恩哈德·黎曼、Ricci（格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗）和图利奥·列维-齐维塔的重要进展。阿尔伯特·爱因斯坦写道
……在我一生中，我从未如此努力过，并且我对数学产生了极大的敬意，在此之前，由于我的头脑简单，我曾把数学中较为微妙的部分视为纯粹的奢侈品。
1913年，阿尔伯特·爱因斯坦和马塞尔·格罗斯曼发表了一篇联合论文，其中运用了Ricci和图利奥·列维-齐维塔的张量演算以取得进一步进展。马塞尔·格罗斯曼给了阿尔伯特·爱因斯坦波恩哈德·黎曼-埃尔温·布鲁诺·克里斯托费尔张量，它与可由其导出的Ricci张量一起，将成为未来理论的主要工具。进展在于引力首次由度规张量描述，但理论仍然不正确。当马克斯·普朗克于1913年拜访阿尔伯特·爱因斯坦，阿尔伯特·爱因斯坦告诉他其理论的现状时，马克斯·普朗克说
作为一个年长的朋友，我必须劝你不要这样做，因为首先你不会成功，即使你成功了，也没有人会相信你。
马克斯·普朗克错了，但只差一点，因为当阿尔伯特·爱因斯坦的理论要成功时，它并没有被轻易接受。直到1915年下半年，阿尔伯特·爱因斯坦才最终将理论确立。然而在此之前，他已于1914年10月写了一篇论文，其中近一半是关于张量分析和微分几何的论述。这篇论文引发了阿尔伯特·爱因斯坦与图利奥·列维-齐维塔之间的通信，在通信中图利奥·列维-齐维塔指出了阿尔伯特·爱因斯坦张量工作中的技术错误。阿尔伯特·爱因斯坦很高兴能与图利奥·列维-齐维塔交流思想，他发现图利奥·列维-齐维塔比他的其他同事更赞同他关于相对论的想法。
1915年6月底，阿尔伯特·爱因斯坦在哥廷根待了一周，就他1914年10月（不正确的）广义相对论版本进行了六次每次两小时的讲座。大卫·希尔伯特和菲利克斯·克莱因听了他的讲座，阿尔伯特·爱因斯坦在离开哥廷根后评论道
广义相对论理论的最后几步是由阿尔伯特·爱因斯坦和大卫·希尔伯特几乎同时迈出的。两人都认识到阿尔伯特·爱因斯坦1914年10月工作中的缺陷，两人在1915年11月进行了通信。他们从彼此那里学到了多少很难衡量，但他们在几天之内各自发现了引力场方程的相同最终形式，这一事实必定表明他们的思想交流是有帮助的。
11月18日，他做出了一项发现，关于这项发现他写道For a few days I was beside myself with joyous excitement .。这个问题涉及水星近日点的进动。于尔班·勒维耶在1859年已经注意到，近日点（行星离太阳最近的点）每世纪进动38″，比根据其他原因所能解释的要多。人们提出了许多可能的解决方案：金星比人们以为的重10%，水星轨道内还有另一颗行星，太阳比观测到的更扁，水星有一颗卫星，以及——实际上唯一未被实验排除的——艾萨克·牛顿的平方反比定律不正确。最后这种可能性会用取代，其中，是某个非常小的数。到1882年，进动值被更精确地知道，为每世纪43″。从1911年起，阿尔伯特·爱因斯坦已经意识到天文观测对他的理论的重要性，并且他与埃尔温·芬莱-弗罗因德利希合作，进行确认广义相对论所需的水星轨道测量。埃尔温·芬莱-弗罗因德利希在1913年的一篇论文中确认了每世纪43″。阿尔伯特·爱因斯坦应用了他的引力理论，发现每世纪43″的进动可以被精确解释，无需假设不可见的卫星或任何其他特殊假说。当然，阿尔伯特·爱因斯坦11月18日的论文仍然没有正确的场方程，但这并不影响关于水星的特定计算。埃尔温·芬莱-弗罗因德利希尝试了基于引力红移的广义相对论的其他检验，但它们没有定论。
同样在11月18日的论文中，阿尔伯特·爱因斯坦发现他在1911年工作中光线偏折的数值差了一个因子2，应为1.74"。事实上，在多次测量偏折的尝试失败之后（由于云、战争、能力不足等），1919年两支英国远征队分别得到1.98" ± 0.30"和1.61" ± 0.30"，从而证实了阿尔伯特·爱因斯坦的预言。
11月25日，阿尔伯特·爱因斯坦提交了他的论文The field equations of gravitation，其中给出了广义相对论正确的场方程。光线偏折和近日点进动的计算仍与他一周前计算的一样。
在阿尔伯特·爱因斯坦提交他11月25日论文的五天前，大卫·希尔伯特提交了一篇论文The foundations of physics，其中也包含了正确的引力场方程。大卫·希尔伯特的论文包含了一些阿尔伯特·爱因斯坦工作中没有的、对相对论的重要贡献。大卫·希尔伯特将变分原理应用于引力，并把关于由此产生的恒等式的一个主要定理归功于1915年在哥廷根的埃米·诺特。该定理没有给出证明。大卫·希尔伯特的论文包含这样的希望：他的工作将导致引力与电磁学的统一。
事实上，埃米·诺特的定理于1918年在一篇她以自己名义撰写的论文中连同证明一起发表。该定理已成为理论物理学中的重要工具。埃米·诺特定理的一个特例由赫尔曼·外尔在1917年写下，当时他从中推导出一些恒等式，后来人们意识到这些恒等式曾由Ricci在1889年和路易吉·比安基（菲利克斯·克莱因的学生）在1902年独立发现。
在阿尔伯特·爱因斯坦1915年给出正确场方程的论文之后不久，卡尔·史瓦西于1916年找到了这些方程的一个数学解，对应于一个大质量致密天体的引力场。当时这纯粹是理论工作，但当然，关于中子星、脉冲星和黑洞的工作完全依赖于卡尔·史瓦西的解，并使得这部分成为当今天文学中最重要的研究方向之一。
阿尔伯特·爱因斯坦经过一条缓慢的道路，取得了进展，但途中也有许多错误，最终达到了广义相对论的最终版本。1915年12月，他这样评价自己
那位会士阿尔伯特·爱因斯坦只图自己方便。每年他都要撤回前一年写的东西。
阿尔伯特·爱因斯坦的大多数同事都无法理解为何论文接连不断地发表，每一篇都在修正、修改和扩展先前的工作。1915年12月，保罗·埃伦费斯特写信给亨德里克·洛伦兹，提到the theory of November 25, 1915。保罗·埃伦费斯特和亨德里克·洛伦兹就广义相对论通信了两个月，试图理解它。最终亨德里克·洛伦兹理解了该理论，并写信给保罗·埃伦费斯特说I have congratulated Einstein on his brilliant results . 保罗·埃伦费斯特回复道
你的评论“我已祝贺阿尔伯特·爱因斯坦取得了辉煌的成果”对我来说，其含义就如同一个共济会成员通过秘密手势认出另一个成员一样。
1916年3月，阿尔伯特·爱因斯坦完成了一篇用更易理解的术语解释广义相对论的文章。这篇文章广受好评，随后他又写了一篇关于相对论的文章，被广泛阅读，再版超过20次。
如今，相对论在许多领域发挥作用，宇宙学、大爆炸理论等，并且现在已通过实验以高精度得到检验。