数学史专题
毫无疑问，今天的数学极大地得益于印度数学家在数百年间做出的杰出贡献。相当令人惊讶的是，人们一直不愿承认这一点，人们不得不得出结论，许多著名的数学史家找到了他们期望找到的东西，或者甚至可能是他们希望找到的东西，而不是意识到就在他们眼前如此清晰的东西。
我们将在本文中考察印度数学的贡献，但在更详细地审视这一贡献之前，我们应当明确指出，所谓“巨大的恩惠”就是印度人发明的优美数系，数学发展的大部分都依赖于它。皮埃尔·西蒙·拉普拉斯对此说得非常清楚：
用一组十个符号（每个符号既有位值又有绝对值）来表示任何可能数字的巧妙方法出现在印度。这个想法在今天看来如此简单，以至于它的意义和深远重要性已不再被领会。它的简单性在于它便利了计算，并使算术位居有用发明之首。当人们考虑到它超越了古代两位最伟大的人物阿基米德和阿波罗尼奥斯时，这项发明的重要性就更容易被领会了。
我们将在本文后面简要考察印度对位值十进制数系的发展，并在另一篇文章印度数字中作稍为详细的讨论。不过，首先我们要回到印度数学发展的最早证据。
印度数学史过去常常从描述印度《绳法经》中包含的几何学开始，但对印度数学史的研究表明，这种几何学的要点更古老，包含在吠陀神话文本Shatapatha Brahmana和Taittiriya Samhita.中描述的祭坛建造中。此外，已经表明，印度的数学天文学研究至少可以追溯到公元前三千年，数学和几何学必定存在于这些古代时期以支持这项研究。
我们将在本文中描述的第一种数学发展于印度河流域。已知最早的印度城市文化于1921年在旁遮普的哈拉帕首次被确认，然后一年后在信德省印度河附近的摩亨佐-达罗被确认。这两个遗址现在都在巴基斯坦，但这仍然被我们的术语“印度数学”所涵盖，在本文中，它指的是在印度次大陆发展起来的数学。印度河文明（或有时被称为哈拉帕文明）以这两个城市以及一百多个小城镇和村庄为基础。这是一个大约始于公元前2500年并持续到公元前1700年或更晚的文明。人们识字，并使用一种包含约500个字符的书写文字，有些人声称已经破译了它，但情况远非清楚，在进行充分评估这个古代文明的数学成就之前，还有大量研究工作要做。
我们常常认为埃及人和巴比伦人在印度河流域文明时期代表了文明和数学技能的高峰，然而V G Childe在New Light on the Most Ancient East（1952年）中写道：
印度在公元前第三个千年就以其完全独特而独立的文明与埃及和巴比伦相抗衡，在技术上与其余文明并驾齐驱。而且显然，它深深植根于印度土壤之中。印度河流域文明代表着人类生活对特定环境的一种非常完美的适应。而且它延续了下来；它已经具有明确的印度特征，并构成了现代印度文化的基础。
我们确实知道，哈拉帕人采用了统一的度量衡制度。对所发现砝码的分析表明，它们属于两个系列，两者本质上都是十进制的，每个十进制数都乘以二并除以二，主要系列给出的比率为0.05、0.1、0.2、0.5、1、2、5、10、20、50、100、200和500。发掘过程中还发现了若干长度测量标尺。其中一种是以1.32英寸（3.35厘米）的测量单位为基础的十进制标尺，这被称为“印度英寸”。当然，十个单位就是13.2英寸，这作为“英尺”的度量是相当可信的。基于一英尺长度的类似度量存在于亚洲其他地区乃至更远的地方。另一种标尺是在发现一根以0.367英寸长度作标记的青铜杆时被发现的。这些标尺标记的精确程度确实令人惊讶。这种度量的100个单位是36.7英寸，这是一步的长度。对已发掘建筑遗址的测量表明，哈拉帕人在建筑中准确地使用了这些长度单位。
目前尚不清楚究竟是什么导致了哈拉帕文明的衰落。历史学家提出了四种可能的原因：气候模式的变化及随之而来的农业危机；气候灾难，如洪水或严重干旱；流行病传播的疾病；或来自北方的印度-雅利安人的入侵。过去最流行的理论是四种中的最后一种，但近来的观点倾向于前三种之一。可以肯定的是，来自北方的印度-雅利安人最终确实扩散到了该地区。这就把我们带到了印度文化最早的文学记录——《吠陀》，它们用吠陀梵语创作于公元前1500年至公元前800年之间。起初，这些由赞美诗、咒语和仪式观察组成的文本是口头传播的。后来，这些文本成为供实践吠陀宗教者使用的书面作品。
印度次大陆上接下来重要的数学与这些宗教文本有关。它包括印度《绳法经》，它们是《吠陀》的附录，给出了建造祭坛的规则。它们包含了相当多的几何知识，但数学的发展不是为了数学本身，而纯粹是为了实际的宗教目的。这些文本中包含的数学在关于印度《绳法经》的单独文章中有较为详细的研究。
主要的印度《绳法经》由Baudhayana（约公元前800年）、Manava（约公元前750年）、阿帕斯檀跋（约公元前600年）和Katyayana（约公元前200年）创作。这些人既是祭司也是学者，但他们不是现代意义上的数学家。尽管除了他们撰写的文本外，我们没有关于这些人的信息，但我们还是将他们纳入了数学家的传记中。还有另一位学者，同样不是通常意义上的数学家，生活在这一时期前后。那就是波你尼，他在梵语语法研究中取得了显著成果。现在人们可能会合理地问，梵语语法与数学有什么关系。它确实与现代理论计算机科学有关，因为研究形式语言理论的数学家或计算机科学家会认识到波你尼的某些思想有多么现代。
在印度《绳法经》时期结束之前，大约在公元前三世纪中叶，婆罗米数字已经开始出现。
插图：Indian_num_2.gif ↗
以下是婆罗米数字的一种样式：
这些是最早的数字，经过无数变化，最终发展成今天使用的数字1、2、3、4、5、6、7、8、9。数字和位值数制的发展在印度数字一文中研究。
随着其祭祀仪式的吠陀宗教开始衰落，其他宗教开始取代它。其中之一是耆那教，这是一种宗教和哲学，约在公元前6世纪创立于印度。尽管吠陀宗教衰落后至约公元500年阿耶波多时期之前，曾被认为是印度数学的黑暗时期，但近来它已被认为是许多数学思想得到考虑的时期。事实上，阿耶波多现在被认为既总结了耆那教的数学发展，又开启了下一阶段。
约公元前150年，耆那教数学的主要主题有：数论、算术运算、几何、分数运算、简单方程、三次方程、四次方程以及排列组合。更令人惊讶的是，耆那教徒发展了一种包含不同无穷层次的无穷理论，对指数的初步理解，以及一些以2为底的对数的概念。数学史家面临的难题之一是确定巴赫沙利手稿的成书年代。如果这确实是一部公元400年的著作，或者至少是当时原作的抄本，那么我们对耆那教数学成就的理解将大大加深。既然年代存在如此多的不确定性——这一主题在我们关于巴赫沙利手稿的文章中有充分讨论——那么我们就不应依据这份非凡文献中所包含的数学来改写耆那教时期的历史。
你可以在耆那教数学看到一篇关于耆那教数学的单独文章。
如果说吠陀宗教催生了对建造祭坛所需数学的研究，那么正是耆那教宇宙论引出了耆那教数学中的无穷观念。后来的数学进步往往由天文学研究驱动。或许更准确地说，占星术构成了驱动力，因为正是这门“科学”需要关于行星和其他天体的准确信息，从而促进了数学的发展。宗教在印度的天文研究中也发挥了重要作用，因为必须编制精确的历法，以便宗教仪式能在正确的时间举行。此后许多个世纪里，数学在印度仍然是一门应用科学，数学家们发展出解决实际问题的方法。
Yavanesvara在公元二世纪翻译了一部可追溯到公元前120年的希腊占星术文本，在普及占星术方面发挥了重要作用。如果他做的是逐字翻译，那么能否引起少数几个有学术兴趣的人之外更多人的兴趣是值得怀疑的。然而，他通过将整部作品重新置于印度文化之中，使用印度教形象，并将印度种姓制度融入文本，使这部作品得以普及。
大约在公元500年，印度数学的古典时代随着阿耶波多的工作而开始。他的工作既是对耆那教数学的总结，也是天文学和数学新时代的开端。他的天文学思想确实非凡。他用现代的食理论取代了罗睺二魔——造成月相的Dhruva Rahu和通过遮蔽月亮、太阳或其光线而造成食的Parva Rahu。他引入三角学以便基于希腊本轮理论进行天文计算，并求解了天文学理论中出现的整数解不定方程。
阿耶波多在印度次大陆东北部的拘苏摩补罗领导了一个数学和天文学研究中心。那里兴起了一个研究他思想的学派，但不仅如此，阿耶波多为此后许多世纪印度的数学和天文学研究设定了议程。另一个数学和天文学中心位于乌贾因，也在印度次大陆北部，与拘苏摩补罗大约同时兴起。这第二个中心最重要的数学家是伐罗诃密希罗，他也对天文学和三角学做出了重要贡献。
耆那教数学的主要思想，特别是那些与其宇宙论相关的、热衷于大的有限数和无穷数的思想，在诸如Yativrsabha等学者那里继续繁荣发展。他与伐罗诃密希罗是同时代人，也比阿耶波多稍晚。我们还应当注意到，拘苏摩补罗和邬阇衍那两个学派参与了数字和位值数系的持续发展。邬阇衍学派中下一个具有重大重要性的人物是公元七世纪初的婆罗摩笈多，他凭借在负数和零方面的杰出贡献，将对数系发展做出最重要的贡献之一。八百年后欧洲数学在没有负数和零的情况下仍将艰难应对，这是一个发人深省的想法。
这些当然不是婆罗摩笈多对数学的唯一贡献。远非如此，因为他在理解不定方程的整数解以及为帮助计算正弦表而发明的插值公式方面还做出了其他重大贡献。
这些数学家的贡献是如何由球面天文学方法的研究所促成的，在[25]中有所描述：-
印度天文学家没有解决球面天文学问题的一般方法，不像希腊人那样系统地遵循基于梅涅劳斯著名定理的克劳狄乌斯·托勒密方法。但是，通过在浑仪内进行适当的构造，他们能够将许多问题归结为相似直角三角形平面三角形的比较。除了这种手段，他们有时还使用二次方程理论，或应用逐次逼近法。……在阿耶波多所教授并由其注释者婆什迦罗第一所演示的方法中，有些基于相似直角三角形平面三角形的比较，另一些则来自推理。婆罗摩笈多可能是最早使用二次方程理论和逐次逼近法解决球面天文学问题的天文学家。
在继续描述古典时期的发展之前，我们应该解释使数学在这几个世纪里在印度蓬勃发展的机制。当时印度的教育制度不允许有才能的人接受数学或天文学的训练。相反，整个教育制度是以家庭为基础的。有许多家庭通过教育家庭中每一代新人掌握已经发展起来的技能，将占星术、天文学和数学的传统传承下去。我们还应该注意到，天文学和数学是独立发展的，与其他知识领域的发展相分离。
现在一个“数学家族”会有一个藏书室，其中包含前几代人的著作。这些著作很可能大多是对早期著作的评注，例如阿耶波多的Aryabhatiya。许多评注会是对评注的评注的评注等等。数学家常常对他们自己的著作写评注。他们的目标不是提供用于教育家族以外人士的文本，也不会在天文学中寻找创新思想。宗教再次成为关键，因为天文学被认为是神圣起源的，每个家族都会忠实于他们的神所呈现的该学科的启示。寻求根本性变革是不可想象的，因为要求他人接受这样的变革本质上就是要求他们改变宗教信仰。这些人似乎也没有以任何系统的方式进行天文观测。有些文本确实声称其中呈现的计算数据比其前辈的数据更符合观测，但尽管如此，似乎并没有设立重大的观测计划。十四世纪晚期的Paramesvara似乎是首批进行多年系统观测的印度数学家之一。
然而数学处于不同的位置。它只是用于进行天文计算的一种工具。如果一个人能够产生创新的数学思想，那么他就能更容易地展示天文学的真理。因此，数学必须得出与之前已经达到的相同答案，但如果它能更容易或更清晰地实现这些，那当然很好。这意味着，尽管数学只是作为天文学的计算工具使用，但杰出的印度学者受到其文化的鼓励，将他们的天才投入到这一主题的进步中。
与婆罗摩笈多同时代、领导邬阇衍研究中心的是婆什迦罗第一，他领导了阿湿摩迦学派。这个学派的主要关注点将是研究阿耶波多的著作，当然婆什迦罗第一是阿耶波多数学的评注者。在婆什迦罗第一之后100多年，生活着天文学家拉拉，他是阿耶波多的另一位评注者。
九世纪见证了数学的进步，学者如Govindasvami、摩诃吠罗、Prthudakasvami、Sankara和Sridhara。其中一些人，如Govindasvami和Sankara，是婆什迦罗第一文本的注释者，而摩诃吠罗则以更新婆罗摩笈多的著作而闻名。这一时期见证了正弦表、解方程、代数符号、二次方程、不定方程以及数系改进的发展。议程基本上仍由阿耶波多设定，所发展的主题也是他著作中的那些。
十世纪印度的主要数学家是Aryabhata II和Vijayanandi，他们都增进了对正弦表和三角学的理解，以支持他们的天文计算。十一世纪，Sripati和Brahmadeva是重要人物，但也许最杰出的是十二世纪的婆什迦罗第二。他研究代数、数系和天文学。他撰写了优美的文本，并用数学问题加以说明，其中一些问题我们在他的传记中呈现，他提供了古典时期数学和天文学的最佳总结。
婆什迦罗第二可以被视为印度数学的高峰，但曾有一段时间，这就是人们所知的全部[26]：-
For a long time Western scholars thought that Indians had not done any original work till the time of 婆什迦罗第二. This is far from the truth. Nor has the growth of Indian mathematics stopped with 婆什迦罗第二. Quite a few results of Indian mathematicians have been rediscovered by Europeans. For instance, the development of number theory, the theory of indeterminates infinite series expressions for sine, cosine and tangent, computational mathematics, etc.
继婆什迦罗第二之后，印度次大陆在200多年间没有出现任何其他重大数学贡献。事实上，长期以来人们认为婆什迦罗第二代表了印度次大陆数学发展的终结，直到近代。然而在14世纪下半叶，Mahendra Suri撰写了印度第一部关于星盘的论著，娜里亚纳的牛只撰写了关于婆什迦罗第二的重要评注，对代数和幻方做出了重要贡献。然而，这一时期最引人注目的贡献来自马达瓦，他在一些富有灵感的贡献中发明了布鲁克·泰勒级数和严格的数学分析。马达瓦来自喀拉拉，他在那里的工作激励了一个追随者学派，如尼拉卡莎·萨默亚士和耶斯特迪瓦。
喀拉拉数学家的某些非凡发现描述于[26]中。这些包括：黄道的公式；艾萨克·牛顿-卡尔·弗里德里希·高斯插值公式；无穷级数求和公式；Lhuilier的圆内接四边形外接圆半径公式。特别令人感兴趣的是对值的近似，这是首次使用级数做出的。马达瓦的结果给出了的级数，用现代数学语言表述为
这个公式，以及上面提到的其他几个公式，在几个世纪后被欧洲数学家重新发现。马达瓦还给出了的其他公式，其中一个导致近似值3.14159265359。
近代第一个意识到喀拉拉数学家比欧洲人早近300年预见了微积分某些结果的人是1835年的Charles Whish。Whish在Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland上的发表基本上未被数学史家注意到。直到100年后的20世纪40年代，数学史家才详细审视喀拉拉数学家的著作，并发现Whish提出的非凡主张基本上是正确的。例如参见[15]。的确，正如Whish所写，喀拉拉数学家：-
……为一个完整的流数体系奠定了基础……
以及这些著作：-
……充满了流数形式和级数，这些在任何外国著作中都找不到。
大约在这一时期，喀拉拉邦还有其他重大进展。⟦N1⟧是来自喀拉拉邦的十六世纪数学家，他给出了二十一种类型的两个代数方程组的整数解。这些类型是以下七种形式的方程的所有可能配对：
，以及。
对于每种情况，⟦N1⟧都给出了他的规则的说明和论证，以及一个例子。他的一些说明是代数的，而另一些是几何的。更多细节见[12]。
现在我们已经以一种不太可能的方式呈现了印度数学史的后半部分。在婆什迦罗第二的贡献和马达瓦的创新之间基本上没有进展，而马达瓦比任何其他印度数学家都更具创新性，产生了对数学的全新视角，这似乎不太可能。更可能的是，我们不知道这200年期间所做的贡献，而这些贡献必定为马达瓦建立他的理论提供了基础。
过去几十年来，我们对印度数学家贡献的理解发生了显著变化。要加深对那些作品不幸失传、或者更糟的是被忽视的数学家的贡献的理解，还需要做更多的工作。事实上，相关工作目前正在进行，我们很快就会对数学史这一重要部分有更好的理解。