印度《绳法经》The Indian Sulbasutras

吠陀人可能在大约公元前1500年从今天的伊朗地区进入印度。吠陀一词描述的是这些人的宗教，其名称来自他们称为吠陀的圣典集。这些文本可追溯至约公元前15世纪至公元前5世纪，用于献祭仪式，而献祭仪式是该宗教的主要特征。有一种仪式在祭坛上举行，在那里献祭食物，有时也献祭动物。吠陀包含在这些仪式中使用的诵词和吟唱。后来添加了称为梵书的散文，解释了这些文本在仪式中应如何使用。它们还讲述了献祭仪式本身的起源和重要性。

绳法经是吠陀的附录，给出了建造祭坛的规则。如果献祭仪式要成功，那么祭坛就必须符合非常精确的尺寸。人们向他们的神献祭，以便神可能满意，并赐予人们充足的食物、好运、健康、长寿以及许多其他物质利益。为了让神满意，一切都必须按照非常精确的程式进行，因此数学上的精确性被视为至关重要。我们还应注意，献祭仪式有两种类型，一种是大型公共集会，另一种是小型家庭事务。这两种不同类型的仪式需要不同类型的祭坛。

关于吠陀数学所知的一切都包含在绳法经中。这本身就给我们带来一个问题，因为我们不知道这些人是否像例如古希腊人那样为了数学本身而进行数学研究，还是他们只是为了解决宗教仪式所必需的问题而研究数学。一些历史学家认为，数学，特别是几何学，必定也已经存在，以支持大约同一时期正在进行的天文工作。

当然，绳法经不包含它们所描述规则的任何证明。有些规则是精确的，例如构造一个面积等于给定矩形的正方形的方法。另一些则是近似的，例如构造一个面积等于给定圆的正方形。我们将在下面考察这两个例子，但这里我们想指出的重点是，绳法经对二者不作区分。绳法经的作者们知道哪些方法是精确的，哪些方法是近似的吗？

绳法经是由一位抄写者写成的，尽管他不是那种仅仅复制现有文献的抄写者，而是投入了相当多内容的人，所有数学结果可能都归功于这些抄写者。除了他们的名字和大致的生活时期外，我们对撰写绳法经的人一无所知。像许多古代数学家一样，我们对他们的唯一了解就是他们的著作。这些文献中最重要的是约公元前800年写成的Baudhayana绳法经和约公元前600年写成的阿帕斯檀跋绳法经。数学史家还研究并撰写了关于其他较不重要的绳法经的内容，例如约公元前750年写成的Manava绳法经和约公元前200年写成的Katyayana绳法经。

现在让我们考察《绳法经》中包含的一些数学内容。作者们明确知晓的第一个结果就是毕达哥拉斯定理。Baudhayana《绳法经》只明确给出了该定理的一个特例：

拉在正方形对角线上的绳子所产生的面积是原正方形面积的两倍。

然而，Katyayana《绳法经》给出了一个更一般的版本：

拉在矩形对角线上的绳子所产生的面积等于其竖直边和水平边共同构成的面积。

插图：Sulbasutras_1.gif ↗
右图说明了这一结果。

这里要注意，结果是用“绳”来表述的。事实上，虽然绳法经最初指管理宗教仪式的规则，但经后来指用于测量祭坛的绳。在思考毕达哥拉斯定理的明确表述时，我们应当注意，由于它被频繁使用，《绳法经》中有许多毕达哥拉斯三元组的例子。例如(5, 12, 13)、(12, 16, 20)、(8, 15, 17)、(15, 20, 25)、(12, 35, 37)、(15, 36, 39)、($\large\frac{5}{2}\normalsize$, 6, $\large\frac{13}{2}\normalsize$)和($\large\frac{15}{2}\normalsize$, 10, $\large\frac{25}{2}\normalsize$)都出现了。

现在，《绳法经》实际上是正方形、圆形、矩形等几何形状的构造手册，我们用一些例子来说明这一点。
插图：Sulbasutras_2.gif ↗
我们考察的第一个构造出现在大多数不同的《绳法经》中。它是一个基于毕达哥拉斯定理的构造，用于作出一个面积等于两个给定不等正方形面积之和的正方形。
考虑右图。

$ABCD$和$PQRS$是两个给定的正方形。在$PQ$上标出一点$X$，使得$PX$等于$AB$。那么以$SX$为边的正方形面积等于正方形$ABCD$与$PQRS$的面积之和。这由毕达哥拉斯的定理推出，因为$SX^{2} = PX^{2} + PS^{2}$。

插图：Sulbasutras_3.gif ↗
接下来我们考察的作图是求一个与给定矩形面积相等的正方形。我们给出Baudhayana Sulbasutra中出现的版本。

考虑右图。

给定矩形$ABCD$。在$AD$上标出$L$，使得$AL = AB$。然后完成正方形$ABML$。现在在$X$处平分$LD$，并用直线$XY$将矩形$LMCD$分成两个相等的矩形。现在将矩形$XYCD$移到位置$MBQN$。完成正方形$AQPX$。

现在我们刚刚作出的正方形并不是我们所需要的，还需要再做一点工作才能完成。将$PQ$绕$Q$旋转，使其在$R$处与$BY$相切。于是$QP = QR$，我们看到这是一个理想的“绳”作图。现在作$RE$平行于$YP$，并补全正方形$QEFG$。这就是与给定矩形$ABCD$面积相等的所需正方形。

Baudhayana Sulbasutra没有给出这一结果（或任何其他结果）的证明，但我们可以利用毕达哥拉斯的定理看出它是正确的。

$EQ^{2} = QR^{2} - RE^{2}\newline = QP^{2} - YP^{2}\newline = ABYX + BQNM\newline = ABYX + XYCD\newline = ABCD.$

插图：Sulbasutras_5.gif ↗ 所有 Sulbasutra 都包含化圆为方的方法。这是一种近似方法，基于作一个边长为给定圆直径的$\large\frac{13}{15}\normalsize$倍的正方形，如右图所示。这相当于取$\pi = 4 \times (\large\frac{13}{15}\normalsize )^{2} = \large\frac{676}{225}\normalsize = 3.00444$，所以这不是一个很好的近似，当然也不如巴比伦人早先所知道的那么好。

值得注意的是，Sulbasutra 中出现了许多不同的 π 值，甚至同一文本中就有好几个不同的值。这并不奇怪，因为每当给出一个近似作图时，就隐含了某个 π 值。作者们考虑的是近似作图，而不是带有 π 的精确作图而只对其取近似值。例如在Baudhayana Sulbasutra 中，除了$\large\frac{676}{225}\normalsize$的值外，还出现了$\large\frac{900}{289}\normalsize$和$\large\frac{1156}{361}\normalsize$。在不同的 Sulbasutra 中可以找到 2.99、3.00、3.004、3.029、3.047、3.088、3.1141、3.16049 和 3.2022 这些值；见[6]。在[3]中，Manava Sulbasutra 中出现了值$\pi = \large\frac{25}{8}\normalsize = 3.125$。

在9中，除了考察阿帕斯檀跋所给出的化圆为方问题外，作者们还考察了同一部《绳法经》中出现的将线段分成七等份的问题。
插图：Sulbasutras_6.gif ↗
《绳法经》还考察了求一个与给定正方形面积相等的圆这一反问题。
考虑右图。
其中出现了如下作图。给定一个正方形$ABCD$，找出中心$O$。将$OD$旋转到位置$OE$，使得$OE$经过正方形$DC$一边的中点$P$。设$Q$为$PE$上的点，使得$PQ$是$PE$的三分之一。所求圆的圆心为$O$，半径为$OQ$。

同样，值得计算一下这隐含了π的什么值，以便感受该作图有多精确。现在，如果正方形的边长为$2a$，那么圆的半径为$r$，其中

$r = OE - EQ\newline = √2a - \large\frac{2}{3}\normalsize (√2a - a)\newline = a (\large\frac{√2}{3}\normalsize + \large\frac{2}{3}\normalsize ).$

于是$4a ^{2} = \pi a^{2} (\large\frac{√2}{3}\normalsize + \large\frac{2}{3}\normalsize )^{2}$

这给出$\pi = \large\frac {36}{(√2+2)^2}\normalsize = 3.088$。

作为对 Sulbasutra 数学的最后一次考察，我们来看也许是最引人注目的内容。阿帕斯檀跋 Sulbasutra 和Katyayana Sulbasutra 都给出了对$√2$的如下近似：-

将单位长度增加其三分之一，再将该三分之一增加其自身的四分之一，减去该四分之一的三十四分之一。

现在这给出

$√2 = 1 + \large\frac{1}{3}\normalsize + \large\frac{1}{3\times 4}\normalsize - \large\frac{1}{3\times 4\times 34}\normalsize = \large\frac{577}{408}\normalsize$

即精确到九位为1.414215686。与正确值√2 = 1.414213562比较可知，阿帕斯檀跋《绳法经》的答案精确到小数点后五位。当然，没有给出任何迹象说明《绳法经》的作者是如何得到这一非凡结果的。Datta在1932年提出了一个巧妙的建议，说明这一近似值可能是如何得到的。

插图：Sulbasutras_4.gif ↗
在1中，Datta考虑了与右图类似的图。

这一作图最可能的原因是建造一个规模为已建祭坛两倍的祭坛。Datta 的建议是取两个正方形，将第二个正方形切开并围绕第一个正方形拼装，得到一个规模为两倍的正方形，从而边长为$√2$。第二个正方形被切成三条相等的条带，条带 1 和 2 按图中所示放置在第一个正方形周围。第三条带从顶部切下一个正方形并放在位置 3。我们现在有了一个新正方形，但第二个正方形还有一些剩余，仍需围绕第一个正方形拼装。

将剩余部分（三分之二条带）切成八条相等的条带，按图中所示排列在我们正在构造的正方形周围。我们现在已经用完了第二个正方形的所有部分，但我们构造出的新图形并不完全是一个正方形，缺了一个小正方形角。值得看看这个“不完全的正方形”的边长是多少。它是

$1 + \large\frac{1}{3}\normalsize + \large\frac{1}{3\times 4}\normalsize$

当然，这是近似的前三项。现在Datta在[1]中论证说，为了改进“不完全是正方形”的情况，Sulbasutra的作者们本可以计算出需要从左侧和底部切下多宽的条带来填补面积为$(\large\frac{1}{12}\normalsize )^{2}$的缺失部分。如果$x$是切下的宽度，那么

$2 \times x \times (1 + \large\frac{1}{3}\normalsize + \large\frac{1}{12}\normalsize ) = (\large\frac{1}{12}\normalsize )^{2}$。

其解为$x = \large\frac{1}{3\times 4\times 34}\normalsize$，约等于0.002450980392。我们现在得到一个正方形，其边长为

$1 + \large\frac{1}{3}\normalsize + \large\frac{1}{3\times 4}\normalsize - \large\frac{1}{3\times 4\times 34}\normalsize$

这恰好是阿帕斯檀跋 Sulbasutra给出的近似值。

当然，我们仍然做了一个近似，因为我们切下的两条宽度为$x$的条带在左下角重叠了一个边长为$x$的正方形。如果我们考虑到这一点，就会得到方程

$2 \times x \times (1 + \large\frac{1}{3}\normalsize + \large\frac{1}{12}\normalsize ) - x^{2} = (\large\frac{1}{12}\normalsize )^{2}$

关于$x$，这导致$x = \large\frac{17}{12}\normalsize - √2$，约等于0.002453105。当然，我们不能走这条路，因为我们已经回到了一个涉及√2的$x$值，而√2正是我们试图近似的量！

在4中，Gupta给出了一种比Datta在1中给出的更简单的方法来获得$√2$的近似值。他使用线性插值来获得前两项，然后校正这两项从而得到第三项，再校正这三项从而得到第四项。尽管Gupta给出的方法更简单（而且是一项有趣的贡献），但Datta的论证中确实有某种吸引人的东西，并且不知何故让人感觉这符合Sulbasutras的精神。

当然，这些数学家所使用的方法对于理解公元前一千年中叶印度所产生的数学的深度非常重要。如果我们遵循一些历史学家的建议，即Sulbasutras的作者仅仅是在抄写巴比伦人已经知道的近似值，那么我们可能会得出结论：这一时期的印度数学远不如我们遵循Datta的建议时所以为的那样先进。