数学史专题
值得以皮埃尔·西蒙·拉普拉斯中的同一段引文开始本文，我们在文章印度数学概述中给出了这段引文。皮埃尔·西蒙·拉普拉斯写道：-
用一组十个符号（每个符号既有位值又有绝对值）来表示任何可能数字的巧妙方法出现在印度。这个想法在今天看来如此简单，以至于它的意义和深远重要性已不再被领会。它的简单性在于它便利了计算，并使算术位居有用发明之首。当人们考虑到它超越了古代两位最伟大的人物阿基米德和阿波罗尼奥斯时，这项发明的重要性就更容易被领会了。
本文的目的是尝试完成一项困难的任务，即试图描述印度人是如何发展出这一巧妙系统的。在本文中，我们将考察印度数字系统的两个不同方面。首先，我们将考察数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9演变成我们今天所认识的形式的方式。当然，重要的是要认识到，这些数字仍然没有标准的书写方式。这台计算机上的不同字体可以产生这些数字的许多形式，尽管可以辨认，但彼此之间差异显著。许多手写版本甚至难以辨认。
我们在此想要考察的印度数系的第二个方面是位值制，正如皮埃尔·西蒙·拉普拉斯在我们于本文开头所给出的引文中所评论的那样，它似乎“如此简单，以至于其意义和深远的重要性已不再受到重视”。我们还应当注意到一个对这两个方面都很重要的事实，即印度数系几乎完全是十进制，这与巴比伦的六十进制系统相对。
从数字本身开始，我们当然知道，今天的符号在欧洲于15世纪形成了接近其目前所具有的形式。正是印刷术的出现推动了符号的标准化。然而，我们不能忘记，今天许多国家使用的符号与0、1、2、3、4、5、6、7、8、9相当不同，除非一个人学会了这些符号，否则它们完全无法辨认，就像希腊字母对于不熟悉它的人一样。
我们关于印度数字的重要信息来源之一来自比鲁尼。在1020年代，比鲁尼多次访问印度。在他去那里之前，比鲁尼已经从一些梵文文本的阿拉伯语翻译中了解了印度天文学和数学。在印度，他对印度哲学进行了详细研究，还研究了印度科学和数学的几个分支。比鲁尼写了27部关于印度和印度科学不同领域的著作。特别是他对印度天文学和数学的记述，是对印度科学史研究的宝贵贡献。在约1030年写的一本著名书中，他提到印度数字时写道：
当我们用字母按其数值进行计算时，印度人根本不用字母进行算术运算。正如他们用于书写的字母形状在其国家的不同地区有所不同一样，数字符号也各不相同。
问一问比鲁尼所见的各种数字符号源自何处是合理的。历史学家将它们全部追溯到大约公元前三世纪中叶出现的婆罗米数字。不过，这些婆罗米数字并不只是1到9这些数字的符号。情况要复杂得多，因为它不是位值制，所以有更多数字的符号。此外，2和3没有专门的符号，这两个数字都是由1的符号构造出来的。
插图：Indian_num_1.gif ↗
这里是婆罗米数字的一、二、三：
婆罗米数字有单独的符号表示4、5、6、7、8、9，但也有表示10、100、1000、……以及20、30、40、……、90和200、300、400、……、900的符号。
婆罗米数字已在浦那、孟买和北方邦附近地区的洞穴铭文和钱币上被发现。对这些数字进行断代告诉我们，它们被使用了相当长的时间跨度，直到公元4世纪。当然，不同的铭文在符号风格上有些差异。
插图：Indian_num_2.gif ↗
以下是婆罗米数字的一种样式：
我们现在应当从婆罗米数字的出现向前看，也向后看。向前看会引出许多不同形式的数字，但我们只选择考察那条通向今日符号的路径。不过，首先我们来看若干关于婆罗米数字起源的不同理论。
理解1、2和3的符号没有问题。然而，4、……、9的符号在我们看来与它们所表示的数没有明显联系。多年来，历史学家就这些数字的起源提出了相当多的理论。在1中，Ifrah列出了若干已提出的假说。
基本上这些假说分为两类。一类是数字以类似于希腊数字的方式来自字母表，希腊数字是数字名称的首字母。第二类假说是它们源自与罗马数字大体相同类型的更早的数字系统。例如，假说2中的阿拉米数字基于I（一）和X（四）：
I, II, III, X, IX, IIX, IIIX, XX。
⟦N1⟧逐一考察了这六种假说并否定了它们，尽管人们不得不说，在某些情况下，这更多是由于缺乏正面证据，而不是因为有反面证据。
⟦N1⟧在1中提出了他自己的理论，即：-
……最初的九个婆罗米数字构成了一种古老本土数字记法的遗存，其中九个数字由相应数目的竖线表示……为了使数字能够快速书写，以节省时间，这些线组以与古埃及法老时期数字大致相同的方式演变。考虑到印度几个世纪以来书写所用的材料种类（树皮或棕榈叶）以及书写工具（芦苇笔或毛笔）的局限，数字的形状随着大量连笔变得越来越复杂，直到数字与最初的原型不再有任何相似之处。
这是一个很好的理论，而且确实可能是真的，但似乎绝对没有支持它的正面证据。这个想法是它们从以下演化而来：
人们可能希望有证据，比如在这条演化路径的某处发现数字。然而，看来我们永远找不到关于婆罗米数字起源的令人信服的证据。
插图：Indian_num_3.gif ↗
如果我们考察从婆罗米数字通向我们现在符号的路线（并忽略从婆罗米数字演化出的许多其他系统），那么接下来就到了笈多符号。笈多时期是笈多王朝统治印度东北部摩揭陀国的时期，从公元4世纪初到公元6世纪末。笈多数字从婆罗米数字发展而来，并随着笈多帝国征服领土而传播到广大地区。
插图：Indian_num_4.gif ↗
笈多数字演变为纳加里数字，有时称为天城体数字。这种形式从公元7世纪左右开始由笈多数字演变而来，并从11世纪起继续发展。这个名字的字面意思是“诸神的书写”，它被认为是所有演变形式中最美的。例如比鲁尼写道：-
我们[阿拉伯人]用于数字的，是印度最好、最规则的一些图形。
比鲁尼所指的这些“最规则的图形”是纳加里数字，到他那个时代已经传入阿拉伯世界。印度数字在7至16世纪间传播到世界其他地区的方式在[7]中有详细考察。然而，在这篇论文中，Gupta声称印度数字在5世纪末已到达南欧，但他的论证基于波爱修斯的Geometry，而该文献现在已知是11世纪上半叶的伪造品。印度数字像Gupta所暗示的那样早到达欧洲，看来极不可能。
现在我们转向本文想要考察的印度数字系统的第二个方面，即它是一个位值制系统，数字根据其相对于其他数字的位置代表不同的值。尽管我们的位值制系统是印度系统的直接后裔，但我们应当立即注意到，印度人并不是最早发展出这种系统的。巴比伦人早在公元前19世纪就有了位值制系统，但巴比伦系统是六十进制的。印度人是最早发展出十进制位值制系统的，考虑到巴比伦系统的年代，它确实出现得很晚。
现存最古老的、包含以今天所用位值形式书写的数字的印度文献，是一份日期为Chhedi历346年的法律文书，换算成我们日历中的日期为公元594年。这份文书是Bharukachcha地区Sankheda的Dadda三世的赠地特许状。唯一的问题是，一些历史学家声称该日期是后来伪造添加的。尽管这类特许状后来被修改，以便让并非合法所有者的人能够主张其中提到的财产，这种情况并不罕见，但似乎没有可以设想的理由去伪造这份文书上的日期。因此，尽管存在疑问，我们可以相当确定，这份文书提供了证据，表明到6世纪末位值制已在印度使用。
还发现了许多其他特许状，它们有日期，并在日期或文本中其他某些数字上使用了位值制。这些包括：
所有这些都被一些历史学家称为伪造，但其中一些，或全部，很可能是真实的。
第一份带有日期且没有争议的铭文是Gwalior铭文，日期为Vikrama历933年，换算成我们日历中的日期为公元876年。这份铭文的更多细节见零的历史。
有间接证据表明，印度人早在公元1世纪就发展出了位值制数字系统。证据来自铭文，这些铭文虽然不在印度，但发现于正在吸收印度文化的国家。另一个来源是巴赫沙利手稿，其中包含以位值记法书写的数字。这里的问题在于这份手稿的年代，这个主题在我们关于巴赫沙利手稿的文章中详细考察。
当然，我们还要问，为什么印度人发展出了如此巧妙的数字系统，而例如古希腊人却没有。关于这个问题已经提出了若干理论。一些历史学家认为，巴比伦的60进制位值制是通过希腊人传给印度人的。我们在零的历史中评论过希腊天文学家使用巴比伦60进制位值制，并用一个类似于我们零的符号o。这里的理论是，这些观念被传给印度人，印度人随后将其与他们在印度早已存在的自己的10进制数字系统结合起来。
第二种假说是，印度数系中位值制的想法来自中国。特别是，中国人有伪位置制的算筹，有人声称，这种算筹成为印度位置制的基础。这一观点由例如 Lay Yong Lam 提出；例如见[8]。Lam 论证说，中国体系已经包含了他所称的：-
……我们的数字记数系统的三个本质特征：(i) 九个符号和零的概念，(ii) 位值制，以及 (iii) 十进制底。
第三种假说由 Joseph 在[2]中提出。他的想法是，印度数系中的位值制完全是印度人发展出来的。他有一个有趣的理论，说明为什么印度人可能被推向这样一种想法。Joseph 相信，原因在于印度人对大数的迷恋。汉斯·弗洛伊登萨是另一位数学史家，他支持这一想法完全来自印度内部的理论。
为了清楚地看到这种早期印度人对大数的迷恋，我们可以看看Lalitavistara，它是对乔达摩佛陀生平的记述。这部著作很难确定年代，因为它在很长时期内经历了持续的发展，但把它定在公元一世纪或二世纪左右是合理的。在Lalitavistara中，乔达摩年轻时接受数学考试。他被要求说出超过一俱胝（即）的所有数值等级。他列出了 10 的幂，直到。把这当作第一层，他接着进入第二层，最终达到。乔达摩的考官说：-
你，而不是我，才是数学大师。
正是诸如此类的故事，以及许多类似的故事，使 Joseph 相信，印度人对大数的迷恋必定驱使他们发明了一种能轻易表示这类数的系统，即位置制记数法。他在[2]中写道：-
这类大数的早期使用最终导致人们采用一系列名称来表示10的连续幂。这些数名的重要性怎么强调都不为过。后来被字母记数法取代的词记数系统，是以十的倍数进行运算的合乎逻辑的结果。……当十进制的进位制与从左到右或从右到左排列的数的位值相关联时，十进制位值制就发展起来了。而这恰恰发生在印度……
然而，Lalitavistara中的同一个故事使Kaplan（见[3]）相信，印度人的数概念来自希腊人，因为对他来说，这个故事是阿基米德的Sand-reckoner.的印度版本。我们所知道的只是，印度人的位值制，无论它是如何产生的，都传给了阿拉伯人，后来又传入欧洲，用皮埃尔·西蒙·拉普拉斯的话来说，对数学的发展产生了profound importance。