巴赫沙利手稿The Bakhshali manuscript

⟦E1⟧是一部早期的数学手稿，于100多年前被发现。我们稍后将讨论这部手稿的断代问题，这是一个引起很多争议的话题，但目前我们将考察它是如何被发现的。论文[8]描述了这一发现以及手稿的早期历史。Gupta写道：-

⟦E1⟧是写在桦树皮上的数学著作的名称，于1881年夏天在白沙瓦地区（今属巴基斯坦）优素福扎伊分区的Bakhshali（或Bakhshalai）村附近被发现。该村位于Mardan tahsil，距白沙瓦市50英里。

一位名叫Mian An-Wan-Udin的警官（他的佃户实际上是在一个废墟中挖石头围墙时发现了这部手稿）将这部著作带给了Mardan的助理专员，后者打算将手稿转交给拉合尔博物馆。然而，它随后被送给了旁遮普副总督，后者根据A Cunningham将军的建议，指示将其转交给加尔各答马德拉萨的Rudolf Hoernle博士进行研究和出版。Hoernle博士于1882年在孟加拉亚洲学会上介绍了⟦E1⟧的描述，并于1883年发表在Indian Antiquary上。他在1886年于维也纳举行的第七届东方学会议上给出了更完整的叙述，并发表在其会议录中。这篇论文的修订版出现在1888年的Indian Antiquary上。1902年，他将⟦E1⟧赠送给牛津大学博德利图书馆，至今仍保存在那里（书架号：MS. Sansk. d. 14）。

手稿的大部分已被毁坏，只有大约70张桦树皮叶留存到发现之时，其中一些只是碎片。

为了展示关于其年代的争论，我们注意到上文引述中提到的F R Hoernle将⟦E1⟧定在公元三世纪到四世纪之间。许多其他数学史家，如莫里兹·贝内迪克特·康托尔、弗洛里安·卡乔里、B Datta、S N Sen、A K Bag和R C Gupta都同意这一年代测定。1927-1933年间，G R Kaye编辑了⟦E1⟧，并出版了带有全面导论、英文翻译、转写以及文本影印本的版本。Kaye声称手稿的年代为公元十二世纪，他甚至怀疑它并非源自印度。

Channabasappa在6中给出公元200-400年作为最可能的年代。在5中，同一作者识别出五个特定的数学术语，这些术语未出现在阿耶波多的著作中，他论证这强烈支持⟦E1⟧的年代早于5世纪。Joseph在3中提出，所有证据都指向：-

……该手稿可能是基督教纪元最初几个世纪中某个时期所撰写文献的后期抄本。

L V Gurjar在1中声称该手稿不晚于公元300年。另一方面，T Hayashi在2中声称原作的年代可能出自7世纪，但他也声称手稿本身是后期抄本，制作于公元8世纪至12世纪之间。

我[EFR]觉得，如果权衡这些专家的所有证据，最可能的结论是手稿是约公元400年首次创作的一部作品的后期抄本。为什么我相信实际手稿是后来写成的？嗯，我们目前对印度数字和书写的理解会将手稿中使用的数字定为不早于九世纪或十世纪才出现。要接受这种数字风格存在于公元400年，将迫使我们极大地改变关于印度数字发展时间尺度的整个概念。当然，有时我们被迫进行重大反思，但在没有支持证据的情况下，一切都指向手稿是约公元400年原作的十世纪抄本。尽管Kaye有主张，但基本上可以肯定手稿是印度的。

⟦E1⟧定年为公元400年的吸引力在于，这将其置于印度数学“古典时期”之前，该时期始于约500年阿耶波多的工作。这样它就能填补我们对印度数学的知识空白，因为在这份手稿发现之前，我们对约公元前200年到公元500年之间的印度数学知之甚少。这个年代将使其成为耆那教数学时期末期的一份文献，并且可以在某种意义上被视为标志着耆那教徒的成就。

该手稿包含什么内容？Joseph在3中写道：-

⟦E1⟧是一部规则与示例手册，附有解答。它主要涉及算术与代数，仅有少数几何与测量问题。其中只有部分内容被复原，因此我们无法确定不同主题之间的比重。

如今，该手稿的编排方式对于印度文献而言相当不寻常（这自然导致像Kaye这样的人更倾向于它根本不是印度文献的假设——我们认为这一想法毫无价值）。⟦E1⟧给出规则的陈述。接着是一个示例，先以文字给出，然后使用数学符号。随后给出该示例的解答，最后列出证明。

所用的记法并非不像阿耶波多所用的，但它确实具有其他任何文献中都没有的特征。分数的记法与今天所用的并无不同，都是一个数写在另一个数下面。然而，与今天我们所写的方式不同，数字之间没有线。另一个不寻常的特征是数字后面加上+号表示负数。今天我们看到加号被用来表示减法，会感到非常奇怪。作为一个例子，下面是$\large\frac{3}{4}\normalsize - \large\frac{1}{2}\normalsize$的写法。
插图：Bakhshali_1.gif ↗

3 /4 减 1 /2

带分数写成三行。因此1加1/3会这样写
插图：Bakhshali_2.gif ↗

1 加 1 /3

而1减1/3 = 2/3则按以下方式写
插图：Bakhshali_3.gif ↗

1 减 1 /3 = 2 /3

像5/1加2/1这样的分数之和，用符号yu（表示yuta）来写
插图：Bakhshali_4.gif ↗

5 /1 加 2 /1

除法用 bha 表示，是 bhaga 的缩写，意为“部分”。例如
插图：Bakhshali_5.gif ↗

8 除以 2 /3

方程用一个表示未知数的大点给出。印度数学中一个令人困惑的方面是，这种记号也常被用来表示零，有时在同一份文献中，零和未知数都使用这同一种记号。下面是《巴赫沙利手稿》中出现的一个方程的例子。
插图：Bakhshali_6.gif ↗

方程

均分法出现在手稿中许多类型的问题里。手稿中发现的这类问题在9中得到了考察，其中一些问题导致不定方程。其中包括关于均分财富、两个旅行者的位置、工资以及若干商人购买物品的问题。这些问题都可以归结为求解一个含一个未知数的线性方程或一个含n个未知数的n个线性方程组。为说明起见，我们给出以下不定问题，当然它没有唯一解：-

一个人拥有七匹asava马，另一个人拥有九匹haya马，还有一个人拥有十头骆驼。每人给出两头动物，各给另外两人一头。然后他们拥有相等的财产。求每种动物的价格以及每个人所拥有动物的总价值。

其解法，翻译成现代记号，如下进行。我们寻求整数解$x_{1}, x_{2}, x_{3}$和$k$（其中$x_{1}$是一匹asava的价格，$x_{2}$是一匹haya的价格，$x_{3}$是一匹马的价格）满足

$5 x_{1} + x_{2} + x_{3} = x_{1} + 7 x_{2}+ x_{3} = x_{1} + x_{2} + 8 x_{3} = k$。

然后$4 x_{1} = 6 x_{2} = 7 x_{3} = k - (x_{1} + x_{2} + x_{3})$。

对于整数解，$k - (x_{1} + x_{2} + x_{3})$ 必须是 4、6 和 7 的最小公倍数的倍数。这就是问题的不定性，取最小公倍数的不同倍数会得到不同的解。⟦L1⟧取 $k - (x_{1} + x_{2} + x_{3}) = 168$（即 4 × 6 × 7），得到 $x_{1} = 42, x_{2} = 28, x_{3} = 24$。那么 $k = 262$ 就是每个人所拥有牲畜的总价值。这不是最小的整数解，最小的整数解会是 $k = 131$。

如果我们使用现代方法，我们会解这个三元方程组，用$k$表示$x_{1}, x_{2}, x_{3}$，得到

$x_{1} = 21k/131, x_{2} = 14k/131, x_{3} = 12k/131$

因此我们通过取$k = 131$得到整数解，这是最小的解。这个解没有在Bakhshali手稿中给出，但手稿的作者如果取$k - (x_{1} + x_{2} + x_{3})$ = lcm(4, 6, 7) = 84，就会得到这个解。

这里还有另一个取自该手稿的等量问题，它有唯一解：-

两个侍童是国王的侍从。一人每天得到$\large\frac{13}{6}\normalsize$第纳尔，另一人得到$\large\frac{3}{2}\normalsize$。第一个欠第二个10第纳尔。计算并告诉我他们何时有相等的金额。

现在我会这样解：第一个每天比第二个多得到$\large\frac{13}{6}\normalsize - \large\frac{3}{2}\normalsize = \large\frac{2}{3}\normalsize$第纳尔。他需要比第二个多20第纳尔，才能还回他的10第纳尔债务并使他们有相等的金额。所以需要30天，此时每人有$13 \times \large\frac{30}{6}\normalsize - 10 = 55$第纳尔。这不是⟦E1⟧的方法，它使用“三率法”。

三率法是解决这类问题的常见方法：如果一个人在8天内赚50第纳尔，那么他在12天内会赚多少。⟦E1⟧描述了该规则，其中三个数字写作

8 50 12

8是“pramana”，50是“phala”，12是“iccha”。根据⟦E1⟧，该规则给出的答案是

phala × iccha/pramana

或者在例子$50 \times \large\frac{12}{8}\normalsize = 75$第纳尔的情况下。

将此应用于侍童问题，我们得到侍童们在$n$天后拥有相等的金额，其中

$13 \times \large\frac{n}{6}\normalsize = 3 \times \large\frac{n}{2}\normalsize +20$

所以$n = 30$，且每人有$13 \times \large\frac{30}{6}\normalsize - 10 = 55$第纳尔。

手稿中另一段有趣的数学内容涉及计算平方根。使用了以下公式

$√Q = √(A^{2} + b) = A + b/2A - (b/2A)^{2}/(2(A + b/2A))$

手稿中对此陈述如下：-

对于非平方数，减去最接近的平方数，将余数除以该最接近平方数的两倍；将此平方的一半除以近似根与分数之和。将其减去，便得到修正后的根。

取$Q = 41$，然后$A = 6, b = 5$，我们得到 6.403138528 作为 √41 = 6.403124237 的近似值。因此我们看到，Bakhshali 公式给出的结果精确到小数点后四位。

Bakhshali手稿还使用该公式计算√105，给出10.24695122作为√105 = 10.24695077的近似值。这次Bakhshali公式给出的结果精确到小数点后五位。

以下例子也出现在 Bakhshali 手稿中，作者应用该公式来获得近似平方根：

√487
巴赫沙利公式给出 22.068076490965
正确答案是 22.068076490713
这里有 9 位小数正确

√889
Bakhshali公式给出29.816105242176
正确答案是29.8161030317511
此处有5位小数正确

[注：如果我们取$889 = 30^{2} - 11$而不是$29^{2} + 48$，我们将得到
Bakhshali公式给出29.816103037078
正确答案是29.8161030317511
此处有8位小数正确]

√339009
巴赫沙利公式给出 582.2447938796899
正确答案是 582.2447938796876
这里有 11 位小数正确

有趣的是，Channabasappa [6] 从 Bakhshali 平方根公式推导出了一种逼近平方根的迭代方案。他在 [7] 中发现，在将 √41 计算到十位小数时，它比 艾萨克·牛顿 的方法快 38%。