耆那教数学Jaina mathematics

给耆那教数学下定义有点困难。耆那教是一种宗教和哲学，大约在公元前6世纪创立于印度。在某种程度上，它开始取代吠陀宗教，后者以其献祭程序催生了建造祭坛的数学。吠陀宗教的数学在印度《绳法经》一文中有所描述。

现在我们可以用耆那教数学这一术语来描述那些遵循耆那教的人所做的数学，而这样一来，它指的就是从耆那教创立直到现代在印度次大陆上所做的一部分数学。这确实是合理的，参考文献中的一些文章涉及相当现代的数学。例如，在[16]中，Jha考察了从公元前5世纪到公元18世纪耆那教徒的贡献。

本文将集中讨论耆那教创立之后直到大约公元500年阿耶波多前后这段时期。选取这一时间间隔的原因是，直到最近，这曾被认为是印度数学活动很少的时期。阿耶波多的工作被视为印度数学一个新的古典时期的开端，这确实是合理的。然而，阿耶波多并不是在数学孤立中工作的，除了被视为在印度开创数学研究新时代的人之外，更近的研究表明，也有理由把他视为一个相对而言鲜为人知的数学时期的最终产物。这就是我们将称为耆那教数学时期的时期。

这一时期有数学文本，但直到近代，历史学家对它们关注甚少。诸如被认为约公元前4世纪的Surya Prajnapti和约同一时期的Jambudvipa Prajnapti等文本，近来通过对后世注释的研究而受到关注。Bhagabati Sutra约公元前300年，包含关于组合的有趣信息。约公元前2世纪的是Sthananga Sutra，它特别有趣之处在于列出了当时所研究数学的构成主题。事实上，这份主题列表为印度次大陆此后很长时期的研习领域奠定了基础。这些主题在[2]中列为：-

……数论、算术运算、几何、分数运算、一次方程、三次方程、四次方程，以及排列与组合。

耆那教数学中数学无限的思想确实非常有趣，它们很大程度上源于耆那教的宇宙论观念。在耆那教宇宙论中，时间被认为是永恒且无形式的。世界是无限的，它从未被创造，一直存在。空间遍及一切且无形式。宇宙的所有物体存在于空间中，空间分为宇宙空间与非宇宙空间。宇宙有一个中心区域，所有众生，包括人、动物、神和魔，都居住于此。中心区域之上是上界，其本身分为两部分。中心区域之下是下界，分为七层。这导致了[3]中描述的关于耆那教著作Tiloyapannatti中一个数学主题的工作，该著作由Yativrsabha所著。一个圆被平行线分成规定宽度的区域。边界弦的长度和区域的面积根据所述规则给出。

这种宇宙观在许多方面强烈影响了耆那教数学，并且一直是发展无限数学思想的推动因素，这些思想直到格奥尔格·康托尔时代才再次被考虑。耆那教宇宙观包含一个$2^{588}$年的时间周期。注意$2^{588}$是一个非常大的数！

$2^{588}$ = 1013 065324 433836 171511 818326 096474 890383 898005 918563 696288 002277 756507 034036 354527 929615 978746 851512 277392 062160 962106 733983 191180 520452 956027 069051 297354 415786 421338 721071 661056。

那么耆那教的无限观念是什么呢？在印度思想中，对大数的迷恋持续了很长时期，这几乎又要求他们考虑无限大的量度。首先值得指出的是，他们有不同的无限量度，这些量度并未以严格的数学方式定义，但仍然相当精密。论文[6]描述了第一个不可枚举数是如何通过有效的递归构造而构造出来的。

耆那教的构造从一个半径$r^{q}$非常大（取为地球半径）且高度$h$固定的圆柱形容器开始。数$n^{q} = f(r^{q})$是能放入该容器中的极微小白色芥菜籽的数量。接下来，$r_{1} = g(r^{q})$通过一个复杂的递归子过程定义，然后如前所述定义一个新的更大的数$n_{1} = f(r_{1})$。Anuyoga Dwara Sutra的文本接着陈述：-

仍然没有达到最高的可枚举数。

整个过程重复进行，产生一个真正巨大的数，称为jaghanya-parita-asamkhyata，意为“低增强阶的不可枚举”。继续这一过程产生最小的不可枚举数。

耆那教数学承认五种不同的无穷[2]：-

……单向无穷、双向无穷、面积无穷、处处无穷以及永恒无穷。

Anuyoga Dwara Sutra中还包含耆那教徒其他值得注意的数值推测。例如，该著作中多次给出曾经存在过的人的数量为$2^{96}$。

到公元2世纪，耆那教徒已经产生了一种集合论。在Satkhandagama中，各种集合通过以2为底的对数函数、平方和开平方，以及提升到有限或无限次幂来进行运算。这些运算重复进行以产生新的集合。

排列与组合在Sthananga Sutra.中被使用。在Bhagabati Sutra中给出了从$n$中取1个、从n中取2个以及从$n$中取3个的排列数的规则。类似地，给出了从$n$中取1个、从n中取2个以及从$n$中取3个的组合数的规则。在$n$ = 2、3和4的情形下计算了这些数。作者随后说，对于更大的$n$，可以用同样的方式计算这些数。他写道：-

以这种方式，可以指定5、6、7、……、10等，或者一个可枚举、不可枚举或无穷的数目。一次取一个、一次取两个、……一次取十个，随着组合数的形成，它们都必须被计算出来。

有趣的是，这里也暗示了算术可以推广到各种无穷数。在其他著作中，人们注意到了组合数与二项式展开中出现的系数之间的关系。在一部关于这部三世纪著作的十世纪评注中，布莱兹·帕斯卡三角形出现了，用以给出二项式展开的系数。

耆那教徒似乎至少在某种程度上已经理解的另一个概念是对数。他们已经开始理解指数定律。例如Anuyoga Dwara Sutra中写道：

第一个平方根乘以第二个平方根等于第二个平方根的立方。

第二个平方根是一个数的四次方根。因此这就是公式

$(√a).(√√a) = (√√a)^{3}$。

Anuyoga Dwara Sutra中还写道：

……第二个平方根乘以第三个平方根等于第三个平方根的立方。

第三个平方根是一个数的八次方根。因此这就是公式

$(√√a).(√√√a) = (√√√a)^{3}$。

一些研究这些著作的历史学家认为，他们看到了耆那教徒已经发展出以2为底的对数的证据。

耆那教数学中π的值一直是许多研究论文的主题，例如参见[4]、[5]、[7]和[17]。与对印度数学的许多研究一样，人们感兴趣的是印度人是否从希腊人那里获得了他们的思想。近似值π = √10似乎是耆那教徒经常使用的一个。

最后让我们评论一下耆那教的天文学。这并不十分先进。直到阿耶波多的著作，希腊的本轮思想才进入印度天文学。在耆那教时期之前，日食和月食的观念基于一个叫做Rahu的恶魔，它吞噬或捕获月亮或太阳，导致它们发生食。耆那教学派假定存在两个恶魔Rahu，即Dhruva Rahu，它导致月相变化，以及Parva Rahu，它具有不规则的全方向天体运动，并通过遮盖月亮或太阳或其光线来导致食。[23]的作者指出，根据耆那教学派，一年中可能发生的食的最大数量是四次。

尽管如此，一些天文测量还是相当不错的。Surya Prajnapti中的数据暗示朔望月等于$29\large\frac{16}{31}\normalsize$天；正确值接近29.5305888。人们对检查这些耆那教文本中提供的数据以确定数据是否源自其他来源有着相当大的兴趣。例如，Surya Prajnapti中存在的数据暗示最大与最小昼长之比为3:2。现在这对印度来说不成立，但对巴比伦来说成立，这使得一些历史学家相信Surya Prajnapti中的数据并非源自印度，而是巴比伦的。然而，在[22]中，Sharma和Lishk提出了一个替代假说，该假说允许数据源自印度。不得不说，他们提出3:2可能是最长日和最短日注入水钟的水量之比，这一建议似乎并不完全令人信服。