数学史专题
2024年夏天，我[EFR]在Bologna度过了一周。在那里期间，我参观了几处与数学有关的地方。这些参观发生在不同的日子，但我将把本文写成仿佛我是在一次环城漫步中完成了这些参观。
不过，在开始我们的漫步之前，让我们列出MacTutor档案中出生在博洛尼亚的数学家：
15世纪；希皮奥内·德尔·费罗，1465年：
16世纪；洛多维科·费拉里，1522年，拉法耶尔·蓬贝利，1526年，伯多禄·卡塔迪，1548年，朱塞佩·比安卡尼，1566年：
17世纪；弗朗西斯科·马里亚·格里马尔迪，1618年，皮耶特罗·曼戈里，1626年，Eustachio Manfredi，1674年，Gabriele Manfredi，1681年：
18世纪；劳拉·巴斯，1711年：
19世纪；Umberto Puppini，1884年，Ettore Bortolotti，1866年：
20世纪；兰伯托·塞萨里，1910年。
我们的漫步从独立大道开始，朝向海神广场。
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我们穿过里佐利街进入海神广场，经过海神喷泉——一座16世纪的喷泉，美人鱼环绕着海神铜像——然后到达马焦雷广场。在我们的右边是阿库尔西奥宫，第一个与数学有关的地方。
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阿库尔西奥宫。
阿库尔西奥宫或公共宫自1336年以来一直是博洛尼亚市政当局的所在地。它以法学教授弗朗切斯科·阿库尔西奥的名字命名，他在13世纪中叶曾住在该建筑的一部分。
劳拉·巴斯由加埃塔诺·塔科尼教授数学，塔科尼对他的学生的能力印象非常深刻，通过他，她开始在博洛尼亚的学者圈中赢得声誉。几位身为博洛尼亚科学院成员的学者被塔科尼——他本人也是科学院成员——邀请到劳拉·巴斯家中，她与他们就哲学话题展开辩论。所有人都对她的辩论技巧以及她吸收知识的轻松程度印象深刻。其中一位博学之士是普罗斯佩罗·兰贝蒂尼。他出生于博洛尼亚，被罗马大学授予神学和法学博士学位。他于1728年被擢升为枢机主教，1731年回到博洛尼亚，被教皇克莱门特十二世擢升为大主教。兰贝蒂尼成为劳拉·巴斯的赞助人，为了展示他的门生，他安排她与博洛尼亚大学的四位教授于1732年4月17日进行了一场辩论。辩论在博洛尼亚宏伟的公共宫举行，劳拉·巴斯为四十九个哲学论题进行了辩护。莫妮克·弗里兹在她2013年的著作Laura Bassi and Science in 18th Century Europe. The extraordinary life and role of Italy's pioneering female professor中写道：-
十八世纪的学位论文不像现在这样是原创研究，而是对考生事先准备的一系列问题的回答和讨论。考生首先用拉丁文对教授提出的问题写出书面回答，然后由委员会阅读，最后进行口头答辩。这次特殊的考试相当不寻常。学生通常在大学里当着教职员的面进行论文答辩，绝对不是像这一天那样当着如此众多和显赫的公众。这一事件的独特性在于，考生不是我们预期中的年轻男子，而是一位年轻女性，20岁的劳拉·巴斯。……由于她的性别，劳拉·巴斯不得不以非常公开的方式表现，以获得对她能力和知识的认可。
在我们面前的马焦雷广场上，是圣白托略大殿，它于 1390 年开始建造。
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圣白托略大殿。
大殿的建造在字面意义上的数百年间缓慢继续，而且正如清楚看到的那样，1538年开始建造的立面至今仍未完工。这座大殿中有许多珍宝，但数学上的兴趣在于子午线。这些线被建造用来指示每天的午时，但也许更重要的是，被用来确定春分的日期。
Egnatio 埃尼亚齐奥·当蒂的子午线。
第一条子午线由多明我会士埃尼亚齐奥·当蒂于1575年在圣白托略大殿内建造。埃尼亚齐奥·当蒂此前已在佛罗伦萨的新圣母大殿建造了一条子午线，以便精确测定春分，从而确定历法中的误差。1574年，埃尼亚齐奥·当蒂在佛罗伦萨期间发现了历法中11天的误差。被迫离开佛罗伦萨后，他于1575年迁至博洛尼亚，并被任命为博洛尼亚大学数学教授。他在圣白托略大殿的中央中殿建造了一条子午线，在侧廊左侧的墙上开了一个洞，让太阳光线射入。1653年，随着大殿继续施工，为了扩大教堂，那面墙被拆除，子午线便无法再使用。乔凡尼·多美尼科·卡西尼已于1650年被任命为博洛尼亚大学数学与天文学教授。他提议在圣白托略大殿建造一个更大、更精确的子午仪器。
卡西尼的子午线。
乔凡尼·多美尼科·卡西尼开始进行研究，以找到让太阳光线进入的洞的最佳位置，从而能够建造子午线而不被柱子遮挡。他决定，如果将洞定位在左侧廊道第四个拱顶的屋顶上，那么他就可以建造这条线，使其刚好触及第一和第二根柱子，并终止于中央中殿。博洛尼亚元老院批准了他的计划，工作于1655年夏天开始。这个洞是在一块大理石中插入黄铜制成的，被放置在屋顶上。他从洞中垂下一根末端带有重物的细铜线，以确定下方地板上的确切点。在1655年6月22日的夏至，他在地板上描出了太阳图像的轨迹，从而能够确定真正的北方。然后他建造了自己的线，用水准仪确保它是水平的。这项工作于1655年12月21日完成，当时冬至给出了这条线的最终范围。洞在地板上方27.07米处，线的长度是洞高的2.5倍，因此超过67.5米。
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乔凡尼·多美尼科·卡西尼于1668年受邀前往巴黎，但在1695年前往罗马途中访问了博洛尼亚。发现子午线不再完全水平后，他发起了修复工作。更重大的修复由Eustachio Zanotti于1776年完成。Zanotti（1709-1782）出生于博洛尼亚，曾师从Eustachio Manfredi学习数学和天文学。Zanotti于1739年被任命为博洛尼亚天文台台长。博洛尼亚元老院请他修复卡西尼的线。他做得非常出色，以至于我们今天在圣彼得罗尼奥大教堂看到的线几乎与Zanotti近250年前修复时完全一样。线上有两个编号系统。孔的高度被定为100个单位，而线长是它的2.5倍，一侧每两个单位标记一次，直到250。在线的另一侧，意大利时间的正午时间用罗马数字表示小时，用阿拉伯数字表示分钟。Zanotti进行修复时，意大利时间仍在使用。它将一天分为24个相等的小时，从完全黑暗开始。因此，太阳在一天开始前30分钟落下。
参观完圣彼得罗尼奥大教堂后，我们走出教堂，向右转到达Archiginnasio街。我们沿着那条街走，大教堂在我们右边，直到我们到达Archiginnasio，这里曾是博洛尼亚大学的建筑。大学的成立日期不确定。虽然它在1158年正式获得特许状，但据称从1088年起就有学生作为大学的一部分接受教育。Archiginnasio是博洛尼亚大学从1563年到1803年的主要校址。
在博洛尼亚任教的MacTutor人物。
以下人物都曾在博洛尼亚任教，大多数是大学里的教授，但也有少数是大学的助理或其他博洛尼亚机构的教授。
卢卡·帕西奥利（生于1445年），希皮奥内·德尔·费罗（生于1465年），吉罗拉莫·卡尔达诺（生于1501年），洛多维科·费拉里（生于1522年），埃尼亚齐奥·当蒂（生于1536年），伯多禄·卡塔迪（生于1548年），乔凡尼·安东尼奥·马吉尼（生于1555年），乔万尼·巴特斯达·里奇奥利（生于1598年），博纳文图拉·卡瓦列里（生于1598年），弗朗西斯科·马里亚·格里马尔迪（生于1618年），乔凡尼·多美尼科·卡西尼（生于1625年），皮耶特罗·曼戈里（生于1626年），Eustachio Manfredi（生于1674年），Vincenzo Riccati（生于1707年），Paolo Frisi（生于1728年），安东尼奥·路易吉·高登齐奥·朱塞佩·克雷莫纳（生于1830年），贝尔特拉米（生于1835年），切萨雷·阿泽拉（生于1847年），萨尔瓦托雷-平谢尔（生于1853年），Giulio Vivanti（生于1859年），Domenico Montesano（生于1863年），Ettore Bortolotti（生于1866年），费代里戈·恩里克斯（生于1871年），Ugo Amaldi（生于1875年），朱塞佩·维塔利（生于1875年），Beppo Levi（生于1875年），Matteo Bottasso（生于1878年），弗朗切斯科·塞维里（生于1879年），Umberto Puppini（生于1884年），列奥尼达·托内利（生于1885年），Annibale Comessatti（生于1886年），Beniamino Segre（生于1903年），Gianfranco Cimmino（生于1908年），兰伯托·塞萨里（生于1910年）。
尽管这些人中的大多数在博洛尼亚大学搬离阿奇吉纳西奥之后在该校任教，但其中有十一位数学家将在阿奇吉纳西奥任教过。
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阿奇吉纳西奥。
穿过一座气派的门廊进入阿奇吉纳西奥，你会看到一个内部庭院，其中包含昔日的圣玛丽亚·德·布尔加里教堂。进入阿奇吉纳西奥时，最引人注目的特征或许是墙上绘制的数以千计的纹章。学生被划分为各个同乡会，那些被选为同乡会首领的人可以将自己的纹章绘在墙上。这些纹章标明了学生来自哪个国家或城市，显示出博洛尼亚大学当时有多么国际化。这里还有一些曾在大学授课者的半身像。这座建筑有两层，沿着楼梯向上，你可以进入两个迷人的房间：解剖剧场和斯塔巴特·马特厅。其中第二个房间藏有有趣的数学书籍。
斯塔巴特·马特厅。
斯塔巴特·马特尔厅收藏有一批极好的旧科学书籍。你可能会觉得斯塔巴特·马特尔厅这个名字有点奇怪，所以我要解释一下它为什么叫这个名字。1842 年 3 月 18 日晚上，焦阿基诺·罗西尼的 Stabat Mater在加埃塔诺·多尼采蒂的指挥下演出，随后两个晚上又重复演出，地点在当时称为阿奇吉纳西欧宫大厅的地方。这是它在意大利的首次演出，当时住在博洛尼亚的罗西尼本人希望借此设立一项基金，以资助贫困的博洛尼亚音乐家。下面是 2024 年夏天这个厅的两幅景象。
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下面是我站在斯塔巴特·马特尔厅数学区前的照片。
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这里的数学书籍收藏引人入胜，既有莱昂哈德·欧拉的Élémens d'algèbra avec des notes et des additions（1774）和艾萨克·牛顿的Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Ⓣ（自然哲学的数学原理）（1739-42）这样的重要著作，也包含一些不太知名的著作，如吉罗拉莫·萨拉迪尼的Nuovo metodo delle proporzioni aritmetica, geometrica ed armonica Ⓣ（算术、几何与调和比例的新方法）（1761）和弗朗切斯科·卡尔迪纳利的Elementi d'aritmetica Ⓣ（算术基础）（1808）。
我们在THIS LINK中给出了斯塔巴特·马特厅中十本数学书籍的信息。
遗憾的是，位于Sala Rusconi（原演讲厅）的图书馆不向公众开放，但可以通过图书馆与Sala Stabat Mater之间的门看到里面。
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图书馆藏有珍贵的善本和手稿，若能在此寻找感兴趣的物品将非常美妙。这些作品由Pietro Giacomo Rusconi（1865-1916）收集，他没有直系继承人。他的遗孀Luisa Verzaglia于1919年去世后，将一切遗赠给博洛尼亚市政府。1922年，那些“因版本古老、价值或各卷特殊性而最为珍贵”的印刷材料被安置在Archiginnasio的一个房间内，该房间以捐赠者Rusconi命名，其肖像在“Sala Rusconi”名称下可见。
离开Archiginnasio，我们沿着Via dell'Archiginnasio回到Piazza Maggiore，继续前行直到Via Rizzoli。沿着Via Rizzoli向右转，我们立刻看到前方的Le due Torri，即双塔，其中一座倾斜得相当严重，那就是Garisenda塔。这座塔有倒塌的危险，所以塔周围的区域被封锁了。Le due Torri中最高的Asinelli塔建于1109年至1119年间，高97.2米。它具有我们现在要讲述的数学意义。
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Asinelli塔。
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伽利略于1638年出版了Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze Ⓣ（关于两门新科学的对话与数学证明）。在这部著作中，伽利略表明，自然加速运动的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比。他还表明，由于重力的作用，物体无论质量如何，都以恒定速率垂直向下加速。乔万尼·巴特斯达·里奇奥利从1640年开始进行实验，以验证或反驳伽利略的论断。他在帕尔马教过的弗朗西斯科·马里亚·格里马尔迪协助了这项工作。两人都于1636年搬到博洛尼亚，在阅读了伽利略的Discorsi Ⓣ（关于两门新科学的对话与数学证明）后，他们决定制作实验所需的精确计时装置。首先，弗朗西斯科·马里亚·格里马尔迪和乔万尼·巴特斯达·里奇奥利通过让一个摆摆动24小时（以恒星大角星穿过子午线来测量）来校准它。他们用这个3英尺长的摆来校准一个较短的摆用于计时。然后，他们从Asinelli塔的不同高度丢下木球和铅球。为了提高准确性，他们还让一群懂音乐的修士随着摆的摆动吟唱来辅助计时。实验并没有证实伽利略的结果，因为正如人们可能预料的那样，在塔上不同高度的所有实验中，铅球都比木球先到达地面。他声称，实验得出不同结果的原因是伽利略和其他提出同样论断的人只从50或100英尺的高度丢下重物，而他的实验使用了312英尺高的Asinelli塔。乔万尼·巴特斯达·里奇奥利在Almagestum novum Ⓣ（新天文学大成）（1651年）中描述了这些实验，并用这张Asinelli塔的图加以说明。然而，他确实声称验证了伽利略关于落体的平方定律。
对使用Asinelli塔的实验感兴趣的第二个原因。1789年，Giovanni Battista Guglielmini（1763-1817）出版了Riflessioni sopra un nuovo esperimento in prova del diurno moto della terra Ⓣ（关于检验地球周日运动的新实验的思考），描述了证明地球自转的实验。这些实验是使用Asinelli塔进行的。随后他在1791-92年进行了进一步的实验，并在De diuturno terrae motu experimentis physico-mathematicis confirmato Ⓣ（关于长期地震的物理数学实验证实）（1792年）中进行了描述。以下描述取自Linda Hall Library：
实际困难令人望而生畏。预测的位移，即使在像Asinelli这样的高塔中也很小——不到一英寸。Asinelli塔偏离垂直方向超过一度，因此需要几乎300英尺长的铅垂线来确定垂直度。从塔上丢下的球可能会被风吹动，甚至街道上马车的经过也可能使建筑物振动并影响结果。为了减轻风的影响，Guglielmini选择在塔内丢球，这意味着他必须在几层楼板上打洞。为了减少马车经过的影响，他在半夜工作。他做了一年多的实验，但只有少数有用，因为通常总有某种原因导致空气、塔或铅垂线不稳定。他还很早就发现，即使条件良好，结果也变化很大，这使他怀疑他们丢球的方法有缺陷。因此他为此发明了一种装置，可以在不施加侧向运动或旋转的情况下丢球。到1792年，Guglielmini终于得到了一些好结果，显示出向东的小位移和更小的向南位移。
Guglielmini的实验有缺陷，无论是在他的理论上还是在实验本身。然而，这些实验确实引起了皮埃尔·西蒙·拉普拉斯的兴趣，他在Guglielmini的理论中发现了数学错误。然而令人惊讶的是，Guglielmini的书是罗马天主教会于1822年解除对Copernican理论禁令的一个因素。
参观完两座塔楼后，沿着马焦雷街往下走，经过罗西尼曾居住三年的故居，便可抵达宏伟的阿尔迪尼·桑吉内蒂宫中的Museo internazionale e biblioteca della musica。
国际音乐博物馆与图书馆。
登上楼梯，进入音乐博物馆后，人们立刻会被博物馆所在的阿尔迪尼·桑吉内蒂宫之美所震撼。
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阅读墙上的信息展板很快就会发现，这座博物馆里可能有一些与数学相关的展品。
展出了许多数学家撰写的书籍，特别是马兰·梅森的著作陈列在博物馆的这个房间里。
我在音乐博物馆里发现了五本数学家展出的书籍。它们是：勒内·笛卡儿，Musicae compendium Ⓣ（音乐概要）（1683年）；皮耶特罗·曼戈里，Speculationi di musicae Ⓣ（音乐思辨）（1670年）；马兰·梅森，Harmonie universelle Ⓣ（普遍和声）（1636年）；马兰·梅森，Cogitata physico-mathematica Ⓣ（物理-数学思想）（1644年）；以及欧几里得，Rudimenta Musices Ⓣ（音乐要素）（1557年）。关于这些书籍的更多信息，请参见THIS LINK。
离开Museo internazionale e biblioteca della musica后，我们沿着马焦雷街继续前行，直到抵达圣玛利亚·德·塞尔维教堂。尽管我未能找到关于此事的铭牌，但它与15世纪最重要的数学发现之一有关。
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圣玛利亚·德·塞尔维教堂。
希皮奥内·德尔·费罗（1465-1526）在博洛尼亚大学担任算术与几何讲席。他从1496年起在该大学任教。当时，博洛尼亚大学的不同院系分布在城市的不同区域，直到1565年大学开始在阿奇吉纳西欧宫运作时才将它们集中在一起。在15世纪，博洛尼亚大学被称为Studium，并于1451年在艺术家大学内设立了数学与天文学教授职位。
卢卡·帕西奥利在1501-02年间于博洛尼亚讲学，可能曾与希皮奥内·德尔·费罗讨论过解三次方程。我们知道希皮奥内·德尔·费罗在1505年发现了三次方程的代数解法，但未解释其方法。他甚至在博洛尼亚圣玛利亚·德·塞尔维教堂的门廊下定期参加数学竞赛时，可能运用了这一知识，通过解决他们提出的问题，令公众和同行惊叹不已。这些数学挑战为获胜者带来了荣誉和声望，因此他们得到了贵族的支持。得益于在圣玛利亚·德·塞尔维教堂竞赛中的成功，从1496年到1510年，希皮奥内·德尔·费罗的薪水从25里拉增加到150里拉。
我站在圣玛利亚·德·塞尔维教堂的门廊下，想象着参加这样的数学竞赛会是什么样子。我不知道自己是否愿意身处这样的竞赛中，但肯定会乐于观看。如果这样的竞赛在今天举行，公众会来观看吗？起初我想：“绝无可能！”但随后我想到，英国电视上有成千上万的人观看《大学挑战赛》，却可能连一个问题都答不上来。
这些数学竞赛中最著名的是Antonio Maria Fior（希皮奥内·德尔·费罗的学生）与尼科洛·塔尔塔利亚之间于1535年2月关于用代数方法解三次方程的竞赛。以下是获胜者尼科洛·塔尔塔利亚对这场竞赛的描述：
Zuanne de Tonini da Coi：我听说不久前您与Antonio Maria Fior师傅进行了一场争论，最终达成协议：他应向您提出三十个问题，每个问题各不相同，以书面形式写下并密封，交存于公证人Per Iacomo di Zambelli师傅处；同样，您也应向他提出三十个问题，每个问题也各不相同。你们双方都这样做了，并约定四十或五十天的期限，让各自解决这些问题，且商定在此期间内，谁被判定解决了更多所收到的问题，谁就获得荣誉，外加您为每个问题所提议的少量报酬。有人向我报告，并得到Fina a Bressa的证实，说您在两个小时之内解决了他全部三十个问题。我觉得这难以置信。
尼科洛·塔尔塔利亚：所有你听到或被告知的事情都是真的。我之所以能在如此短的时间内解决他的三十个问题，是因为这三十个问题都涉及未知数的代数以及立方等于数的运算。他这样做是认为我无法解决其中任何一个，因为卢卡修士在他的论著中声称，用任何一般规则都不可能解决这样的问题。然而，幸运的是，就在收集两组各三十个密封问题的截止日期前八天，我发现了这类表达式的一般规则。我为他提出的所有问题确实各不相同。我这样做是为了向他展示我的多才多艺，并且表明我的基础不仅仅在于我的一两个，甚至三个私人发现，或者秘密，尽管为了更安全我一直保守这些秘密。此外，我本可以给他再出一千个问题，而不仅仅是三十个；但按照约定，我提出了三十个各不相同的问题，以表明我轻视他，根本没有理由害怕他。
吉罗拉莫·卡尔达诺听说了尼科洛·塔尔塔利亚在比赛中的胜利，并说服他透露了吉罗拉莫·卡尔达诺在其杰作Ars Magna（1545年）中发表的方法。此时吉罗拉莫·卡尔达诺在米兰，但在1560年他的儿子因谋杀妻子被处决到1570年他自己被宗教裁判所逮捕之间，他住在博洛尼亚。在博洛尼亚，吉罗拉莫·卡尔达诺在大学任教，并且一定是1565年Archiginnasio开放时最早在那里任教的数学教授之一。
另一次“数学”参观不太符合上述步行路线，是去位于Via de' Gombruti的Palazzo Belloni的“幻觉博物馆，在艺术与科学之间”。
幻觉博物馆。
幻觉博物馆非常有趣，清楚地表明我们绝不应完全相信我们“看到”的东西。当然，很大程度上基于我们实际上并没有看到任何东西这一事实。我们的眼睛将光信号转换为电信号，发送到大脑。大脑然后解释这些信号，我们相信我们看到了实际上在我们面前的东西。这里有一个例子。这是由瑞士晶体学家Louis Albert Necker（1786-1861）于1832年提出的Necker立方体。它只是三维立方体在二维表面上的投影。
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我们的大脑可以将立方体的二维插图解释为三维的。然而，根据大脑认为哪一面在前面，有两种不同的三维版本。
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如果你盯着这张图片看，你会看到前面在变化。也许对你不起作用。下面的图片显示了两个版本。
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然后博物馆里还有像不可能大象这样的例子。再次，我们的大脑试图制作一个三维大象，但变得困惑。
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博物馆的另一个例子是大脑会从一张图片切换到另一张，如下所示。它是鸭子还是兔子？
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一种稍微不同类型的幻觉是旋转圆圈，不知何故我们的大脑相信圆圈在旋转。
我在幻觉博物馆看到的唯一被命名的数学家是奥古斯丁·菲涅耳。有一个奥古斯丁·菲涅耳透镜的展品，最初是他为灯塔使用而发明的。展品建议你通过奥古斯丁·菲涅耳透镜自拍。我没有尝试这个，所以我没有照片可以展示。
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在希皮奥内·德尔·费罗居住的Via San Petronio Vecchio的房子上有一块牌匾。
有以希皮奥内·德尔·费罗和拉法耶尔·蓬贝利命名的街道，但它们离市中心有些距离。