三角函数The trigonometric functions

三角函数的使用源于数学与天文学之间的早期联系。早期对球面三角形的研究与对平面三角形的研究同样重要。

关于三角函数的最早工作与圆中的弦有关。给定一个固定半径的圆，早期计算中常取60个单位，于是问题就变成求给定角所对弦的长度。对于单位半径的圆，角$x$所对弦的长度为$2\sin (x/2).$。已知最早的弦表由希腊数学家喜帕恰斯在大约公元前140年编制。尽管这些表没有流传下来，但据称喜帕恰斯编写了十二卷弦表。这使喜帕恰斯成为三角学的创始人。

下一位编制弦表的希腊数学家是约公元100年的梅涅劳斯。梅涅劳斯在罗马工作，编写了六卷弦表，但这些都已失传，不过他的球面学著作保存了下来，是已知最早的球面三角学著作。梅涅劳斯证明了平面三角形的一个性质，以及相应的球面三角形性质，称为regula sex quantitatumⓉ（六量法则）。
插图：menelaustheorem.jpg ↗
梅涅劳斯定理陈述如下：
如果一条直线与三角形$ABC$的边$BC, AC$和$AB$分别交于点$P, Q$和$R$，则比值$\Large\frac{BP}{PC}\normalsize . \Large\frac{CQ}{QA}\normalsize . \Large\frac{AR}{RB}\normalsize = -1$的乘积

克劳狄乌斯·托勒密是下一部弦表的作者，表现出与喜帕恰斯相同的巴比伦影响，将圆分为360°、直径分为120份。这里的暗示是，他遵循了更早的实践，即使用π的近似值3。克劳狄乌斯·托勒密与更早的作者一样，使用了关系式$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$的某种形式，尽管他们实际上当然不是使用正弦和余弦，而是使用弦。

同样，就弦而非 sin 和 cos 而言，克劳狄乌斯·托勒密知道公式$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\Large\frac {a}{\sin A}\normalsize = \Large\frac {b}{\sin B}\normalsize = \Large\frac {c}{\sin C}$。克劳狄乌斯·托勒密通过先在圆中内接 3、4、5、6 和 10 边的正多边形来计算弦。这使他能够计算 36°、72°、60°、90° 和 120° 角所对的弦。然后，他找到了一种方法，求已知弦所对弧的一半所对的弦，这与插值法一起使他能够以相当高的精度计算弦。使用这些方法，克劳狄乌斯·托勒密发现 sin 30'（30' = 1° 的一半），即 1° 的弦，作为以 60 为基的数，是 0 31' 25"。转换为小数是 0.0087268，精确到 6 位小数，精确到 7 位小数的答案是 0.0087265。

角的正弦第一次实际出现是在印度人的著作中。阿耶波多在大约500年给出了半弦表，这些现在实际上就是正弦表，并用jya表示我们的sin。同一张表在婆罗摩笈多的著作（628年）中被复制，而婆什迦罗第二在1150年给出了为任意角构造正弦表的详细方法。

阿拉伯人使用正弦和余弦，到 980 年，Abu'l-Wafa知道$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$，尽管这可以很容易地从克劳狄乌斯·托勒密的公式$\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$与$x = y$推导出来。

印度语中表示正弦的词jya被阿拉伯人采用，他们称正弦为jiba，这是一个与jya发音相同但无意义的词。后来在后期的阿拉伯著作中，jiba变成了jaib，而这个词确实有含义，即“折叠”。当欧洲作者将阿拉伯数学著作翻译成拉丁文时，他们将jaib翻译为sinus，在拉丁文中意为折叠。特别是斐波那契对术语sinus rectus arcus的使用很快促进了正弦的普遍使用。

尼古拉·哥白尼的书中给出所有与天文学相关的三角学内容的章节于1542年由格奥尔格·约阿希姆·雷蒂库斯出版。格奥尔格·约阿希姆·雷蒂库斯还制作了大量正弦和余弦表，这些表在他去世后出版。1533年，约翰·缪勒的著作De triangulis omnimodisⓉ（三角形的性质）出版。这本书包含了最初在大约1464年更早完成的平面和球面三角学工作。这本书特别擅长正弦及其反函数。

正弦这一术语当然没有立即被所有作者接受为标准符号。在数学符号本身还是新概念的时代，许多人使用自己的符号。Edmund 埃德蒙·冈特是第一个在1624年的一幅图中使用缩写sin的人。sin在书中的首次使用是1634年由法国数学家皮埃尔·埃里戈纳，而博纳文图拉·卡瓦列里使用了Si和威廉·欧垂S。

也许令人惊讶的是，在我们讨论的时期，第二重要的三角函数是正矢，一种现在几乎不使用的函数。正矢与正弦的关系由公式 versin $x = 1 - \cos x$ 给出。它只是正弦转过（versed）90°。

余弦在符号发展上遵循与正弦相似的历程。弗朗索瓦·韦达使用术语sinus residuae表示余弦，埃德蒙·冈特（1620年）建议使用co-sinus。符号Si.2由博纳文图拉·卡瓦列里使用，s co arc由威廉·欧垂使用，S由约翰·沃利斯使用。

弗朗索瓦·韦达知道用$\sin x$和$\cos x$表示$\sin nx$的公式。他明确给出了（归功于巴塞洛缪·皮提斯卡斯的）公式$\sin 3x = 3 \cos ^{2}x \sin x - \sin ^{3} x$

$\cos 3x = \cos ^{3}x - 3 \sin ^{2}x \cos x$。切线和余切线通过不同于正弦的弦方法的途径出现。它们一起发展，最初并不与角相关联。它们对于从物体投射的影子的长度计算高度变得重要。影子的长度在日晷中也很重要。泰勒斯使用影子的长度来计算金字塔的高度。

已知最早的影子表是由阿拉伯人在大约860年制作的，使用了两种度量，翻译成拉丁语为umbra recta和umbra versa.弗朗索瓦·韦达使用了术语amsinus和prosinus。切线这个名字最早由Thomas汤玛斯·芬克在1583年使用。余切这个术语最早由Edmund埃德蒙·冈特在1620年使用。

tan 和 cot 的缩写经历了与 sin 和 cos 类似的发展。博纳文图拉·卡瓦列里使用了 Ta 和 Ta.2，威廉·欧垂使用了$t$ arc 和$t$ co arc，而约翰·沃利斯使用了$T$和$t$。今天使用的常见缩写是 tan，我们写作 tan，而这一缩写最早出现在 1626 年由阿尔伯特‧吉拉德使用，但 tan 写在角的上方 tan
A cot 最早由约纳斯·摩尔在 1674 年使用。

早期的天文学家或测量员没有使用正割和余割。当 15 世纪前后的航海者开始编制表时，它们才得到重视。尼古拉·哥白尼知道正割，他称之为斜边。弗朗索瓦·韦达知道结果$\Large\frac {\cosec x}{\sec x}\normalsize = \cot x = \Large\frac {1} {\tan x}$

$\Large\frac {1}{\cosec x}\normalsize = \Large\frac {\cos x}{\cot x}\normalsize = \sin x$。不同作者使用的缩写与已经讨论过的三角函数类似。博纳文图拉·卡瓦列里使用了 Se 和 Se.2，威廉·欧垂使用了 se arc 和 sec co arc，而约翰·沃利斯使用了$s$和 σ。阿尔伯特‧吉拉德使用了 sec，写在角的上方，就像他对 tan 所做的那样。

“三角学”这个术语首次作为B巴塞洛缪·皮提斯卡斯的一本书Trigonometria的标题出现，该书出版于1595年。巴塞洛缪·皮提斯卡斯还发现了$\sin 2x, \sin 3x, \cos 2x, \cos 3x$的公式。

18 世纪出现了对复变量三角函数的研究。约翰·伯努利在 1702 年发现了$\sin^{-1}z$与$\log z$之间的关系，而罗杰·柯特斯在 1722 年他去世后出版的一部著作中证明了$ix = \log(\cos x + i \sin x )$。亚伯拉罕·棣莫弗在 1722 年发表了他著名的定理$(\cos x + i \sin x )^{n} = \cos nx + i \sin nx$ ，而莱昂哈德·欧拉在 1748 年给出了公式（等价于罗杰·柯特斯的公式）$exp(ix) = \cos x + i \sin x$。双曲三角函数由兰伯特引入。