数学史专题
20世纪关于时间的观念发生了巨大变化。在该世纪初，时间被视为艾萨克·牛顿的普遍的、绝对的、数学的时间。在越来越精确的测量方面已取得显著进展，而在该世纪初，摆钟已完善到在一天中记录时间的误差小于秒的程度。
我们首先考察那些在19世纪后期开始质疑艾萨克·牛顿的绝对时间的人，以此开始对理解时间方面的20世纪革命的思考。1870年，卡尔·诺伊曼质疑艾萨克·牛顿的惯性定律。他考虑了一个其中只有一个粒子的宇宙，并问在这种情形下艾萨克·牛顿的惯性定律意味着什么。当没有其他参考点时，人们怎么知道该粒子是否在沿直线运动。他随后引入了惯性钟的概念。如果一个粒子已知不受到任何力的作用，那么它的运动就可以用作惯性钟。相等的时间间隔将对应于粒子移动的相等距离。然而，我们如何判断一个粒子不受力的作用呢？
P G Tait在1883年解答了卡尔·诺伊曼的惯性钟问题，并由此实质上表明艾萨克·牛顿的绝对空间是一个不必要的概念，因为他能够构造一个绝对空间框架。他确实假设了不同位置的粒子可以在同一瞬间被测量，因此他实际上是用绝对时间来定义绝对空间。
马赫在1883年出版了一部力学史。在其中，他强烈反对艾萨克·牛顿的绝对空间和绝对时间观念。艾萨克·牛顿认为惯性运动是相对于绝对空间的，但马赫反而认为惯性运动是相对于宇宙中所有质量的平均值。就时间而言，马赫写道：-
我们完全无法用时间来度量事物的变化。恰恰相反，时间是一种抽象，我们借助事物的变化才达到这种抽象。
因此，按照马赫的观点，时间就是变化，只有相对距离才有意义。
1898年，儒勒·昂利·庞加莱发表了一篇论文，其中提出了两个关于时间的极其重要的问题。说今天的一秒等于明天的一秒，这有意义吗？说在空间中分隔的两个事件同时发生，这有意义吗？我们不应给人这样的印象：在儒勒·昂利·庞加莱之前没有人想到过这些问题，因为这些想法已被讨论过。然而，可以肯定地说，儒勒·昂利·庞加莱比以往任何人都更清晰地指出了这些问题。儒勒·昂利·庞加莱的第一个问题至今仍未得到令人满意的答案，但他的第二个问题在儒勒·昂利·庞加莱的论文发表仅几年后就被阿尔伯特·爱因斯坦回答了。
1902年，儒勒·昂利·庞加莱写了另一篇与我们主题相关的论文。在这篇论文中，他询问需要什么信息来预测未来。他这样想是因为皮埃尔·西蒙·拉普拉斯认识到，如果每个粒子的位置、质量和运动都已知，那么艾萨克·牛顿的定律就完全决定了未来。皮埃尔·西蒙·拉普拉斯当然是对的，但另一方面，艾萨克·牛顿将他的理论建立在绝对空间和绝对时间之上，粒子的位置和速度是相对于这个绝对坐标系给出的。然而，儒勒·昂利·庞加莱以相对论的方式思考，并询问如果所给出的只是相对量，那么需要什么信息。例如，如果宇宙恰好由三个粒子组成，并且只知道相对速度，那又会怎样？
尽管儒勒·昂利·庞加莱在阿尔伯特·爱因斯坦之前就深入思考过相对论，但最终取得突破的是后者。阿尔伯特·爱因斯坦认定时间正是理解宇宙的关键，见[14]。他写道：-
我的解决方案真正针对的是时间这个概念本身，也就是说，时间并非绝对地定义，而是与光速之间存在不可分割的联系。
狭义相对论对时间理解的影响是巨大的。该理论所依据的基础极为简单。阿尔伯特·爱因斯坦要求对于任何两个以恒定速度运动、即不受力作用的观察者来说，物理定律都相同，并且光速与其光源的速度无关。换一种方式看，他假定不存在绝对的空间和时间，但在任何惯性系中定律都相同。假设我们有两个观察者和处于不同的惯性系中，即各自以不受任何力作用的恒定速度运动。和各自有一个主钟，我们可以把它看作他们各自惯性系中的时间，而惯性系中的钟可以同步。同样，惯性系中的钟也可以同步。惊人的推论是，在的参照系中同时发生的两个事件，在的参照系中不会显得同时。这些结果虽然可以实验验证，但对人们来说仍然显得违反直觉。
狭义相对论对时间还有其他显著影响。时间受到速度的影响。一个以接近光速运动的物体会经历时间膨胀。这是什么意思？我们必须清楚地思考这个陈述，因为如果没有绝对空间来测量速度，一个物体如何能以接近光速运动？让我们更精确一些。如果两个物体和以接近光速相互远离，那么坐在上的人会正常经历时间，坐在上的人也会正常经历时间。然而，如果坐在上的人能看到上的时钟，那么它看起来会走得很慢，类似地，如果坐在上的人能看到上的时钟，那么它看起来也会走得很慢。
这些结果现在已经通过实验验证，但我们应该暂停片刻，思考一些仍然存在的问题。“正常经历时间”这个短语是什么意思？时钟走得慢意味着时间走得慢吗？我们仍然不知道时间是什么，我们将其等同于由时钟决定的东西，无论是某种设备还是我们的生物钟。关于这一点，我们只能说所有类型的时钟在时间膨胀上似乎都一致，如果我们不能将时间与时钟等同起来，那么我们需要一个仍然完全缺失的重大新想法。
1908年9月21日，赫尔曼·闵可夫斯基在科隆大学以这些话开始了他的著名演讲：-
我希望呈现在诸位面前的空间和时间观点，源自实验物理学的土壤，其力量也正在于此。这些观点是彻底的。从此以后，单独的空间和单独的时间都注定要消逝为纯粹的阴影，只有两者的某种结合才能保持独立的实在。
他还说：-
从来没有人注意到一个地点，除非是在某个时间；也没有人注意到一个时间，除非是在某个地点。
赫尔曼·外尔很快理解了赫尔曼·闵可夫斯基提出的新概念。他写道：-
实在的活动舞台是……一个四维世界，其中空间和时间不可分割地联系在一起。无论在我们的经验中，空间的直观本性与时间的直观本性之间隔着多么深的鸿沟，这种质的差异没有任何部分进入物理学试图从直接经验中结晶出来的客观世界。它是一个四维连续统，既不是“空间”也不是“时间”。
在我们从狭义相对论继续前进之前，必须考虑一个方面，它在赫尔曼·闵可夫斯基的四维时空中，实际上在任何版本的相对论中，似乎都特别困难。既然时间只对单个观察者有意义，不同地点的不同观察者各有自己的本地时间，那么“现在”意味着什么。阿尔伯特·爱因斯坦认为这是人的概念，在宇宙的数学描述中没有意义。Rudolf Carnap报告了阿尔伯特·爱因斯坦的观点：-
阿尔伯特·爱因斯坦说，“现在”问题让他深感困扰。他解释说，“现在”的体验对人来说意味着某种特殊的东西，本质上不同于过去和未来，但这种重要区别在物理学中并不存在，也不可能存在。在他看来，这种体验无法被科学把握，是一件令人痛苦却又不得不接受的事。
事实上阿尔伯特·爱因斯坦写道：
……“现在”有某种本质性的东西，它处于科学领域之外。
事实上，相对论似乎只是让我们认识到，时间是一个比艾萨克·牛顿的绝对时间困难得多的概念。然而，它对于回答“时间是什么？”这一根本问题并没有作出贡献。
广义相对论将引力纳入时空理论。这对时间有一些进一步的重要影响。不仅时间受速度影响，如狭义相对论所示，时间还受大质量物体的影响。地球是一个大质量物体，但质量不够大，不足以对时间的流逝产生大的影响。事实上，地球表面上的时钟会比不受引力作用的时钟走得慢。然而，这个量非常小，我们的地球时钟每小时会慢约秒。事实上，现在已测量出在高楼顶部与底部时钟运行速率的差异。正如我们提到的，地球的引力与某些天文物体如中子星相比是小的。这类物体由在引力作用下坍缩的原子组成。中子星表面的时间膨胀非常显著，那里的时钟会比地球表面慢20%。引力的极致出现在黑洞，对于这样的物体，引力如此之强，以至于时间实际上停止了。
我们已经谈过能够检测每小时秒时间差的实验。我们在本文开头指出，在20世纪初，时间可以测量到每小时约秒的精度。这是通过近乎自由的摆钟实现的。我们现在应该看看发生的时钟革命。
自由摆是完全不受机械任务（例如作为时钟驱动机制的一部分）影响的摆，这些任务会阻止它完全规律。R J Rudd于1898年引入了真正的自由摆钟，然后W H Shortt于1921年引入了带有两个摆的钟。一个摆是真正的自由摆，另一个是时钟驱动机制的一部分。1928年，W A Marrison在贝尔实验室建造了一种全新类型的钟，即石英晶体钟。这些钟今天被广泛使用，是利用石英晶体在电场中以标准频率振动这一事实的机械装置。
1949年，美国国家标准局使用氨建造了第一台原子钟。大约1960年，铯原子被用于原子钟。其精度如此之高，以至于到1967年，秒从最初作为一天的分数的天文定义，改为定义为铯原子共振频率的9,192,631,770次振荡。到1993年，美国国家标准与技术研究院建造了一台精确到分之五的原子钟。
现在让我们看看20世纪随着量子力学的发现而发生的另一次时间革命，见[10]。在一篇这样的文章中，确实不可能涵盖与量子理论相关的时间的所有方面，但我们将考察一两个问题，以感受它们之间的关系。首先要注意的是，量子理论是在艾萨克·牛顿的绝对时间框架内发展起来的。
维尔纳·海森堡于1927年发现了不确定性原理。其最著名的表述是：粒子位置的不确定性与动量的不确定性的乘积有一个下限，因此，一个人越能精确测量粒子的位置，对其动量的了解就越不确定。即使在这种形式下，它对我们已经讨论过的时间方面也有直接的后果，因为它意味着皮埃尔·西蒙·拉普拉斯认识到艾萨克·牛顿的定律意味着未来完全由现在决定，这一认识不会延伸到量子理论。实际上，根据艾萨克·牛顿的定律预测未来是不可能的，但理论上是可以做到的。然而，不确定性原理意味着，在理论上不可能以预测未来所需的任意精度来了解现在。
不确定性原理也以同样的方式联系着其他成对的量。例如，粒子的能量和测量该能量的时间不能同时以任意精度确定。一个人越精确地确定测量能量的时间，就越不能准确地知道该能量。阿尔伯特·爱因斯坦对不确定性原理深感不满，因为它意味着世界永远无法被完全准确地描述，而他认为世界本不应如此。他设计了许多思想实验，试图反驳不确定性原理，并将它们作为挑战向尼尔斯·玻尔提出。最著名的一个是阿尔伯特·爱因斯坦在1930年布鲁塞尔索尔维会议上提出的“盒中的钟”。然而，在我们描述它之前，我们应该强调，不确定性原理不是关于测量的实际问题，而是关于理论上的不确定性。阿尔伯特·爱因斯坦的“盒中的钟”思想实验的要点是论证一个理论案例。实际上不可能进行这个实验这一事实并不相关。
阿尔伯特·爱因斯坦的“盒中的钟”由一个悬挂在弹簧上的盒子组成。盒子里有一个钟，它操作一个快门。盒子旁边有一个刻度，盒子上附有一个指针来测量其高度。显然，如果盒子增加了重量，弹簧会拉伸，指针会沿刻度下降。同样，如果盒子变轻，弹簧会将盒子抬起，指针会沿刻度上升。阿尔伯特·爱因斯坦提出的实验是打开快门一段极短的时间，让一个粒子逃逸。我们可以通过让快门打开我们想要的任意短的时间，来把我们想要的任意精确的逃逸时间固定下来。但是，阿尔伯特·爱因斯坦声称，我们可以随心所欲地精确测量粒子的能量，因为它的能量由其质量决定，所以我们通过在盒子底部附加一个重量使指针回到其原始位置来测量质量。巧妙之处在于，时间和能量是独立计算的。
起初，“盒中的钟”让尼尔斯·玻尔感到担忧，但他很快意识到不确定性原理在这种情况下是如何起作用的。要称量粒子，必须测量指针在刻度上静止时的位置。但判断指针静止并测量其位置都受不确定性原理的制约。我们越精确地确定指针静止，对其位置的确定就越不准确。这个实验中还有第二个不确定性。如果我们不能以任意精度测量盒子的高度，我们就不能以任意精度测量盒内钟的高度，因此我们就不能以任意精度知道钟的速率（根据阿尔伯特·爱因斯坦自己的广义相对论结果）。
在“盒中时钟”思想实验中，我们已经看到相对论和量子理论如何开始相互作用。早期将这两种理论结合起来的若干尝试都围绕时间问题展开。爱德华·亚瑟·米尔恩发展了一套复杂的宇宙学理论，试图统一相对论和量子理论，其中包含取非常数值，即我们所知的引力常数。为了解释这一点，爱德华·亚瑟·米尔恩实际上发展出两个独立的时间尺度：运动学时间和牛顿时间τ。这两个时间尺度由以下关系相联系：
其中是当前纪元。对我们来说，始终等于，因此被约化为一个常数。爱德华·亚瑟·米尔恩宇宙学的结果是一个具有无限过去年龄的静态宇宙，这当然成为稳恒态理论的先导。它还意味着宇宙中有无限多个粒子，爱德华·亚瑟·米尔恩觉得这一结果无法检验。爱德华·亚瑟·米尔恩将此解释为存在两个“实在”，各自遵循不同的时间尺度，而任何涉及“实在”的问题在科学上都是不合法的。
保罗·狄拉克在发展他的大数假说时处理了一个类似的问题。他被迫最初创建两个时间尺度，很像爱德华·亚瑟·米尔恩，一个是原子的，另一个是全局的（牛顿的）。原子时间被用来描述放射性衰变，而全局时间则应用于大尺度现象。保罗·狄拉克被迫得出这一结论，是因为大数假说的结果打乱了月球和太阳的年龄计算。他也有一个变化的值，不过他的值在减小，而爱德华·亚瑟·米尔恩的值在增大。保罗·狄拉克后来放弃了双重时间尺度的想法。
量子理论中的时间似乎与相对论中的时间相矛盾，这令人担忧。这一想法最早由阿尔伯特·爱因斯坦与Nathan Rosen和Boris Podolsky于1935年提出，并以提出者姓名的首字母被称为EPR实验。它依赖于这样一个事实：量子事件有时会产生一对具有互补性质的粒子——例如它们必须具有相反的 spins。在量子理论中，粒子在我们测量它之前将具有两种可能状态的性质，测量时它坍缩为两种状态之一。然而，当我们测量一个粒子并使其坍缩为一种状态时，另一个粒子必须瞬间具有互补性质。阿尔伯特·爱因斯坦坚信信息传播速度不可能超过光速，并以此作为对量子理论的反对。然而，这种形式的EPR实验似乎无法检验。
约翰·斯图尔特·贝尔在20世纪60年代改进了EPR实验，设计出一种方法来检验粒子在被测试之前是否具有所有可能状态。经典理论（或常识理论）会说，这两个粒子在被创造时就有确定的状态，只是我们在测试其中一个之前不知道它们是什么。约翰·斯图尔特·贝尔发现了“贝尔不等式”，它在经典情形下成立。如果能够进行这样的实验，就能验证粒子是否只在被测试时才选择其状态，但在约翰·斯图尔特·贝尔提出他的版本时，实验超出了当时的技术水平。20世纪80年代初，Alain Aspect在巴黎奥赛成功进行了这一实验。他表明约翰·斯图尔特·贝尔的不等式被违反，因此量子解释成立，而非经典解释。然而，其含义是，当一个粒子被测试并选择某一特定状态时，它的伙伴必须在同一瞬间选择互补状态。这违反了相对论的基本原理，即信息传播速度不可能超过光速。对“时间”的含义仍未完全理解。
Hugh Everett于1957年提出的一种量子理论解释是多世界解释。在这种解释中，每当量子事件被迫在两种状态之间选择时，宇宙就分裂为两个。这一理论对时间有什么影响？在[3]中，Deutsch支持多世界解释，并反对时间从过去流向现在再流向未来的观点。他反对这一观点的理由是，要测量现在如何向前移动，就需要第二个“时间”来衡量我们标准时间的进展。同样，要测量这第二个时间的流动，又需要第三个时间，如此类推。Deutsch呈现了一个由快照组成的宇宙，而不是随时间流动的连续进程。
其他想法认为，时空不是四维的，而是有更多维度。这类理论试图将所有物理学理论统一在一个单一的数学框架下。在这样的高维空间中，时间旅行似乎是一种可能，但本文不会探讨这种可能性。然而，问是否存在不止一个时间维度是合理的。如果我们生活在一个时间是二维的宇宙中，那意味着什么？
史蒂芬·霍金提出了一些关于虚时间的想法；例如见[7]和[4]。他在[7]中写道，一个将宇宙的时间/大小模型视为球体的模型：-
……其中，离北极的距离代表虚时间，离北极等距的圆的周长代表宇宙的空间大小。宇宙从北极作为一个单点开始。当人们向南移动时，离北极等距的纬线圆变得更大，对应于宇宙随虚时间而膨胀。……即使宇宙在北极和南极的大小为零，这些点也不会是奇点。……科学定律将在这些点成立……然而，实时间中的历史将看起来非常不同……
在将实时间中的外观描述为始于一个奇点之后，他接着想知道哪一个才是“真正的”时间：-
这可能表明，所谓的虚时间才是真正的时间，而我们所谓的实时间只是我们想象力的虚构。在实时间中，宇宙在奇点中有开始和结束，这些奇点构成了时空的边界，并且科学定律在这些奇点处失效。但在虚时间中，没有奇点或边界。所以也许我们所谓的虚时间更为基本，而我们所谓的实时间只是我们发明的一个观念，用以帮助我们描述我们认为宇宙真正像什么。
罗杰·彭罗斯在[6]中采取了不同的方法，但对我们对时间的感知得出了类似的结论：-
我们‘似乎’感知到的时间顺序，我主张，是我们强加于我们的感知之上的东西，以便根据外部物理实在的均匀向前的时间进程来理解它们。
时间是一个引人入胜的话题，新的想法不断被提出。它或许仍然是宇宙最神秘的属性。