数学史专题
虽然希腊人讨论过行星的运动，但他们相信行星绕地球旋转，因此在这篇文章中对我们意义不大，尽管本轮方法是对Fourier series的早期应用。
第一个提出将为重大进展奠定基础的行星路径体系的是尼古拉·哥白尼，他在De revolutionibus orbium coelestiumⓉ（天体的运行）（1543年）中主张行星和地球绕太阳运动。尽管这是一个重大突破，但尼古拉·哥白尼为行星提出了圆形路径，而精确的天文观测很快开始表明他的提议并不严格准确。
你可以在THIS LINK看到De revolutionibus orbium coelestiumⓉ（天体的运行）中的一幅图，展示了尼古拉·哥白尼的太阳系。
1600年，约翰内斯·开普勒成为第谷·布拉赫的助手，后者当时正在对行星进行精确观测。第谷·布拉赫于1601年去世后，约翰内斯·开普勒继续这项工作，以前所未有的精度计算行星路径。
约翰内斯·开普勒表明，行星绕太阳沿椭圆路径运动，太阳位于椭圆的两个焦点之一。他还表明，连接行星与太阳的直线在相等时间内扫过相等的面积，当行星描绘其路径时。这两条定律最初都是为火星制定的，并发表在Astronomia Nova Ⓣ(新天文学)(1609)中。
你可以在THIS LINK看到一张来自Astronomia Nova Ⓣ(新天文学)的图，展示了约翰内斯·开普勒的火星椭圆路径。
然而，科学家们当然没有热情地接受约翰内斯·开普勒的前两条定律。第一条受到了冷淡的接待，并且肯定被认为需要进一步的工作来确认它。约翰内斯·开普勒的第二条定律遭遇了更糟糕的命运，基本上被科学家们忽视了大约80年。
约翰内斯·开普勒的第三定律，即行星周期的平方与其路径平均半径的立方成正比，出现在Harmonice mundi Ⓣ(世界的和谐)(1619)中，并且，鉴于上述评论，也许令人惊讶的是，从出版之时起就被广泛接受。
1679年，罗伯特·胡克写了一封信给艾萨克·牛顿。在信中，他解释了他如何认为行星运动是中心力不断使行星偏离其直线路径的结果。艾萨克·牛顿没有直接回答这一点，而是解释了他自己的想法，即地球的旋转可以从以下事实得到证明：从塔顶落下的物体应比从塔脚附近落下的物体具有更大的切向速度。
艾萨克·牛顿提供了粒子将遵循的路径的草图，相当错误地显示它向地球中心螺旋。罗伯特·胡克回答说，他的行星运动理论将导致粒子的路径是一个椭圆，因此，如果不是因为地球挡住了路，粒子在走完椭圆后会回到其原始位置。
艾萨克·牛顿不是那种喜欢被纠正的人，他不得不承认自己最初的草图不正确，但他是在假设引力恒定的前提下“修正”了罗伯特·胡克的草图。罗伯特·胡克回复艾萨克·牛顿说，他自己的理论涉及引力吸引的平方反比定律。许多年后，罗伯特·胡克声称自己优先提出了引力平方反比定律，并用这封写给艾萨克·牛顿的信来支持自己的主张。
值得强调的是，从力的平方反比定律到解释行星运动以及万有引力定律，中间还有一大步要走。当然，月球绕地球的运动并不一定被视为与支配行星绕太阳运动的定律相同。
在这些事件发生五十年后，艾萨克·牛顿记录了他自己对这段往事的回忆，这些回忆虽然有趣，却与已知的历史事实并不相符！[我保留了艾萨克·牛顿的古英语。]
同年，我开始思考重力延伸到月球轨道的问题，并且（在弄清了如何估算一个在球体内旋转的球体对球面的压力之后）根据约翰内斯·开普勒关于行星周期时间与其到轨道中心距离成三次方比的规则，我推导出使行星保持在轨道上的力必定与它们到其绕转中心的距离的平方成反比：并据此把维持月球在其轨道上所需的力与地球表面的重力作了比较，发现它们相当接近。这一切都发生在1665—1666那两个瘟疫年份……
1684年，克里斯托弗·雷恩、罗伯特·胡克和爱德蒙·哈雷在皇家学会讨论了行星轨道的椭圆形是否是取决于到太阳距离的平方反比力定律的结果。爱德蒙·哈雷写道，
胡克先生说他已经知道了，但他要隐瞒一段时间，以便其他人在反复尝试和失败之后，在他公布时能够知道如何珍视它。
同年稍后的八月，爱德蒙·哈雷在剑桥拜访了艾萨克·牛顿，问他一个物体在平方反比力定律下会沿什么轨道运动
艾萨克爵士立刻回答说那将是一个椭圆，博士又惊又喜，问他怎么知道的，他说，怎么，我计算过它，于是爱德蒙·哈雷博士毫不迟疑地向他索要计算，艾萨克爵士在他的文件中翻找却找不到，但他答应重新做一遍，然后寄给他。
尽管艾萨克·牛顿在上面的引文中声称如此，他实际上在1680年就证明了这一结果，这是罗伯特·胡克来信的直接结果。艾萨克·牛顿确实重新修改了他的证明，并将一篇九页的论文De motu corporum in gyrum Ⓣ（论物体在轨道上的运动）寄给了爱德蒙·哈雷。它既没有陈述万有引力定律，也没有陈述艾萨克·牛顿的运动三定律。所有这些都将在接下来的几年中发展，成为Principia的基础。
爱德蒙·哈雷在很大程度上负责确保Principia得以出版。他在1687年4月之前收到了艾萨克·牛顿的完整手稿，但存在许多问题，尤其是艾萨克·牛顿在罗伯特·胡克声称拥有力的平方反比定律的优先权时，试图阻止第三卷的出版。
在Principia中，两个吸引物体在平方反比力定律下的问题被完全解决（在第一卷的命题1-17、57-60中）。艾萨克·牛顿论证说，平方反比定律必定产生椭圆、抛物线或双曲线轨道。
1680年11月14日出现了一颗明亮的彗星。它一直可见到1680年12月5日，当时它离太阳太近而无法观测。两周后它再次出现，沿着几乎与接近时相同的路径远离太阳。艾萨克·牛顿发现它的轨道与抛物线吻合良好。他在Principia中利用这颗彗星以及一般的彗星来支持他的引力平方反比定律。
你可以在Principia的THIS LINK看到1680年彗星轨道的示意图。
在Principia中，艾萨克·牛顿还推导出了约翰内斯·开普勒第三定律。他简要地（在命题65和66中）研究了三个物体的问题。然而艾萨克·牛顿后来表示，三个物体的精确解
如果我没有弄错的话，超出了任何人类心智的能力。
在这个阶段，考察现在出现的问题是很重要的。艾萨克·牛顿已经完全解决了在平方反比引力定律下两个质点运动的理论问题。对于多于两个质点的情况，只能找到物体运动的近似解，这一研究方向促使数学家们付出巨大努力来发展攻克三体问题的方法。然而，太阳系中行星和卫星的实际运动问题因其他考虑而变得高度复杂。
即使把地月系统当作一个在Principia中理论上已解决的两体问题，其轨道也不会是简单的椭圆。地球和月球都不是完美的球体，因此其行为不像质点。这导致了刚体力学的发展，但即便如此，也不能给出两体问题的完全准确的图景，因为潮汐力意味着地球和月球都不是刚性的。
艾萨克·牛顿在Principia中所使用的观测数据由皇家格林尼治天文台提供。然而，像Richard Westfall这样的现代学者声称，艾萨克·牛顿有时会调整他的计算以迎合他的理论。当然，观测证据不能被用来证明引力的平方反比定律。在Principia的时代，将观测与理论联系起来存在许多问题，而且还会出现更多问题。
爱德蒙·哈雷使用了艾萨克·牛顿的方法，发现了一些彗星的轨道几乎呈抛物线。当他计算1537年、1607年出现的三颗彗星以及爱德蒙·哈雷自己在1682年观测到的一颗彗星的轨道时，他发现这些轨道的特征几乎完全相同。爱德蒙·哈雷推断它们是同一颗彗星，后来又能将其与1456年和1378年出现过的一颗彗星对应起来。他计算了这颗彗星的椭圆轨道，并注意到木星和土星在彗星每次回归之间都会轻微扰动其轨道。考虑到这些扰动，爱德蒙·哈雷预测这颗彗星将会回归，并于1759年4月13日到达近日点（离太阳最近的点）。他给出了该日期前后各一个月的误差。这颗彗星实际上在1758年12月首次被再次看到，并于1759年3月12日到达近日点。
1713年，由罗杰·柯特斯编辑的Principia第二版问世。罗杰·柯特斯写了一篇序言，为Principia中给出的引力理论辩护。罗杰·柯特斯本人则通过求三角函数的导数提供了下一步的数学进展，这些结果在他去世后发表。
莱昂哈德·欧拉在1739年发展了积分线性微分方程的方法，并公开了罗杰·柯特斯关于三角函数的工作。他在1744年编制了月球表，显然已经在研究地球、月球、太阳系统中的引力吸引。亚历克西斯·克劳德·克莱罗和让·勒朗·达朗贝尔也在研究月球的摄动，并且在1747年，亚历克西斯·克劳德·克莱罗提出在引力定律中增加一个项，以解释观测到的近日点运动，即月球轨道上离地球最近的点。
然而到1748年底，亚历克西斯·克劳德·克莱罗发现更精确地应用平方反比定律已接近解释该轨道。他在1752年发表了自己的版本，两年后，让·勒朗·达朗贝尔发表了他的计算，其近似中使用的项数比亚历克西斯·克劳德·克莱罗更多。事实上，这项工作对于使艾萨克·牛顿的平方反比力定律在欧洲大陆被接受具有重要意义。
地球的自转轴会进动，即自转轴的方向本身以约26000年的周期旋转。进动是由太阳对地球赤道隆起的引力吸引引起的，该隆起由艾萨克·牛顿预测。乔凡尼·多美尼科·卡西尼在1712年测量了一段经线弧长，但得到的结果错误地表明地球在两极是拉长的。1736年，皮埃尔·莫佩尔蒂获得了正确的结果，验证了艾萨克·牛顿的预测。然而，这说明了当时数学家们所遇到的问题：关于太阳系中天体的基本数据，甚至地球的数据，都极不准确。
在进动上叠加着一个称为nutation的小周期效应，由月球近日点的运动引起。这种叠加效应具有18.6年的周期，最早由詹姆斯·布拉德利在1730年观测到，但直到18年后他观测到完整周期才宣布。让·勒朗·达朗贝尔很快表明，布拉德利观测到的周期可以从平方反比定律推导出来，而莱昂哈德·欧拉在1750年代通过对刚体力学进一步的工作，进一步阐明了这一点。
木星和土星的轨道问题从约翰内斯·开普勒的第一个椭圆轨道理论起就困扰着天文学家和数学家。巴黎Académie des Sciences在1748年、1750年和1752年为该主题的工作提供了奖项。1748年，莱昂哈德·欧拉对土星轨道摄动的研究为他赢得了该奖。然而，他为1752年奖项所做的工作包含许多数学错误，直到17年后才发表。不过，它确实包含了重要的思想，这些思想由于莱昂哈德·欧拉的工作不为人知而被独立发现。
约瑟夫·拉格朗日因关于月球天平动的工作于1764年获得Académie des Sciences奖。这是月球指向地球的轴的一种周期性运动，使得在一段时间内可以看到月球表面超过50%的部分。他还因关于木星卫星轨道的工作于1766年获得Académie des Sciences，在那里他给出了数学分析，以解释在卫星食序列中观测到的一种不等性。
莱昂哈德·欧拉从1760年起，似乎是最早研究相互引力下三体的一般问题（而非仅仅考察太阳系中的天体）的人，尽管起初他只考虑了其中一个天体质量可忽略时的限制性三体问题。当一个天体质量可忽略时，假定另外两个天体的运动可作为二体问题求解，质量可忽略的天体对另外两个天体没有影响。于是问题就变成确定第三个天体的运动，它受到相互绕转的另外两个天体的吸引。即使在这种形式下，该问题也不能导致精确解。然而，莱昂哈德·欧拉找到了三个天体位于一条直线上的一个特解。
第一颗被计算出轨道远离抛物线的椭圆轨道的彗星是由安德斯·约翰·莱克塞尔在1769年观测到的。椭圆轨道是由安德斯·约翰·莱克塞尔计算出来的，他正确地认识到这个小椭圆轨道是由木星的摄动产生的。这颗彗星没有再出现，⟦L4⟧再次正确地推断出木星极大地改变了轨道，以至于它被抛离太阳很远。
1772年关于月球轨道工作的Académie des Sciences奖由约瑟夫·拉格朗日和莱昂哈德·欧拉共同获得。约瑟夫·拉格朗日提交了Essai sur le problème des trois corpsⓉ（《三体问题论》），其中他证明了莱昂哈德·欧拉的限制性三体解对一般三体问题也成立。他还发现了另一个解，其中三个天体位于等边三角形的顶点。约瑟夫·拉格朗日认为他的解不适用于太阳系，但我们现在知道地球和木星都有小行星以约瑟夫·拉格朗日发现的等边三角形解构型共享其轨道。对于木星，这些天体被称为特洛伊行星，最早发现的是1908年的阿基里斯。特洛伊行星在木星前方60°和后方60°处运动，这些位置现在被称为Lagrangian points。
你可以在THIS LINK看到6000颗已知小行星的位置，它们的轨道现在已知。拉格朗日点的效应显而易见。木星是图中描绘的最外层行星。
然而，所有关于太阳系天体轨道的这些工作都未能跟上观测的步伐，观测似乎总是领先一步，给理论家们提出一个又一个需要解释的问题。皮埃尔·西蒙·拉普拉斯从1774年起，成为理论家们试图解释观测者观测结果的重要贡献者。
约瑟夫·拉格朗日在1776年的一篇论文中引入了任意常数变易法，指出该方法在天体力学中很有意义，并且在特殊情况下，莱昂哈德·欧拉、皮埃尔·西蒙·拉普拉斯和他本人已经使用过。约瑟夫·拉格朗日在1783年和1784年发表了关于利用任意常数变易法研究轨道摄动理论的进一步重要论文，并在1785年将他的理论应用于木星和土星的轨道。
1781年3月13日发生了一个重要进展，天文学家威廉·赫歇尔（约翰·赫歇尔之父）在英格兰巴斯的私人天文台进行观测时发现
几乎在发现后立即就被认识到是一颗行星，并且在发现后一年内就证明其轨道几乎是圆形的。最终采用了天王星这个名字，尽管威廉·赫歇尔本人提议Georgium Sidus（也许是希望从国王乔治那里获得更多资金！），而在法国，直到下个世纪中叶它一直被称为Herschel。
皮埃尔·西蒙·拉普拉斯于1785年11月23日向Académie des Sciences宣读了一篇论文，其中他对除天王星外所有行星及其卫星的理论与观测之间所有剩余的主要差异给出了理论解释。他还首次讨论了太阳系的稳定性问题。这项工作最终促成了Mécanique céleste Ⓣ（《天体力学》）（1799年）的出版，其中除许多其他重要结果外，他声称证明了太阳系的稳定性。
18世纪末理论未能解释的剩余观测涉及月球的运动。皮埃尔·西蒙·拉普拉斯1787年的工作、约翰·柯西·亚当斯1854年的工作以及后来下文描述的夏尔-欧仁·德洛奈的工作最终提供了解决方案。19世纪初对天王星的观测表明其轨道存在问题，到1830年，天王星已经偏离最佳拟合椭圆15″。
太阳系中发现的下一个天体是1801年发现的小行星谷神星。1766年J D Titius和1772年J E Bode曾指出
给出了6颗已知行星到太阳的距离（取地球距离为1），只是距离2.8处没有行星。距离19.2处发现的天王星接近序列19.6的下一项。
人们开始寻找距离2.8处的行星，1801年1月1日G Piazzi发现了这样一个天体。2月11日Piazzi生病并结束了观测。这颗新行星未被其他天文学家观测到，它从太阳背后经过而丢失了。然而卡尔·弗里德里希·高斯以一项出色的工作，能够根据少量观测计算出轨道。事实上，卡尔·弗里德里希·高斯的方法只需要3次观测，并且本质上仍是今天计算轨道所使用的方法。由Piazzi命名的谷神星，被发现位于卡尔·弗里德里希·高斯所预测的位置。它到太阳的距离恰好符合提丢斯-波得定则的2.8预测。
约翰·弗朗茨·恩克，卡尔·弗里德里希·高斯的学生，计算（使用卡尔·弗里德里希·高斯的方法）了1818年彗星的椭圆轨道。它具有已知最短的周期3.3年。该周期显示出周期性减小，约翰·弗朗茨·恩克无法用其他行星的摄动来解释。
19世纪对一般三体问题的研究开始沿着两条不同的路线展开。一条是发展高度复杂的近似天体运动的方法。另一条是建立一种精妙的理论来变换和积分运动方程。第一条路线是天体力学，第二条是有理力学或分析力学。摄动理论和任意常数变易理论都具有重大的数学意义，并且极大地促进了对行星轨道的理解。
威廉·哈密顿在1834年和1835年发表的论文对环绕天体的力学做出了重大贡献，卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅可比在1843年发表的重要论文也是如此，他在其中将两颗实际行星环绕太阳的问题归结为两个理论质点运动的问题。作为一级近似，这两个理论质点沿椭圆轨道环绕原系统的重心运动。然后他使用一种最早由约瑟夫·拉格朗日发现的方法来计算摄动。约瑟·伯特兰在1852年推广了卡尔·古斯塔夫·雅各布·雅可比的工作。
1836年，约瑟夫·刘维尔研究了行星理论、三体问题以及小行星谷神星和灶神星的运动。这一时期许多数学家将大量时间投入到这些问题上。约瑟夫·刘维尔在研究摄动理论时做出了若干非常重要的数学发现，包括发现约瑟夫·刘维尔定理“当相空间中的有界区域按照威廉·哈密顿方程演化时，其体积守恒”。
到大约1840年，天王星轨道的不规则性促使许多科学家寻找其原因。亚历克西·布瓦尔（一位行星数据收集者）提出可能有一颗行星可以解释这些不规则性，他写信给英国皇家天文学家乔治·比德尔·艾里提出了这一想法。弗里德里希·威廉·贝塞尔也提出了这一问题的解决方案，但在完成计算之前就去世了。夏尔-欧仁·德洛奈因其对月球轨道的研究而闻名，在1842年的一篇论文中研究了这些摄动。弗朗索瓦·阿拉戈敦促于尔班·勒维耶研究这个问题，1846年6月1日，勒于尔班·勒维耶表明这些不规则性可以用一颗未知行星来解释，并确定了该行星将被发现的位置坐标。柏林的天文学家伽勒于9月26日发现了这颗新行星，其位置与于尔班·勒维耶预测的位置惊人地接近。这些观测于1846年9月29日在巴黎天文台得到证实。
这是艾萨克·牛顿的引力理论和天体力学理论的一项非凡成就。然而于尔班·勒维耶的个人胜利有所减色，因为10月15日发表了一封英国天文学家Challis的来信，声称剑桥大学的约翰·柯西·亚当斯做出了与于尔班·勒维耶相似的计算，后者已于1845年9月完成。他对新行星的预测位置几乎与Le 勒维耶的一样准确，但英国天文学家在搜寻中远没有那么勤勉。约翰·赫歇尔和乔治·比德尔·艾里也支持Adams的优先权主张。事实上，Challis在长时间拖延后，于1846年7月29日开始搜寻新行星。他在8月4日观测到了它，但没有将观测结果与前一夜的比较，因此直到约7周后在柏林发现该行星后才意识到自己已经观测到了它。弗朗索瓦·阿拉戈对约翰·柯西·亚当斯的优先权主张不以为然
约翰·柯西·亚当斯先生无权在行星“Le 勒维耶”发现史中出现，无论是详细引用还是最微弱的暗示。在所有公正的人眼中，这一发现将仍然是理论天文学最辉煌的胜利之一，是Académie的荣耀之一，也是我国最美丽的殊荣之一。
于尔班·勒维耶和约翰·柯西·亚当斯的数学分析的成功有些幸运。他们预测的轨道不同，而且除了在1840年代前后之外都不特别好。然而，关于新行星命名的争论却是不幸的。弗朗索瓦·阿拉戈被于尔班·勒维耶赋予选择名字的任务，而于尔班·勒维耶以一种不微妙的方式表达了他的愿望，他写了一篇关于威廉·赫歇尔的行星的论文，坚持天王星应以其发现者命名。上文提到的卡尔·弗里德里希·高斯的学生约翰·弗朗茨·恩克建议用海王星作为名字。然而弗朗索瓦·阿拉戈说
我承诺永远只用勒勒维耶来称呼这颗新行星。这样，我想我将给出一个无可指摘的证明，表明我对科学的热爱，并遵循一种正当民族情感的启示。
关于命名的争论导致于尔班·勒维耶从经度局辞职，最终弗朗索瓦·阿拉戈在命名之争中失败，而海王星这一名称被接受。
上面因研究天王星摄动而提到的夏尔-欧仁·德洛奈，在月球理论上工作了20年。他将其视为限制性三体问题，并使用变换来产生月球经度、纬度和视差的无穷级数解。他的理论的开端发表于1847年，他不断完善该理论，直到它于1860年和1867年分两卷出版，并且极其精确，其唯一缺点是无穷级数收敛缓慢。
夏尔-欧仁·德洛奈发现月球的观测运动与他的预测之间存在差异。于尔班·勒维耶声称夏尔-欧仁·德洛奈的方法有误，但夏尔-欧仁·德洛奈声称这些差异是由未知因素造成的。1865年，夏尔-欧仁·德洛奈提出这些差异源于潮汐摩擦导致的地球自转减慢，这一解释如今被认为是正确的。
于尔班·勒维耶于1859年发表了他关于水星理论的论述。他指出，近日点（行星离太阳最近的点）的预测运动为每世纪527"，而观测值为每世纪565"，两者之间存在每世纪38"的差异。事实上，实际的差异是每世纪43"，这一点后来由西蒙·纽康指出。于尔班·勒维耶确信在水星轨道内存在一颗行星或一圈物质，但由于靠近太阳而未被观测到。
于尔班·勒维耶的搜寻被证明是徒劳的，到1896年，费利克斯·蒂斯朗已得出结论：不存在这样的摄动天体。西蒙·纽康通过假设引力平方反比定律有微小偏离来解释近日点运动的差异。这是长期以来第一次有人对艾萨克·牛顿的理论提出质疑。事实上，水星近日点运动的这一差异后来提供了证据，证明牛顿理论必须让位于阿尔伯特·爱因斯坦的相对论。关于水星近日点进动的更多细节载于广义相对论上关于广义相对论的文章中。
G W Hill于1878年发表了他关于月球理论的论述。早期的方法从月球绕地球的椭圆轨道出发，假设太阳没有影响，然后对轨道进行摄动以考虑太阳的引力。另一方面，乔治·威廉·希尔从太阳和月球绕地球的圆轨道出发，进而考察假设椭圆轨道所引起的摄动。
我们将要考虑的三体问题研究的最后一个重大进展是儒勒·昂利·庞加莱的工作。海因里希·布伦斯于1887年证明，除了10个经典积分——6个关于重心、3个关于角动量、1个关于能量——之外，不可能存在其他积分。1889年，儒勒·昂利·庞加莱证明了对于限制性三体问题，除了雅可比积分外不存在其他积分。1890年，儒勒·昂利·庞加莱证明了他著名的回复定理，即在相空间的任何小区域内都存在无限次经过该区域的轨道。儒勒·昂利·庞加莱在1892年至1899年间出版了3卷Les méthods nouvelle de la mécanique celesteⓉ（天体力学新方法）。他讨论了早期数学家所讨论的级数解的收敛性和一致收敛性，并证明它们不是一致收敛的。在此结果之后，约瑟夫·拉格朗日和皮埃尔·西蒙·拉普拉斯的稳定性证明变得不确定。
儒勒·昂利·庞加莱于1912年为三体问题中轨道稳定性理论引入了进一步的拓扑方法。事实上，儒勒·昂利·庞加莱在试图回答三体问题中的稳定性问题时本质上发明了拓扑学。他猜想限制性问题存在无穷多个周期解，这一猜想后来由乔治·戴维·伯克霍夫证明。三体问题中轨道的稳定性也由图利奥·列维-齐维塔、乔治·戴维·伯克霍夫等人研究过。
