数学史专题
最近的研究为我们对阿拉伯/伊斯兰数学所欠的债描绘了一幅新的图景。当然，许多以前被认为是十六、十七和十八世纪欧洲数学家的辉煌新构想的思想，现在已知是由阿拉伯/伊斯兰数学家在大约四个世纪之前发展出来的。在许多方面，今天所研究的数学在风格上远比希腊人的数学更接近阿拉伯/伊斯兰的贡献。
有一种普遍的看法认为，在希腊人为现代数学奠定基础的数学辉煌时期之后，存在一段停滞期，直到十六世纪初欧洲人接续希腊人留下的工作。对于从古希腊人到欧洲文艺复兴之间大约1000年的时期，人们普遍的看法是，数学界几乎没有什么事情发生，只不过出现了一些希腊文本的阿拉伯语译本，这些译本保存了希腊学术，使十六世纪初的欧洲人得以利用。
这样的观点竟被普遍持有，并不令人意外。许多顶尖的数学史家助长了这种看法，他们要么在数学史的历史发展中完全不提阿拉伯/伊斯兰数学，要么发表诸如皮埃尔·杜埃姆在[3]中所说的那种言论：-
……阿拉伯科学只不过复制了从希腊科学那里接受来的学说。
在继续之前，值得尝试界定本文所涵盖的时期，并给出一个总体描述以涵盖做出贡献的数学家们。我们所涵盖的时期很容易描述：它从8世纪末延伸到大约15世纪中叶。然而，要给出一个涵盖做出贡献的数学家的描述就困难得多。著作[6]和[17]是关于“伊斯兰数学”的，类似于[1]使用“穆斯林对数学的贡献”这一标题。其他作者尝试用“阿拉伯数学”这一描述，例如见[10]和[11]。然而，我们想要纳入的数学家肯定并非全是穆斯林；有些是犹太人，有些是基督徒，还有些信奉其他信仰。这些数学家也不全是阿拉伯人，但为方便起见，我们将把我们的主题称为“阿拉伯数学”。
“阿拉伯数学家”来自的地区以伊朗/伊拉克为中心，但在这一时期随军事征服而变化。在其最大范围时，它向西延伸穿过土耳其和北非，包括西班牙的大部分，向东远至中国的边界。
数学发展始于约800年的巴格达，其背景尚未被充分理解。当然，来自印度数学家的影响很重要，他们早期对十进制和数字的发展至关重要。随着花拉子米的工作和希腊文本的翻译，一个显著的数学进步时期开始了。
这一时期始于哈里发哈伦·拉希德，阿拔斯王朝的第五任哈里发，他的统治始于786年。他鼓励学术，希腊文本首次被翻译成阿拉伯语，如欧几里得的Elements由al-Hajjaj翻译，就是在拉希德统治期间完成的。下一任哈里发马蒙比他的父亲拉希德更强烈地鼓励学习，他在巴格达建立了智慧宫，成为翻译工作和研究的中心。肯迪（生于801年）和三位巴努·穆萨在那里工作，著名的翻译家侯奈因·伊本·伊斯哈格也是如此。
我们应当强调，这一时期的阿拉伯语翻译是由上文提到的那些科学家和数学家完成的，而不是由不懂数学的语言专家完成的，并且翻译的需求是由当时最先进的研究激发出来的。重要的是要认识到，翻译并非为翻译而翻译，而是作为当前研究工作的一部分来进行的。被翻译的最重要的希腊数学文本列于[17]中：-
在欧几里得的著作中，《原本》、《数据》、《光学》、《现象》和《论分割》被翻译了。在阿基米德的著作中，已知只有两部——《球与圆柱》和《圆的度量》——被翻译，但这两部足以激发从9世纪到15世纪的独立研究。另一方面，阿波罗尼奥斯的著作几乎全部被翻译，而丢番图和梅涅劳斯则各有一部书，分别是《算术》和《球面学》，被翻译成阿拉伯语。最后，克劳狄乌斯·托勒密的《天文学大成》的翻译提供了重要的天文学材料。
被翻译的较为次要的希腊数学文本也收录在17中：-
……戴可利斯关于镜子的论著、比提尼亚的狄奥多西的《球面学》、帕普斯关于力学的著作、克劳狄乌斯·托勒密的《平面天球》、以及Hypsicles关于正多面体的论著（即所谓的欧几里得《几何原本》第XIV卷和第XV卷）……
阿拉伯数学取得的最重要进展之一或许正是在此时随着花拉子米的工作而开始的，即代数学的开端。理解这一新观念究竟有多么重要是很关键的。这是对希腊数学概念——其本质上是几何学——的一次革命性背离。
代数学是一种统一的理论，它使得有理数、无理数、几何量等都可以被当作“代数对象”来处理。它为数学提供了一条全新的发展道路，在概念上比以往存在的要宽广得多，并为该学科的未来发展提供了载体。引入代数观念的另一个重要方面是，它使数学能够以前所未有的方式应用于自身。正如11中Rashed所写（另见10）：-
花拉子米的继承者们着手将算术系统地应用于代数、代数应用于算术、两者应用于三角学、代数应用于欧几里得数论、代数应用于几何学、几何学应用于代数。多项式代数、组合分析、数值分析、方程的数值求解、新的初等数论以及方程的几何构造就是这样产生的。
让我们暂且跟随代数学的发展，看看花拉子米的继承者们。在花拉子米之后约四十年，是al-Mahani（生于820年）的工作，他构想了将倍立方等几何问题归结为代数问题的想法。阿布·卡米勒（生于850年）在花拉子米与卡拉吉之间构成了代数学发展中的重要一环。尽管没有使用符号，而是用文字写出的幂，但他已经开始理解我们如今用符号写作的内容。我们应当指出，符号直到很久以后才出现在阿拉伯数学中。Ibn al-Banna和卡尔·卡拉迪在15世纪使用了符号，尽管我们不知道他们使用符号的确切起始时间，但我们知道符号至少在此前一个世纪就已被使用。
卡拉吉（生于953年）被许多人视为第一个将代数完全从几何运算中解放出来，并用算术类型的运算取而代之的人，这些运算正是当今代数的核心。他首次定义了单项式和，并给出了任意两者乘积的规则。他开创了一个代数流派，繁荣了数百年。近200年后的Al-Samawal是卡拉吉学派的重要成员。Al-Samawal（生于1130年）是第一个对代数这一新主题给出精确描述的人，他写道，代数涉及：-
……用所有算术工具对未知数进行运算，就像算术家对已知数进行运算一样。
奥马尔·海亚姆（生于1048年）给出了三次方程的完整分类，其几何解通过圆锥曲线的相交找到。奥马尔·海亚姆还写道，他希望在后来的著作[18]中给出三次方程代数解的完整描述：-
如果机会出现并且我能成功，我将给出所有这十四种形式及其所有分支和情况，以及如何区分可能或不可能的情况，以便准备一篇包含在这门艺术中极为有用的要素的论文。
纳西尔丁·图西（生于1135年），尽管与al-Samawal几乎完全同龄，却没有遵循通过卡拉吉的代数流派而来的总体发展，而是遵循了奥马尔·海亚姆将代数应用于几何的做法。他写了一篇关于三次方程的论文，[11]认为：-
……代表了对另一门代数的本质贡献，该代数旨在通过方程研究曲线，从而开创了代数几何的开端。
让我们再举一些阿拉伯数学发展的例子。回到9世纪巴格达的智慧宫，有一位在那里由巴努·穆萨培养的数学家是塔比·伊本·库拉（生于836年）。他对数学做出了许多贡献，但让我们暂时考虑他对数论的贡献。他发现了一个漂亮的定理，可以用来寻找亲和数对，即两个数，其中每一个都是另一个的真因数之和。伊本·塔希尔·巴格达迪（生于980年）研究了塔比·伊本·库拉定理的一个轻微变体，而海什木（生于965年）似乎是最早尝试将所有偶完全数（等于其真因数之和的数）分类为形如的数的人，其中是素数。
海什木也是我们所知的第一个陈述威尔逊定理的人，即如果是素数，那么能被整除。目前尚不清楚他是否知道如何证明这个结果。它被称为Wilson's theorem，因为爱德华·华林在1770年评论说约翰·威尔逊注意到了这个结果。没有证据表明约翰·威尔逊知道如何证明它，而爱德华·华林肯定不知道。约瑟夫·拉格朗日在1771年给出了第一个证明，应该注意到，在海什木之后超过750年，数论才超越了阿拉伯数学的这一成就。
继续亲和数的故事，我们从中岔开了一下，值得注意的是它们在阿拉伯数学中扮演了重要角色。卡迈勒丁·法里西（生于1260年）给出了塔比·伊本·库拉定理的新证明，引入了关于因式分解和组合方法的重要新思想。他还给出了亲和数对17296、18416，这被归功于莱昂哈德·欧拉，但我们知道这些在卡迈勒丁·法里西之前就已知晓，也许甚至塔比·伊本·库拉本人也知道。尽管超出了本文阿拉伯数学的时间范围，但值得注意的是，在17世纪，阿拉伯数学家Mohammed Baqir Yazdi给出了亲和数对9,363,584和9,437,056，这仍然比莱昂哈德·欧拉的贡献早许多年。
让我们转向10世纪左右阿拉伯国家使用的不同计数系统。这一时期使用了三种不同类型的算术，到10世纪末，像伊本·塔希尔·巴格达迪这样的作者已经在撰写比较这三种系统的文本。
1. 手指计算算术。
这一系统源于用手指计数，数字完全用文字书写；这种手指计算算术是商界使用的系统。像Abu'l-Wafa（生于940年）这样的数学家使用这一系统写了几部论著。Abu'l-Wafa本人是使用印度数字的专家，但这些：-
……在很长一段时间内没有在商业圈和东哈里发国的民众中找到应用。
因此他用手指计算算术写了他的文本，因为这是商业界使用的系统。
2. 六十进制系统。
三种系统中的第二种是六十进制系统，数字用阿拉伯字母表示。它最初来自巴比伦人，最常被阿拉伯数学家用于天文工作。
3. 印度数字系统。
第三个系统是使用印度数字和分数的十进制位值算术。所使用的数字是从印度引入的，但并没有一套标准的符号。阿拉伯世界的不同地区使用略有不同形式的数字。起初，阿拉伯人使用印度方法时需借助沙盘。之所以需要沙盘，是因为这些方法要求在计算过程中移动数字，并随着计算的进行擦除一些数字。沙盘使得这一过程可以像使用黑板、粉笔和黑板擦那样进行。然而，al-Uqlidisi（生于920年）展示了如何修改这些方法以便用笔和纸使用。伊本·塔希尔·巴格达迪也为十进制系统的改进做出了贡献。
正是这第三种计算系统使得阿拉伯人在数值方法上取得了大部分进展。它使得诸如Abu'l-Wafa和奥马尔·海亚姆（生于1048年）这样的数学家能够进行开方运算。卡拉吉（生于953年）对整数指数二项式定理的发现，是基于十进制系统的数值分析发展的一个主要因素。卡西（生于1380年）对小数分数的发展做出了贡献，不仅用于近似代数数，也用于像π这样的实数。他对小数分数的贡献如此重大，以至于多年来他被认为是小数分数的发明者。尽管不是第一人，卡西给出了计算次根的算法，这是许多世纪后保罗·鲁菲尼和威廉·乔治·霍纳所给方法的一个特例。
尽管阿拉伯数学家以其在代数、数论和数系方面的工作最为著名，他们也在几何学、三角学和数学天文学方面做出了相当大的贡献。Ibrahim ibn Sinan（生于908年），他引入了一种比阿基米德更一般的积分方法，以及阿布·萨赫勒·库希（生于940年）是伊斯兰世界中希腊高等几何复兴与延续的领军人物。这些数学家，尤其是海什木，研究了光学并探究了由圆锥曲线制成的镜子的光学性质。奥马尔·海亚姆结合了三角学和近似理论的使用，提供了通过几何方法求解代数方程的方法。
天文学、计时和地理学为几何和三角研究提供了其他动机。例如，Ibrahim ibn Sinan和他的祖父塔比·伊本·库拉都研究了建造日晷所需的曲线。Abu'l-Wafa和阿布·纳斯尔·曼苏尔都将球面几何应用于天文学，并使用了涉及sin和tan的公式。比鲁尼（生于973年）在天文学以及计算许多城市的经度和纬度时都使用了sin公式。天文学和地理学再次激发了比鲁尼对将半球投影到平面上的广泛研究。
塔比·伊本·库拉在天文学中进行了理论和观测工作。巴塔尼（生于850年）进行了精确的观测，这使他能够改进克劳狄乌斯·托勒密关于太阳和月亮的数据。纳西尔丁·图西（生于1201年），像许多其他阿拉伯数学家一样，将其理论天文学建立在克劳狄乌斯·托勒密的工作之上，但纳西尔丁·图西对克劳狄乌斯·托勒密的行星系统模型做出了最重大的发展，直到尼古拉·哥白尼时代日心说模型的发展。
许多阿拉伯数学家在对天文学的研究中制作了三角函数表。这些人包括乌鲁伯格（生于1393年）和卡西。天文仪器如星盘的制造也是阿拉伯人的专长。Al-Mahani使用过星盘，而艾哈迈德·伊本·优素福·米斯里（生于835年）、al-Khazin（生于900年）、Ibrahim ibn Sinan、阿布·萨赫勒·库希、阿布·纳斯尔·曼苏尔（生于965年）、比鲁尼等人，都撰写了关于星盘的重要论著。纳西尔丁·图西（生于1201年）发明了线性星盘。阿拉伯数学家在星盘发展中的重要性在[17]中有描述：-
星盘的数学理论基于球面的球极投影，它发明于古代晚期，但在伊斯兰世界的广泛发展使其成为中世纪人的怀表。在其原始形式中，每个纬度都需要一块不同的地平坐标盘，但在11世纪，西班牙穆斯林天文学家az-Zarqallu发明了一块适用于所有纬度的单一盘。稍早之前，东方的天文学家试验了球面的平面投影，比鲁尼发明了一种可用于制作半球地图的投影。集大成的杰作是叙利亚人Ibn ash-Shatir（1305-75）的星盘，这是一种数学工具，可以用五种不同的方式解决球面天文学的所有标准问题。