数学史专题
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它是人们最常谈论的话题之一，数千年来影响着人们的生活，而预测它需要地球上最强大的计算机：天气。大多数古代文化中都有天气神，天气灾难在许多文化的创世神话中扮演着重要角色，例如45中描述的洪水。观察天空并从这些观察中得出正确结论对人们的生存至关重要26。如今，由于中央供暖、空调、温室等，我们更加独立于天气条件，但天气预报比以往任何时候都更准确21。每天都会发布未来几小时和未来几天的预报。除了帮助人们决定何时邀请邻居烧烤外，天气预报还为农民、飞行员、水手和士兵等广泛职业类别提供重要信息。此外，由于预报，人们不太可能对恶劣天气感到意外；例如，患有花粉热的人可以根据花粉飞行预报来安排户外活动。美国电视天气频道的巨大成功以及天气预报的收视率往往高于之前的新闻广播这一事实，说明预报已成为一个高度竞争的业务21。
但天气预报是如何制作的？为什么过去几十年来预报准确性提高得如此显著？在本文中，我将考察天气预报的历史，特别是数学在预报中应用的历史发展，然后描述当前预报模型中使用的数学方法的基本原理。我还将介绍一些当前的天气预报研究项目。
本文第2章概述了早期的预报尝试，从古代文化的最初观测到政府支持的天气服务的发展。
第3章回顾了数学在天气预报中的应用，从数值天气预报之父威廉·皮耶克尼斯和刘易斯·弗赖伊·理查森开始。然后，简要讨论了Carl-Gustaf Rossby的开创性工作，之后讨论了由Jule Charney（和其他人）开创的计算机在天气预报中的应用，以及爱德华·诺顿·劳仑次将混沌理论应用于气象学。此外，还介绍并解释了用于预报模型的描述大气过程的原始方程。
第4章介绍了当今预报中使用的两种最重要的数学方法，即有限差分法和谱方法，以及应用于大气的相应网格模型。简要描述了有限元法，这是数值求解偏微分方程的另一种方法。还概述了天气预报中的一些当前研究项目和研究领域。
本文应能被修过大学提供的2000级数学课程的数学或物理本科生理解。读者不需要有太多应用数学或物理背景，但应了解基本物理原理，例如重力、离心力、摩擦和波。此外，我假设读者熟悉微分方程、多元函数的微分、约瑟夫·傅里叶级数和高斯消元法。解释这些概念会超出本文范围。出于类似原因，我选择不解释不太熟悉的方法，例如Galerkin、最小二乘法和卡尔·龙格-马丁·威廉·库塔方法。请读者在适当的教科书中查阅这些方法（以及任何其他不熟悉的数学概念）。然而，由于本文应仅概述当前预报模型中使用的数学方法，我选择只包含简单方程并解释一些数学符号，以便更容易理解这些方法。此外，许多数学概念用文字而非方程解释。虽然我假设读者有良好的常识基础，但我解释了几个气象术语。
本文旨在向读者概述天气预报的总体历史发展，以及数学在预报中的应用和重要性。此外，它还应当让读者了解，为了准确模拟和预测大气状态乃至天气，数学模型必须达到何等精密的程度。
天气在人们的生活中一直扮演着重要角色，人们很早就尝试预测天气变化。在很长一段时间里，预报都基于对白天和夜空中天空的观测。从17世纪起，科学家们能够测量与天气有关的因素，如气压和温度。这帮助他们更好地理解大气及其过程，他们也开始系统地收集天气观测数据。到19世纪末，若干欧洲国家和美国已经建立了最早的天气服务机构。
人们何时开始观测天空已不得而知，但大约在公元前650年，巴比伦人根据对星辰和云彩的观测，做出了最早的短期天气预报。中国人也认识到了天气模式，到公元前300年，天文学家已经制定出一种历法，将一年分为24个节气，每个节气都与不同的天气现象相关联。一般来说，天气被归因于众神的无常，各种文化中形形色色的天气神祇——例如埃及的太阳神Ra和北欧的雷電之神Thor——就证明了这一点。许多古代文明都发展出祈雨舞和动物献祭等仪式，以安抚天气神祇。
古希腊人最早发展出更为科学的方法来解释天气。哲学家兼科学家亚里士多德（公元前384—前322年）的工作尤其值得注意，因为在此后2000年里，他的观点主导了人们对天气的看法和认识。公元前340年，亚里士多德写下了他的著作Meteorologica Ⓣ（Meteorology），试图解释雨、云、风和风暴的形成。此外，他还描述了彗星和晕等天体现象。事后看来，他的许多观察出奇地准确。例如，他认为热可以使水蒸发[44]。但他也草率地得出了不少错误结论，比如风形成于“as the Earth exhales”[21]，这些结论从文艺复兴时期起才得到纠正。
在整个中世纪及之后，教会是唯一被允许解释天气成因的官方机构，亚里士多德的《气象学》被确立为基督教教义[1]，(第7页)。此外，天气观测以韵文的形式流传下来，这些韵文现在被称为天气谚语。正如当代气象学家所发现的那样，其中许多谚语基于非常好的观测并且是准确的[26]。
到文艺复兴末期，科学家们意识到，如果有仪器来测量大气中的基本量，如温度、压力和湿度，观测天气变化就会容易得多。在此之前，唯一可用的工具是风向标，用于确定风向，以及早期版本的雨量计。1592年，伽利略（1564-1642）发明了世界上第一支温度计。他的学生埃万杰利斯塔·托里拆利（1608-1647）于1643年发明了气压计，使人们能够测量大气压力。五年后，布莱兹·帕斯卡（1623-1662）证明了压力随高度降低。这一发现于1686年由爱德蒙·哈雷（1656-1742）验证；爱德蒙·哈雷也是第一个绘制信风图的人。对未知大陆的发现，以及由此延伸的对未知气候和天气现象的发现，也对现代气象学的发展起到了作用[45]。
渐渐地，科学家们开始明白，天气受到大尺度大气过程的影响，例如风和风暴遵循某些模式。最早研究风暴的人之一是科学家兼政治家本杰明·富兰克林（1706-1790）。他最著名的科学成就是关于电尤其是闪电的研究，但实际上他对天气非常感兴趣，并且一生中大部分时间都在研究它。例如，菲利普·富兰克林发现风暴通常自西向东移动。菲利普·富兰克林的许多观察为更好地理解气候和大气铺平了道路，但
预测天气仍被视为白日梦，任何严肃的科学家即使研究天气现象，也只会利用业余时间。所有关于天气的猜想和理论都仅基于观察，直到20世纪初，数学和物理学才成为气象学的一部分。然而，到18世纪中叶，欧洲各国政府和美国政府意识到，准确的天气预报可以大大帮助节省金钱甚至生命。因此，第一批气象服务机构建立了。
最早的天气观测网络之一由托斯卡纳贵族费迪南德二世建立，从1654年运行到1670年[45]。100多年后，帕拉蒂尼气象学会（Societas Meteorologica Palatina）建立了第一个全球天气档案。在十五年（1780-1795）中，分布在北美、欧洲和俄罗斯的39个气象站使用标准化设备每天收集三次气象数据[45]。该学会没有制作任何预报；其主要障碍之一是数据必须通过船只和邮政马车发送到学会的总部，这需要数周时间。
1837年皮埃尔·萨米埃尔莫尔斯发明了电报，促进了天气预报的制作，因为数据和其他天气观测现在可以轻松迅速地传输到另一个国家甚至另一个大陆。观测站开始在欧洲和北美各地出现，但直到克里米亚战争（1853-1856）人们才意识到天气预报的好处。奥斯曼帝国的舰队遭遇了一个低压系统，结果损失了几艘船。法国皇帝拿破仑三世后来下令分析当天的天气；他得知这场风暴本可以预测，警告本可以通过电报传送[12]。因此，船只的损失本可以避免。
气象学家已开始将来自各观测站的数据（如温度和湿度）绘制到天气图上（见图1）。这些天气图使科学家能够探测和研究风暴系统与风型，并将当前气象状况与过去的状况进行比较，最终促成了天气预报的产生。这种基于对同时获取的许多标准化观测资料进行分析和比较的方法，被称为天气图预报。
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1887年12月9日和10日的欧洲天气图
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如今，气象服务机构仍在使用这种方法，既将其作为数值模式的起点，也作为数值模式的补充。一些欧洲国家的政府以及后来的美国政府意识到，及时的风暴预警可以防止船舶损失。因此，风暴预警系统得以建立。英国气象部门从1861年起定期发布大风预警；美国第一个风暴预警系统于十年后开始运行，其规模和经费使欧洲的气象服务机构相形见绌[33]。这些机构继而开始制作一般性的天气预报。
20世纪20年代，由于无线电探空仪的发明，天气图变得更加详细：无线电探空仪是一个装有测量设备和无线电发射机的小型轻便盒子。它被系在一个充满氢气的天气气球上，气球可上升至高达30公里后爆裂。无线电探空仪将湿度、气压、温度和风速的测量数据传送到地面站。当然，在过去80年里，无线电探空仪和天气气球已得到大幅改进，但即使是早期的型号，也使气象学家能够观测高海拔的天气状况。
现代气象服务依赖于无线电探空仪和卫星传送的观测数据。第一颗气象卫星TIROS 1（电视和红外观测卫星）于1960年发射。卫星收集数据的方式与无线电探空仪类似，但它们有一个很大的优势，即可以覆盖难以到达的区域，如海洋和沙漠。如今，极轨卫星（高度800-900公里；它们沿经度方向绕地球运行，经过两极）和地球静止卫星（高度35,800公里[45]，位于赤道正上方；它们随地球自转同步运行，因此持续观测同一区域）都在使用。
然而，比新的观测工具更能改进天气预报的，是实施一种称为数值天气预报的新预报方法。
在第一批大风警报发布后不久，人们就认识到天气预报的经济意义以及更多了解大气过程的必要性，但很少有人意识到，数学可以用来描述这些过程，并制作出比天气图气象学更准确的预报。20世纪初，科学家，特别是威廉·皮耶克尼斯和刘易斯·弗赖伊·理查森，开创了数值天气预报，其基础是将物理定律应用于大气，并求解与这些定律相关的数学方程。混沌理论的发现以及计算机的发展极大地提高了预报质量。如今，气象学家不断改进由世界领先气象服务机构设计的各种预报模式。
第一位想到将数学应用于天气预报的数学家是挪威人威廉·皮耶克尼斯（1862-1951）。威廉·皮耶克尼斯年轻时就在协助父亲进行流体力学研究的过程中接触了数学。随后，他在克里斯蒂安尼亚大学（今奥斯陆大学）学习数学和物理学。1898年，他提出了环流定理：简而言之，该定理解释了流体中环流的演变及其随后的衰减。可能更重要的是，该定理还标志着“the move of 威廉·皮耶克尼斯 into meteorology”[11]，（第479页）。将他的环流定理与流体力学和热力学相结合，威廉·皮耶克尼斯发现，给定初始大气条件，可以用数学公式计算大气的未来状态。正如他本人所说[1]，（第152页）：
我们必须将理论物理学的方程不仅应用于理想情况，而且应用于现代观测所揭示的实际存在的大气条件。……从[这些]条件……我们必须学会计算将要出现的那些条件。
1905年访问美国期间，他提出了自己的理论。卡内基基金会对他的想法印象深刻，因此在接下来的36年里资助了威廉·皮耶克尼斯的研究。威廉·皮耶克尼斯创立了卑尔根地球物理研究所，又称卑尔根学派，该学派对现代气象学做出了若干重要贡献。他与后来也成为著名气象学家的儿子Jacob以及气象学家Tor Bergeron和Halvor Solberg一起发现，天气模式与所谓锋面（即暖冷气团之间的过渡带）密切相关，并描述了中纬度气旋的生命周期。Bjerknes的大部分重要成果于1921年发表在On the Dynamics of the Circular Vortex with Applications to the Atmosphere and to Atmospheric Vortex Wave Motion上。
威廉·皮耶克尼斯的方程非常复杂，而且由于需要巨大的计算能力，在预测天气方面不太实用，这一点他自己也清楚。尽管如此，他坚信总有一天气象学将成为一门真正的科学，基于求解数学方程的天气预报将是可行的：
开凿一条穿山隧道可能需要数年时间。许多工人将活不到见证隧道贯通的那一天。尽管如此，这并不会阻止其他人日后以特快列车的速度乘车穿过隧道。[27]
首次尝试用数学来预测天气的是英国数学家刘易斯·弗赖伊·理查森（1881—1953），他简化了威廉·皮耶克尼斯的方程，使求解变得更为可行。Richardson曾在纽卡斯尔大学和剑桥大学学习过多门科学，1913年至1916年在英国气象局工作。1919年，他在那里恢复了原来的工作，但仅仅一年后，当气象局成为空军部的一部分时，他便辞职了。Richardson本来将不得不参军，这与他作为和平主义贵格会信徒的信念不相容。
他还曾为国家泥炭工业工作过一段时间，为了求解模拟泥炭中水流运动的微分方程，他发明了有限差分法，该方法能产生高度精确的结果。基本上，这种方法可以求出微分方程的近似解。一个含光滑变量的微分方程被转化为一个函数（或其近似），该函数将变量的变化与给定的时间步和/或空间步联系起来，这意味着变化是在离散点上计算的，而不是在无穷多个点上计算的。然后，微分方程中的导数被有限差分近似所替代（该方法将在4.1节中更详细地解释）。因此，你用许多可以用算术求解的方程代替了微分方程。
有限差分法如今被广泛使用，但在刘易斯·弗赖伊·理查森的时代，其他数学家认为这种方法“approximate mathematics”[8]，（第xvi页）。然而，当刘易斯·弗赖伊·理查森在气象局工作中遇到大气动力学问题时，他决定用自己的方法来求解这些问题。他重新构建了描述大气过程的基本方程，使得可以用数值方法求解它们。
通过将地球表面划分为数千个网格方格，并将大气划分为若干水平层，他得到了大量网格单元，这些单元通过数学方程相互连接。从根本上说，刘易斯·弗赖伊·理查森将威廉·皮耶克尼斯利用对大气当前状态的观测来计算其未来状态的构想应用于网格，并补充了网格单元之间存在联系的思想。
刘易斯·弗赖伊·理查森设想了一个“预报工厂”，数千名人工计算员将坐在一个巨大厅堂墙壁旁的廊台上。每位计算员负责计算一个网格单元中离散点处的大气变化。房间中央将设有一个讲坛，上面有一位“指挥”，负责确保所有计算员以统一的速度、彼此同步地工作。计算一旦完成就会被收集起来，以便传送到无线电台。刘易斯·弗赖伊·理查森还设有一个研究部门，负责改进模型[10]；[1]，（第157—158页）。
这个预报工厂就是“remarkably similar to descriptions of modern multiple-processor supercomputers used in weather forecasting today”[10]。然而，在刘易斯·弗赖伊·理查森的时代，所有计算都必须手工完成，他估计他的工厂需要64,000名人工计算员，才能完成这项艰巨任务：及时计算出与实际天气同步的天气。但他相信：
也许在遥远的未来某一天，计算速度有可能超过天气变化的速度，而且其成本低于人类因所获信息而节省的开支。但那只是一个梦想。[1]，（第161页）
1916年，刘易斯·弗赖伊·理查森出于好奇，决定加入为良心拒服兵役者而组建的公谊会救护队，在第一次世界大战中服役。他随身带着自己的研究，在不用把伤员运送到军医院的时候，就检验自己的模型。为此，他使用了1910年5月20日收集的数据，那天是一个国际气球日，欧洲各天文台在高空进行了测量，这些数据由威廉·皮耶克尼斯提供。制作一个六小时的预报花了刘易斯·弗赖伊·理查森周，当他将自己的结果与实际测量值进行比较时，他发现自己的结果不仅极不准确，而且完全不现实。尽管如此，他还是决定将自己的计算纳入1922年出版的开创性著作Weather Prediction by Numerical Process中。对他来说，与他自己首先发展出这一方法这一事实相比，这次将模型付诸实践的最初失败只是一个次要细节。[1]，(第160页)
当时很少有人理解刘易斯·弗赖伊·理查森工作的重要性和新颖性，正如他自己所写，“the scheme is complicated because the atmosphere is complicated”[1]，(第161页)。这种缺乏认可，以及气象局隶属于空军部，促使刘易斯·弗赖伊·理查森放弃了气象学。他余生中相当一部分时间都在研究战争数学。
刘易斯·弗赖伊·理查森的理论直到20世纪40年代中期才再次付诸实践，当时普林斯顿高等爱德华·斯图迪研究所的一组科学家开发出了世界上第一批计算机。与此同时，雅各布·皮叶克尼斯（1897—1975）和卡尔-古斯塔夫·罗斯贝（1898—1957）等气象学家的开创性研究增进了科学家对大气层的认识，并为数值天气预报的最终胜利铺平了道路。
尤其应归功于罗斯贝，他几乎凭一己之力改变了美国气象局的实践，引入了基于气象学和物理学理论的预报方法。在移居美国之前，罗斯贝曾在卑尔根地球物理研究所师从威廉·皮耶克尼斯工作。他将卑尔根科学家的思想学派带到了大西洋彼岸，并在那里建立了几个气象中心。除了培养年轻的气象学家，罗斯贝还取得了惊人的研究成果。1939年，他在麻省理工学院（MIT）担任教授时，发现了所谓的罗斯贝波，即大气中大尺度气流的蜿蜒。当气流（例如急流）被偏转到北方或南方（例如被山脉偏转）时，由于“位涡”守恒，气流会回到原来的纬度，从而形成罗斯贝波。罗斯贝波非常长，整个地球周围只有三到六个振荡；它们在对气旋（即低压）和反气旋（即高压）的形成中起着非常重要的作用[2]，(第216页)。
波速相对于地面的表达式为：
其中是平均西风，ω是地球的角速度，φ是纬度，是地球半径，λ是波长[43]；[4]，(第237页)。右侧中间项是所谓的罗斯贝参数，它描述了加斯帕尔-古斯塔夫·德·科里奥利参数随纬度的变化，其中德·科里奥利参数由下式给出：
计算波速可得出波峰自西向东移动[4]，(第237页)。就数值天气预报而言，这个方程很重要，因为它促进了五天延伸预报[1]，(第186页)。
威廉·皮耶克尼斯和刘易斯·弗赖伊·理查森的工作将气象学界分成了两个阵营：一个阵营捍卫将当前大气状态与过去观测进行比较的旧方法；另一个阵营则倡导在天气预报中使用物理学。
一个转折点是1944年6月6日：诺曼底登陆日。为了使诺曼底登陆成功，盟军指挥官希望具备特定的天气条件（天空足够晴朗，风力相对平静）。他们对潮汐和月相的要求将发动入侵的时间限制在6月初；确切的日期应根据天气预报来确定。指挥官们聘用了天气预报中两个对立学派的倡导者：挪威气象学家斯韦雷·彼得森，卑尔根学派的门徒，以及美国人欧文·克里克，他作为预报员的名声主要源于他自我推销的才能。整个1944年5月，天气一直平静，克里克研究了旧天气图后预测条件不会改变。与此同时，彼得森看到来自大西洋的强风暴即将来临。唯一条件足够好、适合入侵的日子是6月6日[10]；[1]，(第189—195页)。指挥官们决定相信彼得森的预报，从而展示了对科学的高度信任[1]，(第195—196页)。
诺曼底登陆不仅改变了世界历史，也凸显了天气预报的重要性[10]。第二次世界大战结束后不久，美国科学家利用世界上第一台计算机来预测天气。其他开创性的研究成果，无论是混沌理论的提出，还是计算机的发明，都显著改变了天气预报。于是，数值天气预报开始征服世界。
数学家冯·诺伊曼（1903—1957）是计算机科学的奠基人之一，也是第一个想到用计算机预测天气的人。不过，他的主要动机并非气象学，而是认为通过预测天气，或许能够控制天气并将其用作武器。1946年，他向一批顶尖气象学家展示了自己的想法，其中包括Carl-Gustaf Rossby和年轻有为的数学家Jule Charney（1917—1981）。
Charney成为普林斯顿高等斯图迪冯·诺伊曼气象学项目的核心科学家之一。团队开发了自己的计算机，但首次预报最终使用了属于美国陆军的ENIAC（电子数值积分计算机），因为他们自己的计算机尚未就绪。1950年，ENIAC成功制作了一份24小时预报。这花了大约24小时，但冯·诺伊曼团队开发的计算机要快得多（这台计算机于1952年制作了首次预报），从1955年起，由计算机生成的数值预报开始定期发布。起初，经验丰富的人类预报员对这些预报的质量持怀疑态度，诚然它们不如人类制作的预报好，但计算机的迅速发展及其速度的大幅提升极大地改善了预报质量。
计算机生成预报的前提是简化支配大气的完整原始方程组（将在3.3节讨论），因为早期计算机无法处理刘易斯·弗赖伊·理查森模型中的所有方程。1948年，Charney提出了准地转近似，将大气运动的若干方程简化为仅含两个未知变量的两个方程[14]，（第13章）。这些方程容易求解得多，早期计算机能够处理。（地转风是假想的风，其中气压梯度力与德·科里奥利效应恰好平衡（见3.3节）[2]，（第112页）。在Charney的近似中，假定风几乎为地转风。）
此外，这一近似滤除了除气象学中重要的缓慢长波运动之外的所有运动，因此不必像Richardson在30年前那样求解声波和重力波的原始方程。尽管输入计算机的只是简化方程，但有限的计算机能力仍要求使用正压（即单层）大气模型。气象学和计算机科学的进一步研究最终使得斜压（即多层）模型得以应用。1963年，一个基于原始方程的六层模型被用于制作预报。此后，随着计算机能力的提升，模型不断精细化（意味着纳入更多层、更细的网格、更多方程、地形和地貌特征）[4]，（第314页）。这极大地提高了预报的准确性和质量。
如今，世界领先的气象中心使用地球上最强大的计算机；例如，英国气象局的新计算机每秒能进行125万亿次计算[39]。
气象学家对计算机在天气预报中的应用所展现的可能性感到兴奋，并确信人类不仅能准确预测，还能控制天气只是时间问题。1961年，麻省理工学院研究员爱德华·诺顿·劳仑次（1917-2008）发现大气是混沌的，这对所有这些雄心勃勃的想法是一个严重打击。与当时其他气象学家不同，爱德华·诺顿·劳仑次不是预测天气，而是研究天气的可预测性，换句话说，是否存在周期性模式（模式的存在会支持一些老派气象学家的信念，即基于过去天气事件研究的天气预报能产生准确结果）。为此，他在计算机上运行了一个简化的预报模型，令他大为惊讶的是，输入的数据仅在小数点后第四位与之前输入的值不同，却显著改变了计算机预测的天气[38]。爱德华·诺顿·劳仑次推断，描述大气的动力学方程对初始条件极其敏感。动力学方程是确定性的；这意味着给定初始条件，它们就决定了所描述的过程在未来将如何演变。但是，对于大气（以及许多其他系统，混沌行为在科学各个分支中都能找到），如果你多次运行模型，需要输入完全相同的初始条件数据才能得到相同的结果。即使初始条件看似微小的差异也会导致截然不同的结果。一个非常简化的混沌行为例子是纸飞机的轨迹：想象你以类似的方式和相同的方向扔一架纸飞机十次。每次，飞机的轨迹都会不同，因为你永远无法以完全相同的方式扔两次：你施加的力或投掷时手握飞机的方式每次都会略有不同，导致非常不同、不可预测的飞行。
混沌行为通常被称为“蝴蝶效应”，这一术语源于爱德华·诺顿·劳仑次在1972年所做一次演讲的标题：Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?。气象学家曾推测，某些特定地点的小天气变化会影响其他地方的天气，但在爱德华·诺顿·劳仑次的发现之后，他们不得不接受，无论一只蝴蝶在巴西、保加利亚还是孟加拉国扇动翅膀，结果都可能是得克萨斯(或就此而言的其他某个地方)出现龙卷风。这一点，再加上对大气层的观测通常略有误差这一事实，意味着长期预报不可能实现，因为小误差会非常迅速地累积起来，并极大地改变结果。爱德华·诺顿·劳仑次认为，天气无法准确预报超过约两周。目前的模型甚至还没有达到这一极限，因为：
大约十天后，基本上就不可能以任何准确度预报天气了。[22]
现代预报模型通过一种称为集合预报的过程来考虑大气的混沌性质，即模型被运行多次，每次使用略有不同的初始条件。然后将结果平均以给出预报。这种方法还可以以相当高的准确度提示不太可能的天气状况 [4]，(p. 330)。
在详细、准确的长期预报与混沌行为之间找到平衡仍然是现代气象研究的一部分。但在研究当前的预报模型之前，让我们先看看构成每个此类模型基础的本原方程。
对于每次天气预报，气象学家需要知道七个物理量的值：温度、压力、密度、湿度和风速，其中风速包含三个分量，对应三个不同的风向。一些预报模型还包括云中和地面的水和冰含量。理想情况下，这些值在任何时候在大气中的每一点都是已知的。由于计算能力有限，这实际上是不可能的，因此大气被分成许多小气块，并为每个气块计算这些值。科学家将地球大气视为旋转球体上的流体，以便使用热力学和流体力学的基本定律（也称为本原方程）来描述大尺度大气过程。本质上，它们是运动方程（每个风向一个）、描述质量守恒的连续性方程、理想气体定律和描述能量守恒的热力学第一定律。还有一个确定湿度的方程，它并不总是包含在本原方程组中（此处不讨论）。此外，还必须考虑以下力：引力、阻力、气压梯度力，以及由于地球自转产生的加斯帕尔-古斯塔夫·德·科里奥利和离心力[15]，（第118页）。这里只描述本原方程的最基本版本。
运动方程基于艾萨克·牛顿第二定律插图：wf_03.gif ↗：力等于质量与加速度的乘积。基本上，它们描述了物体在不同情况下的运动方式。气块的运动，即气块中的风，由下式预测
其中插图：wf_04a.gif ↗表示速度插图：wf_04b.gif ↗相对于时间的变化。右侧的项表示作用在大气中的力，即气压梯度力、德·科里奥利力、阻力和重力。
气压梯度力（每单位质量）插图：wf_05.gif ↗垂直于等压线（天气图上连接大气压相同点的线 [2]，(p. 142)），并由下式给出
其中是密度，是压力。符号∇称为Nabla，是一个向量微分算子。根据其应用的领域，它表示各种量，例如标量场的梯度，或向量场的散度。
加斯帕尔-古斯塔夫·德·科里奥利力插图：wf_07.gif ↗可以视为离心力与引力之间的差 [4]，(p. 184)。由于地球的自转，在地球上方运动的空气会被侧向偏转，被迫沿曲线路径运动。在北半球，空气向其运动方向的右侧偏转；在南半球，它向左转。加斯帕尔-古斯塔夫·德·科里奥利力使风在水平方向加速；由于地球近乎球形，它在两极最大，在赤道为零。用数学术语来说，它是
其中插图：wf_09.gif ↗是旋转系统（此处为地球）的角速度，插图：wf_04b.gif ↗是物体相对于该系统的速度。
边界层中的空气，即地球表面以上1-2公里高度的“空气带”中的空气，受到与地面的拖曳作用。拖曳力插图：wf_10.gif ↗随风速增大而增大，但作用于风的相反方向，从而使风减速。
项插图：wf_10.gif ↗表示重力。
因此，运动方程可以改写为
通常，大气中的动力过程是在一个随时间与地球一起旋转的正交坐标系中描述的。因此使用球坐标。
风速的三个分量写为如下：
这里，是纬向风，平行于纬线；是经向风，平行于经线；是垂直风分量[16]。纬度记为，经度记为，离地球表面的高度记为。它们随时间的变化分别用插图：wf_14.gif ↗、插图：wf_15.gif ↗和插图：wf_16.gif ↗表示。气块与地心之间的距离由给出，其中（为地球半径）。通常，这个距离用地球半径来近似，所以插图：wf_17.gif ↗。在下面的公式中，为了更清晰易读，我将使用。
在许多预报模型中，假设静力平衡，即重力和气压梯度力相平衡。对于速度的垂直分量，我们于是有插图：wf_18.gif ↗。
那么，球坐标下的运动方程为：
其中和是摩擦力的分量。为了预测风在离散点上的运动，使用了所谓的欧拉参考系。在该参考系中，任何量的时间变化率表示为
Nabla算子也可以在球坐标中表示为
其中插图：wf_21a.gif ↗分别是和方向的归一化单位向量。
连续性方程的基本原理是质量守恒。从根本上说，物质既不能凭空产生，也不能完全被消灭；但它可以被重新排列。例如，如果你想建造一座房子，你必须使用已经以某种形式存在的材料，但通过建造过程，它变成了一座房子。如果你烧掉一根树干，木头不会完全消失，因为灰烬总会留下。大气的情况类似；如果某个地方的大气压升高，那么其他地方的大气压就必须降低，以保证平衡。这意味着，如果你从流入气块的质量中减去流出气块的质量，你就得到气块内质量的变化[4]，(p. 196)。连续性方程用于确定空气密度。
在欧拉参考系中，连续性方程为
这可以通过（滤除弱声波）近似为
其中是基态密度，是随高度指数递减的函数。将连续性方程替换为上述滤波条件称为滞弹性近似[6]，(第7页)。
气块中的气压通过状态方程求得，该方程将气压、温度和密度联系起来。空气的行为类似于理想气体，因此可以使用理想气体的状态方程来确定大气压 ：
这里， 表示绝对温度（单位为 开尔文）；插图：wf_25.gif ↗ 是干空气的气体常数，其值为 插图：wf_26.gif ↗。湿空气的气体常数不同，因为水汽的密度小于干空气。但是，可以不使用不同的气体常数，而是使用定义这一效应的虚温。
为了确定气块中的温度，预报员利用热力学第一定律。这一定律表达了能量或热量的守恒，因为热是能量的一种形式。本质上，能量不能被创造或毁灭（类似于质量），但它可以改变形式。例如，如果你有一个篝火，你需要以木材的形式输入能量，而能量以热和光的形式释放。热力学第一定律还指出，添加到系统中的能量不能大于从系统中释放的能量，换句话说，供应的能量恰好由（系统内）所做的功平衡。
就大气而言，能量守恒意味着气块中的温度只有在热量加入或移除时才会改变。这可能是由于较暖或较冷的空气移入气块，或者由于蒸发（使空气冷却）或凝结（释放热量）造成的。此外，如果气块垂直移动，气块中的温度也会改变。这一性质对云的形成非常重要[4]，（第45页）。
描述温度 随时间 变化的方程是：
这里， 是空气的定压比热，插图：wf_30.gif ↗ 是单位质量潜热释放的非绝热率。潜热一词意为隐藏的热，描述物质——在大气的情况下是水——在状态变化期间释放或吸收的能量。例如，潜热在凝结和凝固期间释放；在蒸发和融化期间吸收。“非绝热”意味着热量被传递。方程中的其他过程是绝热的，意味着没有热量传递。
原始方程首次被用于天气预报是在 刘易斯·弗赖伊·理查森 中。Jule Charney 和他的同事简化了这些方程，以便早期的计算机能够处理它们，但如今气象学家已经回过头来使用 Richardson 的所有方程。
插图：wf_31.gif ↗
2010年4月11日北美六小时预报，高分辨率，
由美国国家海洋和大气管理局（NOAA）的北美中尺度模式（NAM）
于2010年4月11日生成。
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当前所有的天气预报模型都基于原始方程或其变体，但每个模型使用不同的近似和假设，导致结果略有差异。此外，模型中包含考虑小尺度过程影响的方程，如对流、辐射、湍流以及地形效应，这些过程无法由预报模型显式表示，因为其分辨率不够高。这一过程称为参数化。
此外，在将从各种观测收集的天气数据输入计算机模型之前，它们必须被同化。在数据同化期间，真实观测与预测条件结合，以给出对大气实际状态的最佳可能估计。这个过程是必要的，因为仅从观测获得的原始数据输入会导致不准确的预报[4]，（第318页）。
假设静力平衡适用，将最小可能的网格间距限制在约5 - 10公里[29]，这对于像雷暴这样的小尺度天气事件的详细、准确预报来说，分辨率不够精细。
因此，一些模型，例如由德国气象局Deutscher Wetterdienst（DWD）开发的区域模型COSMO，已经放弃了这一假设，而是基于非静力热力学方程（类似于流体力学中使用的方程）。这允许更精细的分辨率（即更小的网格间距），但结果是，原始方程变得更加复杂，计算要求也更高，因为垂直风分量被包含在模型中[29]。
此外，为了提高模型的预报准确性和质量，垂直坐标可以用广义垂直坐标ζ代替，从而允许正交球坐标系转换为跟随地形的坐标系，该坐标系与地球的地形保形（坐标系将在第4章中介绍）。同样，原始方程必须用ζ重新表述[6]，（第31-32页）。
不过，并非所有预报模型都有这样的坐标系；有几种网格模型。但现在让我们看看气象学家用来求解这些方程的方法。
为了他的预报模型，Richardson构建了一个网格，将大气划分为许多小气块。本质上，今天的气象学家仍然这样做，但已经发展出了几种不同的网格版本。同样，Richardson的有限差分法不再是求解原始方程的唯一方法；它最强的“对手”是所谓的谱方法，将在4.2节中描述。第三种方法，有限元法，将在4.3节中简要介绍。
在原始方程能够被求解之前，它们必须关于空间和时间进行离散化。离散化意味着大气（或你想要研究的部分）由有限数量的数值近似值表示。
气象学中最常见的数值时间积分方案是蛙跳方案。为了对未来（在时间步）进行预报，你不是从当前时间步开始，而是从前一步开始，预报跳过时间步（其中表示时间步的大小，即两个时间点之间的差）。该方案在有限差分法和谱方法中都有应用。
所有不同的方法都需要稳定，换言之，必须保证随着预报时间跨度的增加，数值解不会偏离真实解。对于平流和波传播等大气过程，存在各种稳定性判据。不稳定的主要原因之一是截断误差，当变量ψ用泰勒级数表示时，即表示为其在各个网格点上的值的无穷级数时，就会产生这种误差。出于计算原因，只能使用级数的最初几项，而这些项实际上是最重要的项，但高阶项会影响级数的精度。作为二阶格式，蛙跳格式相当精确；更好的格式是所谓的卡尔·龙格-马丁·威廉·库塔方法，它是四阶的（但此处不予描述）。然而，由于计算机容量限制，在大多数当前模式中只能应用二阶格式。
所有预报模式的精度都定期进行测试；为此已经开发了统计模型。
插图：wf_32.gif ↗
环绕地球的矩形网格，地表上方有气柱。
后续章节中描述的数学方法基于欧洲中期天气预报中心（ECMWF）在雷丁和德国气象局DWD发布的笔记。
传统的网格结构基于将地球表面划分为大量正方形，使得每个正方形上方有一个高空气柱，如图6所示。然后大气被分成若干层，形成一个三维网格，其中原始方程可以在每个网格点求解。一般来说，靠近地球表面的层比上层大气的层薄得多，因为大多数天气事件发生在相对接近地面的地方。然而，上层大气中的过程影响天气，因此预报模型必须考虑整个大气。大多数模型还包括几个地下层，以考虑大气和地面之间的空气和水交换。多年来，网格的分辨率变得更高（即每个正方形的边长变得更小）。
插图：wf_33.gif ↗
DWD使用的三角形网格。
世界领先的气象服务机构，如英国气象局和德国DWD，使用三种不同的网格：覆盖整个地球的全球网格、覆盖欧洲（就气象局的模型而言还包括北美）的所谓区域模型，以及分别覆盖英国或德国的局部模型。DWD的区域模型分辨率为7公里，局部模型的分辨率最高可达2.8公里（气象局的模型分辨率较粗，因为气象局不使用非静力方程）。这两个局部模型以及气象局的所有模型都基于矩形网格，而DWD的全球模型则基于分辨率为40公里的三角形网格（见图7）。三角形网格的巨大优势在于，原始方程可以在靠近极地的气块中顺利求解，而矩形网格则不然，在矩形网格中经线相互靠近，导致计算错误。
通常，在地形追随坐标系中，λ方向的网格间距由Δλ给出；类似地，Δφ和Δζ分别表示φ方向和ζ方向的间距。如第3.3节所述，λ表示经度，φ表示纬度，ζ是高度坐标。计算空间中网格点的位置由下式定义
这里，是α方向上的网格点数；λ0和φ0是模型区域西南角[6]处λ和φ的值，（第53页）。
现在，原始方程必须改写为有限差分形式。为此，我们需要用有限差分来定义指定网格点处导数的近似值。变量ψ在处的值由给出；而的有限差分则利用和的值给出，即两个相邻网格点处的值。这两项的行为可以用泰勒展开来描述：
用第一个展开式减去第二个展开式，得到一阶导数的中心有限差分近似：
项插图：wf_37.gif ↗给出截断误差，由于它很小，可以忽略。然而，、之差在中的最低幂次给出了近似的阶数。因此，这个格式具有二阶精度。如上所述，阶数越高，近似越精确。一般来说，中心有限差分近似优于前向或后向近似，后者也可以从和的泰勒展开式推导出来。
解第一个展开式求，得到前向近似：
类似地，后向近似由第二个展开式推导得出：
这两个格式都具有一阶精度，但在某些情况下，使用这些近似比使用中心近似更有利。也可以推导出的二阶和三阶导数的有限差分近似。
不仅空间，时间也必须离散化，时间导数也可以用有限差分近似表示，即用离散时间层[17]上的值来表示（第15页）。时间步长记为，离散时间层由给出，其中是积分的初始时间。变量在时间步处的网格点值记为；其导数可以表示为中心有限差分近似：
同样，表示截断误差，可以忽略。
有两种不同的有限差分格式：显式格式和隐式格式。显式格式比隐式格式容易求解得多，因为只要当前时间步每个网格点上的值已知，就可以计算时间处每个网格点上的新值[17]（第15页）。但为了保持格式稳定，时间步长的选择受到限制。另一方面，隐式格式绝对稳定，但它导致一个联立方程组，因此更难求解[17]（第27页）。当前的预报模式中显式和隐式格式都有使用。
上述近似是说明有限差分一般思想的非常简单的例子。当原始方程用有限差分表示时，方程很快变得非常长，求解需要一定的计算量。不过，通过实施所谓的分裂模态技术，可以使显式时间积分更加高效。这意味着原始方程被细分为与慢变模态有关的强迫项和与快速移动的声波直接相关的源项：插图：wf_41.gif ↗。项在大时间步\Delta t上积分。这些时间步随后被细分为若干小时间步，项在这些小时间步上积分[6]（第61-64页）。
在 = 0 的情况下，使用 蛙跳区间，我们得到，
表示一组可用高斯消元法求解的方程 [6]，（第 63 页）。
对于包含声学活跃项的方程，即必须考虑声波和重力波的情况，有限差分为
上标 是上面所用蛙跳区间内对小时间步 进行积分的时间步计数器。
项 在所有小时间步积分过程中是常数，但 的值在这些积分中的最后一个完成之前是未知的。因此， 的有限差分必须改写为
项 插图：wf_45.gif ↗ 是一种称为平均化的过程的结果；你假设 的均值在空间和时间上的变化都不如偏离均值的偏差那么快。平均化的记号是
其中为整数。经度λ的记法类似。
如果用有限差分改写原始方程，你会得到“after considerable algebra”[6]（第67页），一个线性三对角联立方程组，可写成一般形式
项和是矩阵对角线，而是包含适当边界条件的非齐次项。该方程组可基于高斯消元法和回代法求解插图：wf_45.gif ↗。
简而言之，原始方程中的导数可以用有限差分近似，从而这些方程可以转化为线性方程组。领先的气象服务机构使用现代超级计算机求解所有这些方程需要相当长的时间，因此理查森竟然能够做出数值天气预报，即使只是有限区域的预报，也令人惊讶。然而，将这种方法应用于原始方程对数值天气预报的发展至关重要，因为几十年来，它是唯一能够简化预报所需的偏微分方程的数学方法。
有限差分法的另一个缺点，除了需要求解大量方程之外，是它不能揭示各个网格点之间变量的行为。另一方面，谱方法考虑到了这一点。
谱方法早在20世纪50年代就已设计出来，但过了一段时间才在预报模型中实现。1976年，澳大利亚和加拿大的气象服务机构率先采用了这种方法，现在全球范围内的一系列气象服务机构都在使用它；例如，位于雷丁的欧洲预报中心ECMWF于1983年采用了它[20]。谱方法的优点之一是，原始方程可以用全局函数来求解，而不是像有限差分法那样用特定点上的近似来求解。对于ECMWF来说，这是更好的选择，因为他们需要一个全球模型来制作中期天气预报。
对于谱方法，大气必须用谱分量来表示。在ECMWF模型中，大气被分为91层（相比之下，DWD和Met Office的全球模型有40层），其中边界层中的层数等于大气最上层45公里中的层数。偏微分方程用球谐函数表示，其截断的总波数为799。这对应于大约25公里的网格长度[7]（DWD和Met Office的全球模型的分辨率为40公里）。
本质上，使用谱方法时，你假设未知变量可以用一组个线性相关基函数的和来近似：
当这个级数被代入形如的方程时，其中是微分算子，你会得到一个所谓的残差函数：
当上述方程的解精确时，残差函数为零，因此应选择级数系数使残差函数最小化，即尽可能接近零。在大多数情况下，多项式近似，如傅里叶级数或巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫多项式，是最佳选择；但在天气预报中，使用球坐标要求以球谐函数作为展开函数。这增加了问题的复杂性以及求解所需的计算量。
一个可以用傅里叶级数求解的简单例子说明了谱方法的思想：原始方程所描述的过程之一是对流（即例如大气中热量的输送），而非线性对流方程由下式给出
这可以按经度λ改写为：
选定适当的边界条件后，该方程可以按有限傅里叶级数展开：
其中是复展开系数，是最大波数[17]，（第61页）。对流方程于是为：
其中是按展开的级数。
由于方程左侧的每一项都在不同的波数处被截断，总会存在一个残差函数。有几种方法可以将微分方程转化为离散问题，例如最小二乘法或Galerkin方法，这些方法可以用来选择时间导数，使得残差函数尽可能接近零[17]，（第63页）。
在谱方法的背景下，计算微分方程的非线性项是困难的，但你可以通过使用所谓的变换方法来绕过这个问题。最常用的是快速傅里叶变换，但原则上所有变换方法都可以在谱表示和网格点表示之间切换[17]，（第64页）。使用变换方法需要三个步骤，下面将针对上述对流方程中的非线性项插图：wf_53.gif ↗进行展示：
首先，非线性项和插图：wf_54.gif ↗的各个分量用离散网格点处的谱系数表示：
其次，平流项，即这些分量的乘积，在离散化空间的每个网格点上计算：
然后你可以回到谱空间并计算傅里叶系数：
这一过程必须在每个时间层进行，因此计算量很大。此外，包含两个以上分量的乘积会受到混叠的影响，这意味着对于一定的网格分辨率而言过短而无法分辨的波会错误地表现为较长的波[17]，(第37页)。尽管如此，为了在谱空间中求解微分方程，使用变换方法仍然是必要的。
如上所述，当使用球坐标时，因变量ψ必须用球谐函数而不是傅里叶系数来展开。球谐函数是皮埃尔·西蒙·拉普拉斯方程解的角向部分。速度的垂直分量插图：wf_58.gif ↗像标量一样变换，因此可以直接用球谐函数展开。对于水平分量插图：wf_59.gif ↗和插图：wf_60.gif ↗则稍微复杂一些：
[5]，(第395页)，其中球谐函数
其中和是非负整数，使得 [5]，(第399页)。这里，是纬向波数，是总波数。项是球谐函数中使用的关联阿德里安-马里·勒让德函数（但此处不予解释）。
用球谐函数展开也需要变换方法，但这些方法比快速傅里叶变换更复杂，计算成本也更高（尽管使用变换方法大大减少了计算所需的时间）。
球谐函数是二维的，因此比用傅里叶级数展开要难解得多了。但是：
……在球面上求解问题，无论如何都需要一些复杂的编程和对细节的仔细关注。[5]，(第399页)
一般来说，谱方法算法比有限差分算法更难编程；此外，为了保持该方法的高精度，使用它们的区域必须是规则的。然而，谱方法有许多优点：例如，使用该方法时不存在极点问题。在极点处，微分方程的解变得无穷可微；因此极点通常被排除在谱空间之外，这实际上简化了该方法[5]，(第383页)。此外，它能处理比有限差分法更高阶的有限元。因此，许多问题的解非常精确。高精度还导致模型不需要像有限差分法那样多的网格点，运行该方法的计算机需要的内存空间也更少。
总之，谱方法给出的结果比有限差分法精确得多。不过，许多气象服务部门仍然使用有限差分法，因为它更容易实现，而且因为“the physics is so complicated ... that purely numerical errors are a low priority。”[5]，(第17页)
寻找偏微分方程近似解从而寻找原始方程近似解的第三种技术是有限元方法。它与谱方法非常相似，因为因变量ψ是在整个所讨论的区域上定义的，而不是像有限差分法那样在离散网格点上定义。此外，用线性无关函数的有限级数展开来近似ψ在指定单元（例如一组网格点）内的变化[17]，(第75页)。与谱方法不同，基函数不是全局非零，而只是局部非零；而且它们是低阶多项式而不是高阶多项式。必须求解偏微分方程的区域被划分为若干子区域，并且对每个子区域使用不同的多项式来近似解。然后这些近似被纳入原始方程。然而，有限元方法能够工作的一个条件是ψ在相邻单元之间连续。只能使用低阶多项式这一事实反映在相对较低的精度上，但必要的计算量比有限差分法或谱方法小得多[5]，(第4页)。另一方面，基函数有多种选择，并且根据所使用的函数，有限元方法在应用于不规则网格时可以给出非常精确的结果。因此，该方法的使用不限于像有限差分法那样仅用于三角形和矩形网格。这——目前——在工程和流体动力学中可能更为重要，该方法在这些领域应用最为广泛。然而，科学家们不断尝试改进现有方法并寻找新的数学方法，以比现今使用的方法更好地模拟大气过程。
直截了当地说，当今气象学的大部分研究都致力于改进当前的预报模型。这涉及使用增强的观测和测量技术以及改进数学模型。理论上已经知道几种提高预报质量的方法，但由于缺乏计算能力而无法实施。民用领域最快的计算机已经被领先的气象服务机构使用，这意味着许多气象服务机构，尤其是发展中国家的气象服务机构，不得不求助于速度慢得多的计算机。自20世纪60年代开始定期发布由计算机计算的数值天气预报以来，预报准确性的提高一直伴随着更快计算机的发展，而且在可预见的未来似乎仍将如此。
提高天气预报质量最简单的方法之一是提高偏微分方程数值逼近的阶数。当前模型中使用的大多数格式都是二阶的，但使用三阶格式将大大提高预报准确性[29]。此外，数据收集和数据同化也在不断改进。因此，输入预报模型的初始条件能更准确地代表大气的实际状态，从而带来更好的预报[29]。
更详细、更准确的数学方法以及更强的计算机能力将使气象学家能够提高其网格的分辨率。更精细的分辨率反过来将使他们能够考虑局部天气现象（如雷暴）以及地形特征（如山脉和湖泊）造成的影响。最终，气象学家希望，这将为非常小的特定区域带来非常详细的预报。大多数模型都尽可能多地包含地形特征，但据DWD称，有一种新的网格模型使用穿过山脉的水平面，可以更准确地表示山脉附近大气力的平衡。诚然，提高网格分辨率会带来这样的风险：当使用更多网格点时，初始数据中的误差会被放大[38]，因此数学模型必须考虑到这一点。
除了提高网格分辨率外，气象学家还致力于延长可作出预报的时间跨度。劳仑次推测的两周极限仍然成立；目前可达到的极限被认为约为十天。2010年2月，ECMWF有史以来首次成功制作出准确的十天预报。中期预报的准确性用距平相关系数（ACC）来衡量，预报要被认定为准确，该系数必须高于60%。ECMWF二月份的预报一直高于这一限值[32]。
当然，关于大气过程及其背后的数学和物理定律的数学和物理学基础研究，对于开发更好的预报模型仍将至关重要。由蒙特利尔麦吉尔大学的Shaun Lovejoy领导的一个国际研究团队，走的是一条与大多数研究大气过程的科学家不同的道路。有趣的是，他们的研究项目基于刘易斯·弗赖伊·理查森的一个理论。除了创立数值天气预报之外，刘易斯·弗赖伊·理查森还投入了大量时间研究大气，特别是涡旋和旋涡。他注意到大气现象，例如云，似乎是级联式过程，大尺度结构中包含许多自身越来越小的副本，就像俄罗斯套娃一个套一个。在现代数学中，这种现象称为分形，其行为可以用幂律来描述（意味着一个量随另一个量的某次幂而变化）。刘易斯·弗赖伊·理查森没有数学手段来证明他的假设，数学家们直到最近才开始研究大气是否可以用一组幂律来描述。在2009年发表的一份报告中，Lovejoy的团队提供了降雨确实是分形集合的证据。该团队的最终目标是在预报模型中实现分形和幂律，以便对小尺度过程进行建模，从而提高预报精度[25]。
插图：wf_63.gif ↗
2010年4月12日北美24小时预报，中等分辨率，
使用NOAA的全球预报系统（GFS）于2010年4月11日生成
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插图：wf_64.gif ↗
2007年4月17日北美162小时预报，中等分辨率，
使用NOAA的全球预报系统于2007年4月11日生成。
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自巴比伦人和希腊人开始观测天空以来，天气预报已经取得了长足的进步，而20世纪初威廉·皮耶克尼斯和刘易斯·弗赖伊·理查森的开创性工作开启了现代天气预报的发展。但如果没有计算机的发明及随后的改进，数值天气预报仍将处于起步阶段。理解混沌以及开发新的更好的天气观测方法也有助于提高预报准确性。如今六天的预报已经和1968年的一天预报一样准确[29]。目前的一天预报在10次中有9次是准确的，三天预报的准确率仍有70%。目前的研究表明，这些百分比在未来将继续增加。除了正常的天气预报外，气象服务机构还为农业、航空和航运等多个领域发布专门预报，这有助于挽救生命和节省资金。尽管如此，ECMWF的气象学家估计，由于天气预报不准确造成的全球经济损每年高达十亿欧元[26]，因此气象学家希望提高预报质量能减少这一数字。
两种不同类型的预报模型，一种基于有限差分，另一种基于谱方法，目前正在竞争，看哪一种在给定计算成本下能产生更准确的预报。但归根结底，每种模型都有其优势和劣势；因此，同时使用两种模型可能会得到最好的结果。
未来，天气预报将比现在更加准确和详细。谁知道呢，也许有一天数学家会找到克服两周预报极限的方法，从而能够制作长期预报。
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