实数：从斯蒂文到希尔伯特The real numbers: Stevin to Hilbert

到西蒙·斯蒂文在1585年提出使用小数分数时，数的概念与欧几里得的Elements.相比发展甚微。早期贡献的细节在我们的文章西蒙·斯蒂文中有较为详细的考察。

如果我们几乎正好向前推进100年，来到1684年约翰·沃利斯出版A treatise of Algebra之时，就会发现他虽无多大热情，却接受了西蒙·斯蒂文的小数的使用。他仍然只考虑有限小数展开，并意识到用这些可以任意接近地逼近数（对他而言，这些数是由正整数通过加、减、乘、除和开n次方根构造出来的）。然而，约翰·沃利斯明白，有些比例并不落在这个数的定义之内，例如与圆的面积和周长相关的那些比例：-

……这样的比例无法用通常接受的记法方式表示：尤其是圆的求积。……现在，至于其他不可通约的量，虽然这个比例不能用绝对数精确表示，但通过不断逼近却可以；从而可以比任何可指定的差更接近它。

对约翰·沃利斯来说，有多种方式可以实现这种逼近，从而任意接近。他考虑了用连分数逼近，也考虑了通过连续开平方根来逼近。这引向对无穷级数的研究，但由于没有必要的工具来证明这些无穷级数收敛到一个极限，他在研究实数方面永远无法取得更大进展。实数变得与量密切相关。人们并不真正认为需要定义，事实上数学被视为关于量的科学。莱昂哈德·欧拉在Complete introduction to algebra（1771）的导言中写道：-

数学，一般而言，是关于量的科学；或者，是研究测量量的手段的科学。

他还把量的概念定义为可以连续增加或减少的东西，并认为长度、面积、体积、质量、速度、时间等都是量的不同例子。所有这些都可以用实数来测量。然而，莱昂哈德·欧拉的数学本身引出了更抽象的量的观念，即一个变量$x$，它不必取实数值。符号数学把量的概念推得太远，重新评估实数的概念变得更加必要。到19世纪初，一种更严格的数学方法，主要由奥古斯丁·路易·柯西和伯纳德·波尔查诺开创，开始提供工具，把实数置于更坚实的基础之上。Grabiner写道[2]：-

……尽管奥古斯丁·路易·柯西隐含地假定了实数完备性公理的几种形式，但他并未完全理解完备性的本质，也未完全理解实数集或空间中点集的相關拓扑性质。……奥古斯丁·路易·柯西没有关于实数完备性的明确表述。在他隐含假定的完备性性质的形式中，有有界单调序列收敛到一个极限，以及奥古斯丁·路易·柯西判别法是级数收敛的充分条件。尽管奥古斯丁·路易·柯西理解实数可以作为有理数的极限得到，但他并未把自己的洞见发展为实数的定义或对实数性质的详细描述。

奥古斯丁·路易·柯西在Cours d'analyseⓉ（《分析教程》）（1821年）中，并没有太在意实数定义的问题。他确实说过实数是有理数序列的极限，但这里他假定了实数已知。当然，奥古斯丁·路易·柯西并不认为这是实数的定义，而只是陈述了他认为的一个“显然”性质。他只字未提序列需要是今天所谓的奥古斯丁·路易·柯西序列，而如果不假定序列极限的存在性来定义序列的收敛性，这一点是必要的。他确实将有理数$A$与无理数$B$的乘积定义如下：-

设b, b', b'', ... 是一个越来越接近B的有理数序列。那么乘积AB将是有理数序列Ab, Ab', Ab'', ... 的极限。

另一方面，伯纳德·波尔查诺在1817年证明了有界的奥古斯丁·路易·柯西实数序列有上确界。他后来发展了自己的实数理论，但没有发表。这是一项相当了不起的成就，直到相对晚近我们才确切理解他究竟取得了什么成就。他对实数的定义是用有理数的收敛序列给出的，在[22]中有解释，Rychlik将其描述为“不完全正确”。在[28]中，van Rootselaar不同意，说“伯纳德·波尔查诺的阐述相当不正确”。然而，在J Berg编辑的伯纳德·波尔查诺的Reine ZahlenlehreⓉ（《纯数论》）1976年版中，Berg指出伯纳德·波尔查诺自己发现了这些困难，并且Berg发现了伯纳德·波尔查诺的笔记，其中提出了对他的理论的修正，使其完全正确。由于伯纳德·波尔查诺的贡献未发表，它们对实数理论的发展几乎没有影响。

奥古斯丁·路易·柯西本人似乎没有理解他自己的“奥古斯丁·路易·柯西序列”判别法对定义实数的意义。他直接的继承者也没有。是卡尔·魏尔斯特拉斯、爱德华·海涅、Méray、格奥尔格·康托尔和理查德·戴德金，在收敛和一致收敛得到更好理解之后，才给出了实数的严格定义。

直到这时，还没有证明存在不是有理系数多项式方程根的数。显然√2是有理系数多项式方程的根，即$x^{2} = 2$，并且容易看出有理数的所有根都作为这类方程的解出现。如果一个数不是有理系数多项式方程的根，就称为transcendental。transcendental一词的使用是因为这样的数超越了通常的算术运算。尽管数学家们长期以来猜测π和$e$是超越数，但直到19世纪中叶这还没有被证明。约瑟夫·刘维尔对超越数的兴趣源于阅读克里斯蒂安·哥德巴赫与丹尼尔·伯努利之间的通信。约瑟夫·刘维尔当然旨在证明$e$是超越数，但他没有成功。然而他的贡献使他在1844年证明了超越数的存在，当时他用连分数构造了一类无穷的这样的数。这些是最早被证明为超越数的数。1851年，他发表了关于超越数的结果，去掉了对连分数的依赖。特别地，他给出了一个超越数的例子，即现在称为Liouvillian数的数

0.1100010000000000000000010000...

其中在$n!$处为1，其他地方为0。

最早尝试给出实数严格定义的人之一是威廉·哈密顿。也许，如果想一想，他会对此感兴趣是合乎逻辑的，因为他引入四元数表明存在以前未研究过的新数系。事实上，他接近了理查德·戴德金分割的思想，正如欧几里得在Elements中所做的那样，但未能把这个思想变成定义（同样，欧几里得已经发现了这个性质，但从未想到把它用作定义）。对于一个数$a$，他注意到存在有理数$a', a'', b', b'', c', c'', d', d'', ...$满足

$a' < a < a''$
$b' < a < b''$
$c' < a < c''$
$d' < a < d''$
...

但他从未想到用集合$\{a', b', c', d', ... \}$和$\{a'', b'', c'', d'', ... \}$来定义数。他尝试了另一种方法，即定义由某种规律给出的数，比如$x \mapsto x^{2}$。威廉·哈密顿写道：——

如果x从零开始经历连续且恒定的增加，那么它将依次经过正比b的每一个状态，因此每一个确定的正比b都有一个确定的平方根√b，这个平方根是有公度的或无公度的，取决于b能否表示为分数的平方。当b不能如此表示时，仍然可以通过选择越来越大的正分母来用分数逼近无公度的平方根√b……

人们可以看出Hamilton想表达什么，但这里有很多内容缺乏论证——一个量能否经历连续且恒定的增加。即使绕过了这个问题，他也只是在定义由某种规律给出的数。不清楚他是否认为所有实数都会以这种方式产生。

当在给出实数的严格定义方面取得进展时，突然涌现出大量贡献。理查德·戴德金在1858年发展出了他的理查德·戴德金分割理论，但直到1872年才发表。卡尔·魏尔斯特拉斯在1865年开始的柏林讲座中给出了他自己的实数理论，但这项工作没有发表。关于这种新方法的首次发表贡献出现在1867年，来自赫尔曼·汉克尔，他是卡尔·魏尔斯特拉斯的学生。赫尔曼·汉克尔首次提出，我们关于实数概念的观点需要彻底改变：——

今天，数不再是一个对象，一种存在于思维主体和产生这种对象的对象之外的实体，一个独立的原则，就像例如对毕达哥拉斯学派而言那样。因此，数存在的问题只能指向思维主体或那些其关系由数所表示的思维对象。严格说来，只有逻辑上不可能的东西（即自相矛盾的东西）才被数学家视为不可能。

在其1867年的专著赫尔曼·汉克尔中探讨了是否存在其他与实数具有基本相同规则的“数系”这一问题。

赫尔曼·汉克尔的专著出版两年后，Méray发表了Remarques sur la nature des quantitésⓉ（《关于量的本质的笔记》），其中他考虑了有理数的奥古斯丁·路易·柯西序列，这些序列若不收敛于有理极限，则具有他所谓的“虚构极限”。随后，他认为实数由有理数及其虚构极限组成。三年后，爱德华·海涅在其著作Elemente der FunctionenlehreⓉ（《函数论基础》）中发表了类似的概念，尽管这是独立于Méray完成的。其本质与卡尔·魏尔斯特拉斯在其讲座中讨论的思想相似。爱德华·海涅的体系已成为当今定义实数的两种标准方式之一。本质上，爱德华·海涅考察有理数的奥古斯丁·路易·柯西序列。他通过定义如下等价关系来定义这些序列上的等价关系：

$a_{1} , a_{2} , a_{3} , a_{4} , ...$和$b_{1}, b_{2} , b_{3} , b_{4} , ...$

若有理数序列$a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2} , a_{3} - b_{3} , a_{4} - b_{4} , ...$收敛于0，则称两序列等价。爱德华·海涅随后在其序列上引入了算术运算和序关系。处理除法时需要特别小心，因为具有非零极限的序列仍可能有等于0的项。

格奥尔格·康托尔也在1872年发表了他关于实数的版本，其方法类似于爱德华·海涅的方法。他的数是有理数的奥古斯丁·路易·柯西序列，并使用了“确定极限”这一术语。赫尔曼·汉克尔清楚地认识到（见上文引文），新的数的观念突然彻底改变了一个原本由测量和量所激发的概念。同样，格奥尔格·康托尔意识到，如果他想让直线表示实数，就必须引入一条公理，以恢复实数当前定义方式与旧有测量概念之间的联系。他关于直线上一点到原点的距离写道：——

如果这个距离与度量单位有有理关系，那么它由有理数域中的一个有理量表示；否则，如果该点是通过某种构造已知的，则总能给出一个有理数序列$a_{1} , a_{2} , a_{3} , ..., a_{n} , ...$，它具有所指出的性质，并与所讨论的距离相关联，使得随着n增大，直线上被赋予距离$a_{1} , a_{2} , a_{3} , ..., a_{n} , ...$的点在无穷远处趋近于待确定的点。……为了完成本节所呈现的已定义量［他的确定极限］的域与直线几何之间的联系，必须添加一条公理，它简单地说，每个数值量在直线上也有一个确定的点，其坐标等于该量，确实，是在本节所解释的意义上相等。

正如我们上面提到的，理查德·戴德金在1858年已经发展出了他的理查德·戴德金分割思想。当他意识到像爱德华·海涅和格奥尔格·康托尔这样的其他人即将发表他们关于实数严格定义的版本时，他决定他也应该发表自己的想法。这导致了又一个1872年的出版物，给出了实数的定义。理查德·戴德金考虑了将有理数分解为两个集合$A_{1} , A_{2}$的所有分解，使得对于$A_{1}$中的所有$a_{1}$和$A_{2}$中的所有$a_{2}$，都有$a_{1} < a_{2}$。他称$(A_{1}, A_{2})$为一个cut。如果有理数$a$要么是$A_{1}$的最大元素，要么是$A_{2}$的最小元素，那么理查德·戴德金说这个分割是由$a$产生的。然而并非所有分割都是由有理数产生的。他写道：——

在每一种情形中，只要给定了一个不是由有理数产生的分割$(A_{1}, A_{2})$，我们就创造一个新的数，一个无理数a，我们认为它由这个分割完全确定；我们将说数a对应于这个分割，或者说它产生了这个分割。

他定义了通常的算术运算和序关系，并证明了通常的定律成立。

另一个定义，在风格上与爱德华·海涅和格奥尔格·康托尔的定义相似，出现在卡尔·约翰尼斯·托马1880年的一本书中。卡尔·约翰尼斯·托马在爱德华·海涅和格奥尔格·康托尔撰写他们的想法前后曾是他们的同事。他声称，以这种方式定义的实数有权存在，因为：-

……从整数的计算中抽象出来的组合规则可以无矛盾地应用于它们。

然而，戈特洛布·弗雷格攻击了卡尔·约翰尼斯·托马的这些想法。他希望在一个纯粹逻辑的基础上发展实数理论，并攻击已发表的构造背后的哲学。卡尔·约翰尼斯·托马在他1898年出版的教科书第二版中，对他的“形式算术”思想作了进一步解释：-

数的形式概念本身要求比逻辑概念更为适度的限制。它不问，数是什么以及数将是什么，而是问，在算术中人们要求数做什么。

戈特洛布·弗雷格仍然对卡尔·魏尔斯特拉斯、爱德华·海涅、格奥尔格·康托尔、卡尔·约翰尼斯·托马和理查德·戴德金的构造不满意。他问道，人们怎么知道这些构造导致的系统不会产生矛盾？他在1903年写道：-

这项任务从未被认真对待过，更不用说被解决了。

然而，戈特洛布·弗雷格从未完成他自己的逻辑框架版本。当他得知伯特兰·罗素的悖论时，他的希望破灭了。大卫·希尔伯特在1900年采用了完全不同的方法来定义实数。他将实数定义为一个具有十八条公理的系统。其中十六条公理定义了今天我们所称的有序域，而另外两条是阿基米德公理和完备性公理。阿基米德公理指出，给定正数$a$和$b$，那么可以将$a$自身相加有限次，使得和超过$b$。完备性性质说，人们不能扩展该系统并保持所有其他公理的有效性。这是全新的，因为所有其他方法都是从已知的有理数构建实数。大卫·希尔伯特的数与任何已知系统无关。不可能说一个给定的数学对象是否是实数。最严重的是，没有证明任何这样的系统实际存在。如果它存在，它仍然受到与戈特洛布·弗雷格所指出的关于其一致性的相同问题的困扰。

到20世纪初，实数概念已经完全脱离了从远古直到19世纪初一直存在的数的概念，即数与测量和量的联系。