数学史专题
在我们开始讨论实数系的历史发展之前，先考虑一下数是什么是有益的。也许读者会认为这是一个愚蠢的问题，并且认为数是什么是“显然的”。那么，说明情况并非如此的第一条明确证据是，从数学发展直到今天，数的概念已经发生了巨大变化。同样清楚的是，除了自负之外，没有任何理由相信目前的数的概念在未来不会改变。路德维希·维特根斯坦在 Philosophical Investigations 中写道：-
为什么我们把某样东西称为“数”？嗯，也许是因为它与若干迄今被称为数的东西有直接关系；可以说，这又使它与我们同样称为数的其他东西有间接关系。我们扩展数的概念，就像纺线时把纤维一股一股地捻在一起。线的强度并不在于某一根纤维贯穿其全长，而在于许多纤维的相互交叠。但如果有人想说：“所有这些构造都有某种共同的东西——即它们所有共同属性的析取”——我就要回答：“现在你只是在玩弄词句。人们同样可以说：‘有某种东西贯穿整条线——即那些纤维的连续交叠。’”
“好吧：数的概念对你来说被定义为这些个别相互关联的概念的逻辑和：基数、有理数、实数等等；同样，游戏的概念也是一组相应子概念的逻辑和。”——未必如此。因为我可以这样给‘数’的概念划定严格的界限，即把“数”这个词用于一个严格受限的概念，但我也能这样使用它，使这个概念的外延不被边界封闭。我们就是这样使用“游戏”这个词的。因为游戏的概念是如何被界定的呢？
我们应当从考察古希腊时期的量和数的概念开始讨论实数。前者可能指几何线的长度，而第二个概念，即数，则被认为是由单位构成的。毕达哥拉斯似乎认为“万物皆数”；那么对毕达哥拉斯来说数是什么？看来很清楚，毕达哥拉斯会以几何方式思考1、2、3、4、……（用今天术语说的自然数），不是像我们那样把它们看作线的长度，而是看作离散的点。整数的加法、减法和乘法在这种表示方式下是自然的概念，但似乎没有除法的观念。这一时期的数学家，给定数12，很容易看出4是它的一个因数，因为3乘4恰好是12。尽管对我们来说这显然与除法相同，但看到这种区别很重要。我们在上面使用了“因数”一词，所以应当说明毕达哥拉斯学派认为它是什么。尼各马科遵循毕达哥拉斯的传统，对因数作出如下定义：——
因数，按其本性是较小的，是与较大者相比较时能多次量尽它从而恰好将其填满的数。
量是与数不同的独立实体，必须有单独的定义，事实上尼各马科对量作出了这样的平行定义。
亚里士多德在Metaphysics:-中解释了毕达哥拉斯“万物皆数”的思想
[在毕达哥拉斯时代]由于其他一切事物在其整个本性上似乎都是按照数来塑造的，而数似乎是整个自然界中首要的东西，所以他们假定数的元素就是万物的元素，整个天穹就是一个音阶和一个数。凡是他们能够表明与天穹的属性、部分和整体安排相一致的数和音阶的一切性质，他们都纳入自己的体系……毕达哥拉斯学派说事物之所以是事物，是通过暗示数……毕达哥拉斯学派把对象本身当作数，并不把数学对象看作与它们不同的东西……
一旦研究了各种量，这一概念当然就遇到了困难。正如我们已经看到的，所有数本质上按定义都是基本单位的（正整数）倍数，但长度之比却被表明不具有作为数（整数）之比的性质。通常给出的例子来自一个直角三角形，其两条较短边都是单位长度。这样的三角形以一条长度为较短边长度的√2倍的线为斜边。不存在长度使得1和√2都是的倍数（记住是整数倍）。柏拉图在Theaetetus,中讲述了发现√3、√5、……、√17与1不可通约这件事：-
西奥多罗斯为我们写出了一些关于根的东西，例如面积为3或5单位的正方形的边，表明这些边与单位不可通约：他举例子一直举到17，但出于某种原因他在那里停下了。
我们假定发现√2与1不可通约这件事更早，这就是为什么西奥多罗斯从√3开始。Heimonen在[10]中考察了不同历史学家关于无理数发现的看法：-
Von Fritz提出，毕达哥拉斯学派的Hippasos首先通过研究正五边形证明了黄金比例的无理性。该证明基于以下事实：其对角线与边长之比的连分数展开是周期的。
同样的无理性证明思想也由Zeuthen和巴特尔·伦德特·范德瓦尔登对正方形的对角线与边之比以及3, 5, ... ,17的平方根表达过，根据柏拉图，这些被西奥多罗斯证明是无理的。
威尔伯·诺尔提出了一种新理论，尤其试图更好地解释为什么西奥多罗斯恰好停在17的平方根处。他的理论是某种基于学校已知的√2无理性证明的几何版本。
Fowler接受了诺尔的主要观点，但也回到了连分数，甚至坚持认为在柏拉图的时代普通分数也是作为连分数来处理的。
在继续描述关于数的观念进展之前，此处应当提到，埃及人和巴比伦人对数的概念与古希腊人不同。巴比伦人早在希腊数学家考虑近似值之前很久，就研究了倒数以及无理数（如√2）的近似值。埃及人也研究了无理数的近似值。
现在让我们看看欧几里得的Elements.中出现的情况。这是一个重要阶段，因为此后近2000年情况将一直如此。在第五卷中，欧几里得考虑量以及量的比例理论。这很可能是（并且在The Elements)的 later version 中被声称）欧多克索斯的工作。通常当欧几里得想要说明一个关于量的定理时，他会给出一个用线段表示量的图。然而，量对欧几里得来说是一个抽象概念，适用于线、面和体。此外，更一般地，欧几里得也知道他的理论适用于时间和角。
鉴于欧几里得以数学的公理化方法而闻名，人们可能会期望他从量的定义开始，并陈述一些未经证明的公理。然而，他并未定义量的概念，其前两个定义涉及量的一部分和量的倍数：
定义 V.1 当一个量能量尽较大的量时，较小的量是较大的量的一个部分。
同样，这里的“量尽”一词未加定义，但显然欧几里得的意思是（用现代符号表示）对于某个自然数，若，则较少量是较大量的一部分。
定义 V.2 当较大的量被较小的量量尽时，较大的量是较小的量的一个倍数。
接下来是比的定义。
定义 V.3 比是同类两个量之间的一种大小关系。
这是对“比”的一个极其模糊的定义，基本上根本没有把它定义出来。接着他定义了量在什么情况下有比，按照这个定义，就是当第一个量的某个（自然数）倍数超过第二个量，并且第二个量的某个倍数超过第一个量时。然后是关于两个量与第二对量成相同比的关键定义。由于用欧几里得的语言很难理解，让我们把它翻译成现代记号。它说的是， 如果给定任意自然数 和 ，我们有
当且仅当
当且仅当
当且仅当。
欧几里得接着证明了一些定理，在现代数学家看来，就好像量是向量、整数是标量，而他在证明向量空间公理。例如，对于量 和 以及自然数 和 ，他证明了：-
命题 V.1
命题 V.2
命题 V.3
在第 VII 卷中，欧几里得研究数。他给出了一系列定义。首先他定义单位，然后把数定义为由多个单位组成，并且像对量那样定义部分和倍数。我们应当注意，欧几里得和更早的希腊数学家一样，不把 1 看作数。1 是单位，而数 2、3、4、……由单位组成。数的各种性质被假定，但没有列为公理。例如，乘法的交换律被假定，却从未被表述为公理，加法的结合律等等也是如此。然后他引入数的比例，并本质上证明了对于数 ， 当且仅当具有比 的最小数组等于具有比 的最小数组。用现代术语说，这在逻辑上等价于说有理数 和有理数 相等，如果它们约到最简形式时相同。第 VII 卷中的一个重要结果是欧几里得算法。我们应当注意，欧几里得从未把比 2 : 1 与数 2 等同起来。这是两个相当不同的概念。
第X卷讨论可公度与不可公度量。这是一卷很长的书，超过The Elements.整体的四分之一。我们有：
定义 X.1 若两个量可由同一度量量尽，则称它们为可公度的；若它们不可能有任何公共度量，则称为不可公度的。
欧几里得随后证明了如下结果：-
命题 X.2 若给定两个不相等的量，并不断从较大者中减去较小者，而余量永远量不尽它前面的量，则这两个量将是不可公度的。
命题 X.5 可公度的量彼此之比等于一个数比一个数。
注意，命题X.2说的是，如果欧几里得算法不终止，则两个量不可公度。欧几里得接着证明了许多其他结果，其中包括西奥多罗斯的那些结果，即长度为√3、√5、…、√17的线段与单位长度的线段不可公度。
那么欧几里得的Elements在数方面给我们留下了什么。基本上，数就是1、2、3、……，而数的比被使用，这（尽管不被认为是数）基本上允许对我们称为有理数的东西进行运算。此外，量也被考虑，这些本质上是由单位长度的线段通过尺规作图可构造的长度。没有考虑其他量。因此，数学家研究的是那些长度，用现代术语来说，可以由正整数通过加、减、乘、除和开平方根形成的量。
阿拉伯数学家在可构造量方面走得更远，因为他们使用几何方法求解三次方程，这意味着他们可以构造出与单位长度之比涉及立方根的量。例如，奥马尔·海亚姆展示了如何用几何方法求解所有三次方程。斐波那契利用从阿拉伯人那里学到的技巧，求解了一个三次方程，表明其根不是由有理数及有理数的平方根形成的，不像欧几里得的量那样。然后他继续计算了一个近似解。尽管没有发生概念上的进步，但到十五世纪末，数学家们已经在考虑由正整数通过加、减、乘、除和开n次方根构建的表达式。这些被称为根式表达式。
到十六世纪，有理数和数的根已逐渐被接受为数，尽管这些不同类型的数之间仍有严格区分。米夏埃尔·施蒂费尔在其Arithmetica IntegraⓉ（《整数算术》）（1544年）中主张，无理数必须被视为合法的数：-
无理数是真数还是假数，这一点确实有争议。因为在研究几何图形时，当有理数无法胜任之处，无理数便取而代之，并精确地显示出有理数所无法显示的东西……我们被推动并被迫承认它们是正确的……
然而，他接着论证说，由于它们与有理数不成比例，即使它们是正确的，也不能是真数。他最终主张，所有无理数都源于根式表达式。那么，读者可能觉得想要问米夏埃尔·施蒂费尔的显而易见的问题是：半径为1的圆的周长长度又如何呢？事实上，米夏埃尔·施蒂费尔在该书的一个附录中对此给出了答案。首先，他区分了物理圆与数学圆。他声称，人们可以测量物理圆的性质，但无法用物理仪器测量数学圆。然后他接着把圆视为边数越来越多的多边形序列的极限。他写道：-
因此，数学圆被恰当地描述为具有无穷多条边的多边形。这样一来，数学圆的周长不接受任何数，既不是有理数也不是无理数。
这个论证不算太好，但尽管如此，这是一个非凡的洞见：存在一些长度，它们不对应于根式表达式，却可以被近似到任意想要的精确程度。
西蒙·斯蒂文在1585年的La TheindeⓉ（《第十》）（1585年）中取得了重大进展，他引入了十进制小数。这里必须理解，实际上从某种意义上说，他的发明导致对数的更深刻理解是偶然的，因为他肯定不是带着这个想法引入这种记号的。只允许有限小数，所以用他的记号只有某些有理数能被精确表示。其他有理数可以近似表示，西蒙·斯蒂文将这个系统视为用近似有理数值进行计算的手段。他的记号被克里斯托佛·克拉乌和约翰·纳皮尔采纳，但其他人抵制使用它，因为他们认为采用一个甚至不能精确表示1/3的系统是倒退。
西蒙·斯蒂文在实数研究中还取得了若干其他重要进展。他在L'ArithmetiqueⓉ（《算术》）（1585年）中强烈主张，所有诸如平方根、无理数、不尽根、负数等数都应被当作数来对待，而不应被区分为本质上不同的东西。他写道：-
命题1：单位是一个数。
命题2：任何给定的数都可以是平方、立方、四次方等。
命题3：任何给定的根都是一个数。
命题4：不存在荒谬的、无理的、不规则的、不可解释的或根式的数。在算术作者中，非常常见的是将像√8及类似的数视为荒谬的、无理的、不规则的、不可解释的或无理根的数等等，而我们否认出现这种情况的数。
他的第一个命题是反对希腊人的观念，即1不是数而是单位，而数2、3、4、……是由单位组成的。其他三个命题鼓励人们将当时分别处理的不同类型的数视为一个单一实体——即一个数。
在L'ArithmetiqueⓉ（《算术》）中还有一条西蒙·斯蒂文的评论值得记录。他指出，正如我们上面所述，欧几里得的命题X.2说，如果欧几里得算法不终止，则两个量不可公度。西蒙·斯蒂文就此写道，指出了今天我们会称之为算法与过程（或半算法）之间的区别：-
尽管这个定理是有效的，然而我们无法通过这样的经验认识到两个给定量的不可公度性。……即使我们能够通过适当的过程从较大的量中减去较小的量几十万次，并持续数千年，然而如果两个给定的数不可公度，人们将永远劳作，始终不知道最终可能发生什么。因此，这种认知方式是不合法的，而是一种不可能的情况……
只有在收敛的思想被置于坚实的基础上之后，实数的发展才可能取得进一步进展。然而，反方向也有强烈的影响，因为严格分析的进展需要对实数有更深入的理解。这在文章大卫·希尔伯特中进一步研究。