九章算术Nine Chapters on the Mathematical Art

Jiuzhang suanshu或Nine Chapters on the Mathematical Art是一本实用的数学手册，包含246个问题，旨在提供用于解决工程、测量、贸易和税收等日常问题的方法。它在中国数学发展中发挥了根本性作用，类似于欧几里得的Elements在从古希腊人奠定的基础发展起来的数学中所起的作用。但有一个重大差异，我们必须在这篇文章一开始就加以审视，这就是证明的概念。

众所周知，例如欧几里得对其结果给出了严格的证明。在中国著作如Nine Chapters on the Mathematical Art中未能看到类似的严格证明，导致历史学家认为中国人给出的公式没有正当理由。然而，这仅仅是一个例子，说明精通本质上源自希腊数学的数学的历史学家认为中国数学因其不同而低劣。最近的工作已开始纠正这一错误印象，并理解到对"证明"有不同的理解。例如在[8]中，Chemla表明中国数学家确实懂得如何给出令人信服的论证，证明他们解决特定问题的方法是正确的。

现在让我们简要描述该书的九章内容。

第一章：土地测量。
本章包含38个关于土地测量的问题。它首先讨论面积问题，然后讨论分数的加、减、乘、除规则。给出了求两个数最大公约数的欧几里得算法方法。接着进一步讨论面积问题，这些问题不使用分数内容，而分数内容出现的位置似乎有些不妥。计算面积的形状类型包括三角形、矩形、圆形、梯形。在第32题中给出了π的精确近似值。这在刘徽的传记中有详细讨论。

第2章：粟与米。
本章包含46个关于货物交换的问题，特别是二十种不同谷物、豆类和种子之间的兑换率。其数学内容涉及比例和百分比的研究，并引入了用于解决比例问题的三率法。许多问题看似简单，只是为了给读者提供处理繁难分数计算的练习借口。

第3章：按比例分配。
这里有20个问题，同样涉及比例，许多涉及给予或亏欠不同级别官员的不同数额。研究了正比例、反比例和复比例。特别是一些问题中使用了等差级数和等比级数。

第4章：短宽度。
本章包含24个问题，其名称来自前11个问题，这些问题是问如果宽度增加而面积保持不变，田地的长度将是多少。这前11个问题涉及单位分数，都属于以下类型，其中$n = 2, 3, 4, ..., 12$：

假设一块田地的宽度为$1+ \large\frac{1}{2}\normalsize + \large\frac{1}{3}\normalsize + ... + \large\frac{1}{n}\normalsize$。如果其面积为1，那么它的长度必须是多少？

第12至18题涉及开平方根，其余问题涉及开立方根。极限和无穷小的概念出现在本章中。刘徽，其公元263年的注释已成为文本的一部分，试图求球体的体积，给出了一个近似公式，并证明其不正确，然后风趣地写道：-

让我们把这个问题留给能说出真相的人。

第5章：土木工程。
这里有28个关于运河、沟渠、堤坝等建造的问题。计算棱柱、棱锥、四面体、楔形、圆柱体和截锥体等立体的体积。刘徽在其评注中讨论了他发明的一种“穷竭法”，以求出棱锥体积的正确公式。

第6章：货物的公平分配。
本章包含28个涉及比和比例的问题。问题多种多样，涉及旅行、税收、分享等。第12题是一个追及问题：——

一个好跑者能跑100步，而一个差跑者只能跑60步。差跑者在好跑者开始追赶之前已经跑了100步的距离。好跑者需要跑多少步才能追上差跑者。
[答案：250步]

第26题已成为一个至今仍在使用的经典类型：-

一个水池通过五条水渠注水。打开第一条水渠，水池在$\large\frac{1}{3}\normalsize$天内注满；用第二条，1天注满；用第三条，$2\large\frac{1}{2}\normalsize$天注满；用第四条，3天注满；用第五条，5天注满。如果所有水渠都打开，注满水池需要多长时间？
[答案：一天的$\large\frac{15}{74}\normalsize$]

第7章：盈不足。
这20个问题给出了双假设法的规则。本质上，线性方程通过两次猜测解，然后根据两个误差计算出正确答案。例如，求解

$ax + b = c$

我们尝试$x = i$，得到的不是$c$而是$c + d$。然后我们尝试$x = j$，得到的不是$c$而是$c + e$。那么正确的解是

$x = (jd - ie)/(d - e)$。

第一个问题本质上在其表述中包含了“猜测”：-

某些物品被共同购买。如果每人支付8枚硬币，则盈余3枚硬币；如果每人支付7枚硬币，则不足4枚硬币。求人数和物品的总价。
[答案：有7人，物品的总价为53枚硬币。]

第18题，虽然没有被表述为“猜测问题”，但却是用那种方式解决的：-

有两堆硬币，一堆有9枚金币，另一堆有11枚银币。两堆硬币重量相同。从每堆中各取一枚硬币放入另一堆。现在发现，以金币为主的那堆硬币比以银币为主的那堆硬币轻13个单位。求一枚银币和一枚金币的重量。

第8章：方程术。
这里给出了18个问题，它们归结为求解联立线性方程组。然而，所给的方法基本上是利用增广系数矩阵来求解方程组。这些问题涉及多达六个方程、六个未知数，与现代方法的唯一区别是系数按列而不是按行排列。然后，矩阵被化为三角形形式，使用初等列变换，就像今天在高斯消元法中所做的那样，并针对原问题解释答案。矩阵中使用了负数，本章还包括了与它们进行计算的规则。

第9章：勾股。
在这最后一章中，有24个问题，全部基于直角三角形。前13个问题通过应用毕达哥拉斯定理来解决，中国人称之为勾股规则。两个问题研究现在所谓的毕达哥拉斯三元组，而其余的问题使用相似三角形理论。这里有一个使用相似三角形的例子；这是第20题：-

有一座边长未知的方形城镇。每一边的中间都有一道城门。北门外二十步处有一棵树。如果从南门出城，向南直走14步，再向西直走1775步，树恰好进入视野。这座城镇的边长是多少？

插图：problem9.20.gif ↗

在图中，北门是$N$，南门是$S$，树是$A$。从$S$向南走14步到达$B$，转向西走1775步到$C$。从$C$处，$A$处的树刚好可见，因此线$CA$穿过正方形的角$D$。

现在三角形$AND$和$ABC$相似，所以

$AN/ND = AB/BC$

给出

$20/(x/2) = (20 + x + 14)/1775$。

然后$x^{2} + x(20 + 14) = 2 (20\times 1775)$，或

$x^{2} + 34x = 71000$。
[答案：城镇的边长是250步]


二次方程首次在第9章中被考虑，通过使用几何思想的除法类似物解决，实际上来自中国的平方根算法，而不是来自代数。

在考察了这部著作的内容之后，我们接下来思考它的成书年代。刘徽在公元263年为Nine Chapters on the Mathematical Art作了注释。他认为他所注释的文本最初写于公元前1000年左右，但其中融入了许多后来时代的材料。他在序言中写道：-

从前，暴君秦焚烧了文献，导致古典知识的毁灭。后来，北平侯张苍和主管农业的副部长耿寿昌，都因其计算才能而闻名。由于古代文本已经损坏，张苍和他的团队制作了一个新版本，删去残缺部分并补全缺失部分。因此，他们修订了一些部分，结果这些部分与旧的部分不同……

让我们给出刘徽所描述事件的一些年代。秦朝在汉朝之前，正是秦统治者始皇帝试图通过摧毁所有早期学问来改革教育。他于公元前213年下令焚烧所有书籍，而刘徽提到的张苍在公元前170年左右进行了他的重建工作。然而，大多数历史学家不会相信Nine Chapters on the Mathematical Art的原始文本像刘徽所认为的那样古老。事实上，大多数历史学家认为该文本起源于公元前200年左右，即在始皇帝焚书之后。其他人给出的年代在公元前100年到公元50年之间。

人们使用什么方法来试图确定材料的年代？也许最重要的是检查各种问题中出现的长度、体积和重量单位。中国在公元前200年左右确立了标准的十进制长度单位，后来出现了进一步细分。基本单位被使用，而后来细分单位未被使用，这导致年代为公元前200年之后不久。在刘徽的注释中，使用了约公元250年引入的细分单位，这与该注释写于公元263年相符。

当然，使用长度单位来确定年代并非决定性的。考虑英国在1970年改为十进制货币这一事实。如果你拿起一本用十进制货币给出数学问题的书，那么我们可以像上面那样论证，说这本书写于1970年之后。然而，当货币改变时，流行教科书的新版本也出版了，所以许多旧书以十进制版本出现。Nine Chapters on the Mathematical Art肯定是一部重要文本，因此随着它的演变，其长度单位可能已经更新。

除了测量单位之外，还有其他证据可以确定Nine Chapters on the Mathematical Art各部分的年代吗？是的，有。问题中包含对税收、货物分配方法、城镇和公园的提及，这些都指向文本不同部分略有不同的年代，但公元前206年到公元50年涵盖了这些不同的年代。

除了刘徽在263年的注释之外，还有另一部重要的后期注释，即李淳风的注释，他的注释写于约640年，当时他领导一个团队受命注释数学十大经典。李淳风纠正并澄清了刘徽的一些评论，对许多写得相当简洁的内容进行了扩展。

Nine Chapters on the Mathematical Art[4]：-

……主导了中国数学史。它不仅是中国的教科书，也是邻近国家和地区的教科书，直到公元1600年左右西方科学从远东传入。

现在，尽管欧洲科学在十六世纪似乎没有到达中国，但有人指出，那个世纪在欧洲广泛使用的许多数学公式和规则与Nine Chapters on the Mathematical Art.中写下的公式本质上是相同的。这引出了一个有趣的问题，历史学家至今没有令人信服的答案，即欧洲的公式是否直接取自中国的公式。