数学史专题
希腊数学中有三个经典问题，对几何学的发展影响极大。这些问题就是化圆为方、倍立方体和三等分角。尽管它们密切相关，我们仍选择在各自独立的文章中加以考察。本文研究其中最为著名的问题，即squaring the circle问题，或有时所称的quadrature of the circle。
这个问题引人入胜之处之一在于，它在整个数学史中一直令人感兴趣。从已知最古老的数学文献直到今天的数学，这个问题以及关于π的相关问题一直吸引着职业数学家和业余数学家。
现存最古老的数学著作之一是莱因德纸草书，以苏格兰埃及学家A Henry Rhind命名，他于1858年在卢克索购得此书。它是一卷长约6米、宽米的纸草卷，约于公元前1650年由书吏Ahmes抄写，他抄写的是一份比之早200年的文献。这使原纸草书的年代约为公元前1850年，但一些专家认为莱因德纸草书所依据的作品可追溯到公元前3400年。
在莱因德纸草书中，Ahmes给出了一个构造面积几乎等于圆面积的正方形的法则。该法则是从圆的直径中减去，并在剩余部分上构造一个正方形。尽管这实际上并非严格意义上的几何作图，但它确实表明，构造面积等于圆面积的正方形这一问题可以追溯到数学的起源。这是一个相当好的近似，对应于π的值为3.1605，而不是3.14159。
我们今天所理解的化圆为方问题起源于希腊数学，而且并不总是被正确理解。问题是：给定一个圆，用几何方法构造一个面积等于该圆的方形。允许用来进行这一构造的方法并不完全清楚，因为实际上希腊人在几何中使用的方法范围，正是通过试图解决这个和其他经典问题而扩大的。帕普斯在希腊几何发展末期所著的Mathematical collection中，区分了古希腊人使用的三类方法（例如见[5]）：——
我们说，几何问题有三类，即所谓的“平面”、“立体”和“线性”问题。那些能用直线和圆解决的问题被恰当地称为“平面”问题，因为解决这类问题所用的线起源于平面。那些通过使用一个或多个圆锥截线来解决的问题被称为“立体”问题。因为在构造中必须使用立体图形的表面，也就是说，圆锥。还剩下第三类，即所谓的“线性”问题。因为在这些情况下的构造需要用到已经提到的曲线之外的曲线，这些曲线具有更复杂、更牵强的起源，来自更不规则的曲面和更复杂的运动。
现在我们通常认为化圆为方问题是一个必须用尺规解决的问题。这实际上是在问，化圆为方按照上面给出的帕普斯的术语是否是一个“平面”问题（我们将经常说“平面解”，而不使用更繁琐的“用尺规求解”）。然而，古希腊人并没有把自己局限于试图寻找平面解（我们现在知道这是不可能的），而是利用为此目的专门发明的各种曲线发展出了多种多样的方法，或者设计出基于某种机械方法的构造。
有记载的最早尝试化圆为方的数学家是阿那克萨戈拉。普鲁塔克在公元一世纪所著的《论流放》中写道[4]：-
没有任何地方能夺走一个人的幸福，也不能夺走他的美德或智慧。阿那克萨戈拉确实在狱中写下了关于化圆为方的论述。
此后不久，这个问题必定变得相当流行，不仅限于少数数学家之间，而是相当广泛，因为约公元前414年阿里斯托芬所写的戏剧Birds中提到了它。两个角色在对话，墨同是天文学家（见D Barrett（译），Aristophanes，Birds（伦敦，1978年）或[4]以获取更短的引文）：-
墨同：我是谁？当然是墨同。那个墨同。闻名整个希腊世界——你一定听说过我在科洛诺斯的水钟吧？
Meton：啊！这些是我用来测量空气的特殊杆。你看，空气的形状——我该怎么说呢？——有点像灭火器：所以我只需把这根可弯曲的杆接在上端，拿起圆规，把针尖插在这里，然后——你明白我的意思吗？
Peisthetaerus：不明白。
Meton：那我现在用这根直杆——这样——这样就化圆为方了：这就成了。中心是你的市场：笔直的街道从这里、这里、这里通向它。其实，原理和星芒很相似：星本身是圆的，却向四面八方射出直的光线。
佩斯特泰罗斯：太棒了——这人是个泰勒斯。
从这时起，“化圆为方者”这一说法开始使用，并被用来指代试图做不可能之事的人。事实上，希腊人发明了一个专门的词，意为“忙于化圆为方”。化圆为方能进入流行戏剧并以这种方式进入希腊语词汇，那么在阿那克萨戈拉的工作与这部戏剧的写作之间必定有大量活动。事实上，我们知道这一时期有许多数学家研究这个问题：恩诺皮德斯、安提丰、Bryson、希俄斯的希波克拉底和希庇亚。
恩诺皮德斯被托马斯·利特尔·希思认为是要求用平面方法解决几何问题的人。普罗克洛将两个定理归于恩诺皮德斯，即从直线外一给定点作该直线的垂线，以及从给定直线上的一给定点作与该直线成给定角的直线。托马斯·利特尔·希思认为这些初等结果的意义在于，恩诺皮德斯首次明确提出了“平面”或“尺规”类型的作图。托马斯·利特尔·希思写道[2]：-
……[恩诺皮德斯]可能是第一个规定尺规作图中允许使用的手段的限制的人，这一限制后来成为希腊几何学中所有平面作图的准则……
没有记录表明恩诺皮德斯曾尝试用平面方法化圆为方。事实上，一个相当引人注目的事实是，希腊人并没有产生用平面方法化圆为方的错误“证明”。少数这类错误证明的说法，似乎更多是由于能力较差的数学家未能准确理解某些更杰出的贡献旨在表明什么。遗憾的是，后来的数学家没有效仿古希腊人树立的良好榜样，许多人确实错误地声称发现了“尺规”证明。业余数学家被古典问题深深吸引，已经产生（并且仍在继续产生）成千上万的错误证明。
安提丰和Bryson都提出了与化圆为方有关的论证，这些论证在数学的未来发展中将被证明是重要的。安提丰在圆内作内接正方形，然后作正八边形，再作正十六边形，他继续这一过程，不断将边数加倍。看来Bryson改进了安提丰的论证，不仅作圆的内接多边形，还作外切多边形。Themistius陈述[1]：-
……Bryson宣称圆大于所有内接多边形，而小于所有外切多边形。
希俄斯的希波克拉底是第一个实际使用平面作图来求面积等于有曲边的图形的正方形的人。他化某些月牙形为方，也化一个月牙形与一个圆之和为方。现在，尽管他化了某些月牙形为方，但他并未证明每个月牙形都能化为方。特别是，他在用平面作图求面积等于某个月牙形与一个圆之和的正方形时，所化的那个月牙形是他无法用平面方法化为方的。当然，这个月牙形不可能用平面方法化为方，否则希俄斯的希波克拉底就会化圆为方了。尽管有些人，如亚里士多德，似乎未能理解希俄斯的希波克拉底论证的逻辑，但几乎毫无疑问，希俄斯的希波克拉底完全清楚他的方法未能化圆为方。希俄斯的希波克拉底化月牙形为方的方法的例子见本档案馆中他的传记。
希庇亚和Dinostratus与使用割圆曲线化圆为方的方法有关。这条曲线被认为是希庇亚的发明，而将其应用于化圆为方似乎应归功于Dinostratus。本档案中希庇亚的传记给出了这条曲线连同图解的构造。现在这条曲线确实解决了化圆为方的问题，但正如希庇亚所给出的，这条曲线是通过机械方法构造的，即一条直线在等于圆旋转半径的时间内作匀速运动。这一构造被正确地批评为需要知道直线与圆弧之比的知识，因此人们一开始就把化圆为方所需的性质假定为已知。显然，Dinostratus从未声称割圆曲线给出了一种化圆为方的平面方法。许多年之后，尼科米迪斯也使用割圆曲线来化圆为方。
亚里士多德似乎并不欣赏那些试图化圆为方者的贡献。他在其著作Physics中写道：-
任何科学的代表人物都不需要解决可能提出的每一种困难，而只需解决那些由该科学原理的错误推导而产生的困难：除此之外的困难，他无需操心。例如，几何学家应当揭露借助弓形进行的化圆为方，但反驳安提丰的论证并非几何学家的职责。
在这段引文中，“借助弓形进行的化圆为方”指的是希波克拉底的月牙形化圆为方，亚里士多德错误地认为其意在证明圆可以用平面方法化为方。安提丰的方法受到了亚里士多德更为严厉的批评，但安提丰的方法值得称赞，其中包含的重要思想最终导向了积分。亚里士多德在Sophistical refutations中也以类似措辞写道，很可能他同样接受了关于安提丰和Bryson试图证明之内容的错误解释：-
Bryson试图化圆为方所用的方法，即便由此化圆为方，也因其与手头的问题毫无关联而沦为诡辩。……借助月牙形化圆为方并非争辩术，但Bryson的化圆为方则是争辩术。前者所用的推理除了几何学本身之外不能应用于任何其他主题，而Bryson的论证则针对的是那些不知道在每个领域中什么是可能、什么是不可能的大众，因为它适用于任何情况。安提丰的化圆为方也是如此。
接下来我们应当考虑阿基米德对化圆为方问题的贡献。阿基米德以引入螺线而闻名，但他为何引入这条曲线？[7]的作者们提出了三个理由：-
是纯粹出于几何原因，因为他研究这条曲线作为计算π和化圆为方的手段？是出于他的天文学兴趣，试图用几何方法计算行星的螺旋运动？还是最终出于一种机械头脑对由两种规则匀速运动——一种沿直线、一种沿圆周——组合而成的曲线的兴趣？这三个理由同时显而易见……
阿基米德在其著作On spirals中给出了螺线的如下定义（例如见[5]）：-
如果在平面上画一条直线，它绕一个固定端点匀速旋转任意多次直到回到原来的位置，并且，在直线旋转的同时，一个点从固定端点开始沿这条直线匀速移动，那么这个点将在平面上描出一条螺线。
插图：Circlesquare1.gif ↗
化圆为方阿基米德给出如下作图。设 为螺线完成一圈时的点。设 处的切线在 处与垂直于 的直线相交。然后 阿基米德 在 On spirals 的命题 19 中证明 是半径为 的圆的周长。现在可能不清楚这是否解决了化圆为方问题，但 阿基米德 已经在 Measurement of the circle 的第一个命题中证明，圆的面积等于一个直角三角形的面积，该三角形的两条较短边分别等于圆的半径和圆的周长。因此半径为 的圆的面积等于三角形 的面积。
阿波罗尼奥斯和 Carpus 都使用曲线来化圆为方，但尚不清楚这些曲线究竟是什么。阿波罗尼奥斯 所用的曲线被 Iamblichus 称为“蚌线的姐妹”，这导致了对该曲线可能是什么的各种猜测。同样，Antioch 的 Carpus 所用的曲线被称为“双重运动曲线”，保罗·塔内里 认为它是摆线。
现在我们离开古希腊时期，看看后来的发展，但首先应当指出的是，当时对化圆为方感兴趣的绝不只是希腊人。印度的数学家也对这个问题感兴趣（例如见[11]），而在中国，汉代的刘歆等数学家表明自己是公元25年左右尝试化圆为方者中的杰出人物之一。
一段时间之后，阿拉伯数学家和希腊人一样，也被这个问题深深吸引。在[6]中讨论了海什木关于化圆为方的工作。海什木旨在让人们相信用平面作图化圆为方是可能的，但既然他承诺的关于该主题的论著从未问世，他至少一定已经意识到自己无法解决这个问题。
在海什木的工作之后不久，列日的Franco于1050年写了一篇关于化圆为方的论著De quadratura circuli Ⓣ。该文本收录于[8]和[9]中，Franco在其中考察了三种基于π为或4这一假设的早期方法。Franco指出（理由相当充分）这些方法是错误的，然后给出了他自己的作图，其依据是π为这一假设。尽管这篇论著具有重大的历史意义，它确实表明当时的欧洲数学在理解的深度上远远落后于古希腊人。
前进到约1450年，尼古拉试图证明可以用平面作图化圆为方。尽管他对某些内接和外切多边形取平均的方法相当谬误，但这是“现代”欧洲最早认真尝试解决该问题的工作之一。同样值得指出的是，古希腊人基本上已经知道用平面方法无法化圆为方，尽管他们绝无可能证明这一点。约翰·缪勒为欧洲数学带来了新的推动力，他很快指出了尼古拉论证中的错误。
希腊人的机械方法无疑吸引了列奥纳多·达·芬奇，他以非常机械的方式思考数学。他设计了几种新的机械方法来化圆为方。十六世纪的许多数学家研究了这个问题，包括Oronce 奥文斯·菲内和Giambattista della 吉安巴蒂斯塔·德拉·波尔塔。奥文斯·菲内的“证明”在他给出后不久就被Pedro 佩德罗·努内斯证明是错误的。微分和积分微积分的开端导致了对化圆为方的兴趣增加，但数学的新时代仍然产生了用平面方法化圆为方的谬误“证明”。格雷瓜尔·德·圣樊尚在1647年出版的一本书中给出的一个此类错误证明，基于一种早期类型的积分。这个问题仍然为数学发展提供了大量推动力。
James 詹姆斯·格雷果里对无穷序列和收敛性有了深刻的理解。他将这些思想应用于圆的内接和外切多边形的面积序列，并试图用该方法证明不存在化圆为方的平面作图。他的证明本质上试图证明π是超越数，即不是有理多项式方程的根。尽管他试图证明的东西是正确的，但他的证明肯定不正确。然而，克里斯蒂安·惠更斯等其他一些人相信π是代数数，即它是有理多项式方程的根。
仍然有人对获得化圆为方的方法感兴趣，而这些方法并非平面方法。例如约翰·伯努利给出了一种通过形成渐伸线来化圆为方的方法，该方法在[12]中有详细描述。
数学史家J.É. 蒙蒂克拉将化圆为方作为他1754年出版的第一部历史著作的主题。这部著作写作的时间远在该问题最终解决之前，因此必然非常过时。然而，这部著作是一部经典，仍然很值得一读。
在证明圆不能用尺规化方方面的重大进展发生在1761年，当时兰伯特证明了π是无理数。这还不足以证明用尺规化圆为方是不可能的，因为某些代数数可以用尺规构造出来。它只是导致了业余爱好者对化圆为方问题解决方案的更大泛滥，1775年巴黎Académie des Sciences通过了一项决议，意味着不再审查提交给他们的进一步尝试性解决方案。几年后，伦敦的皇家学会也禁止考虑任何进一步的化圆为方“证明”，因为大量业余数学家试图通过向该学会提交解决方案来成名。Royal Society的这一决定在大约100年后被奥古斯塔斯·德摩根描述为official blow to circle-squarers。
这个问题的流行程度持续不减，奥古斯塔斯·德摩根在他的书Budget of Paradoxes中讲述了许多有趣的故事，该书由他的妻子于1872年，即他去世后的第二年编辑出版。奥古斯塔斯·德摩根建议将圣维图斯封为化圆为方者的守护圣人。这是指圣维图斯舞蹈，一种狂野跳跃的舞蹈，人们尖叫呼喊，导致一种集体癔症。奥古斯塔斯·德摩根还建议使用术语“morbus cyclometricus”来表示“化圆为方病”。显然，奥古斯塔斯·德摩根发现自己不得不试图说服这些化圆为方者，他们的方法是错误的，然而尽管专业数学家们竭尽全力，许多人仍固执己见。例如，某位詹姆斯·史密斯先生写了好几本书，试图证明。当然，史密斯先生能够由此推断出圆可以化方，但无论是威廉·哈密顿、奥古斯塔斯·德摩根还是其他人都无法说服他认识到自己的错误。
关于圆能否用尺规方法化方这一问题的最终解决出现在1880年，当时费迪南德·冯·林德曼证明了π是超越数，即它不是任何有理系数多项式方程的根。π的超越性最终证明了不存在化圆为方的尺规构造。
人们可能会想象这将是化圆为方问题兴趣的终结，但事实肯定并非如此。它既没有阻止声称π具有某个简单有理值的出版物洪流，也没有阻止用尺规近似化圆为方的完全正确构造的出版物洪流。作为前一种声称的例子，New York Tribune在1892年发表了一封信，作者在信中声称重新发现了一个可追溯到尼科米迪斯的秘密，该秘密证明π = 3.2。也许更令人惊讶的是，有许多人被这封信完全说服，此后坚定地相信π = 3.2。
在化圆为方的正确近似作图中，有一个是欧内斯特·威廉·霍布森在1913年给出的。这是一个相当精确的作图，它基于构造π的近似值3.14164079...而不是3.14159265...。然而更值得注意的是拉马努金发表的尺规作图。1913年在Journal of the Indian Mathematical Society中，在一篇名为Squaring the circle的论文中，拉马努金给出了一种作图，它等价于给出π的近似值，该值仅在小数点后第七位与正确值不同。他以如下内容结束了这篇论文：-
在拉马努金于1914年给出的其他作图（Approximate geometrical constructions for π, Quarterly Journal of Mathematics XLV (1914), 350-374）中，有一个尺规作图，它等价于取π的奇怪却显著的近似值。这个值是3.1415926525826461253...，它仅在小数点后第九位与π不同（π = 3.1415926535897932385...）。对于直径为8000英里的圆，所作正方形边长的误差仅为一英寸的几分之一。