数学史专题
大约在公元前300年，欧几里得写了一本The Elements,，这本书后来成为有史以来最著名的著作之一。欧几里得提出了五条公设，他所有的定理都建立在这些公设之上：
显然，第五公设与其他四条不同。它不令欧几里得满意，他尽可能避免使用它——事实上，The Elements的前28个命题的证明都没有用到它。此时另一点值得评论的是，欧几里得以及许多追随他的人都假定直线是无限的。
普罗克洛（410-485）写了一部The Elements的注释，其中评论了从其他四条公设推导第五公设的尝试性证明，他特别指出克劳狄乌斯·托勒密曾给出一个错误的“证明”。普罗克洛随后给出了他自己的一个错误证明。不过，他确实给出了下面这条与第五公设等价的公设。
约翰·普莱费尔的公理：给定一条直线和直线外一点，过该给定点可以作且仅可作一条直线与已知直线平行。
尽管从普罗克洛时代起就已为人所知，但在约翰·普莱费尔于1795年写了一部关于欧几里得的著名注释之后，它便以Playfair's Axiom之名而为人所知，在该注释中他提议用这条公理取代欧几里得的第五公设。
人们曾多次尝试从其他四条公设证明第五公设，其中许多在很长一段时间内被接受为证明，直到错误被发现。错误无一例外地都是假定某个“显然”的性质，而该性质结果却与第五公设等价。约翰·沃利斯在1663年给出了这样一个“证明”，当时他以为自己推导出了第五公设，但实际上他证明了它等价于：-
对每个三角形，都存在一个任意大小的相似三角形。
其中一个尝试的证明结果比大多数其他证明更重要。它是由Girolamo Saccheri在1697年提出的。Saccheri工作的重要性在于他假设第五公设是假的，并试图推导出矛盾。
插图：Saccheri_quadrilateral.jpeg ↗
这就是萨凯里四边形
在此图中，Saccheri证明了在和处的顶角相等。该证明使用了全等三角形的性质，这些性质是欧几里得在命题4和命题8中证明的，而这些命题是在使用第五公设之前证明的。Saccheri已经表明：
a) 顶点角 > 90°（钝角假设）。
b) 顶点角 < 90°（锐角假设）。
c) 顶点角 = 90°（直角假设）。
欧几里得的第五公设是c)。Saccheri证明了钝角假设蕴含第五公设，从而得到矛盾。Saccheri随后研究了锐角假设，并推导出许多非欧几何的定理，却没有意识到自己在做什么。然而，他最终通过假设存在一个位于平面上的“无穷远点”，“证明”了锐角假设导致矛盾。
1766年，兰伯特沿着与Saccheri类似的路线前进。不过，他没有落入Saccheri落入的陷阱，而是研究了锐角假设，并未得到矛盾。兰伯特注意到，在这种新几何中，三角形的内角和随着三角形面积的减小而增大。
阿德里安-马里·勒让德一生中有40年时间都在研究平行公设，其成果出现在他那本极为成功的几何著作Eléments de GéométrieⓉ（《几何原本》）多个版本的附录中。阿德里安-马里·勒让德证明了欧几里得的第五公设等价于：
三角形的内角和等于两个直角。
阿德里安-马里·勒让德表明，正如Saccheri在100多年前所做的那样，三角形的内角和不可能大于两个直角。这同样与Saccheri一样，依赖于直线是无限的事实。在试图证明内角和不可能小于180°时，阿德里安-马里·勒让德假设通过一个角内部的任意一点，总能画出一条与角的两边都相交的直线。这原来是第五公设的另一种等价形式，但阿德里安-马里·勒让德自己从未意识到他的错误。
此时，初等几何已被平行公设问题所吞没。让·勒朗·达朗贝尔在1767年称之为the scandal of elementary geometry.
真正开始理解平行线问题的人是卡尔·弗里德里希·高斯。他在1792年只有15岁时就开始研究第五公设，起初试图从其他四条公设证明平行公设。到1813年，他几乎没有取得进展，并写道：
在平行线理论中，我们甚至现在也不比欧几里得走得更远。这是数学中可耻的一部分……
然而到1817年，卡尔·弗里德里希·高斯已经确信第五公设独立于其他四条公设。他开始研究一种几何学的推论，其中通过给定点可以画出不止一条与给定直线平行的直线。也许最令人惊讶的是，卡尔·弗里德里希·高斯从未发表这项工作，而是将其保密。当时的思想被⟦L4⟧所主导，他曾断言欧几里得几何是the inevitable necessity of thought，而卡尔·弗里德里希·高斯不喜欢争论。
卡尔·弗里德里希·高斯与他的朋友、数学家鲍耶·法卡斯讨论了平行线理论，后者对平行公设做出了几个错误的证明。鲍耶·法卡斯教他的儿子鲍耶数学，但尽管建议他的儿子not to waste one hour's time on that problem第五公设的问题，鲍耶确实研究了这个难题。
1823年，鲍耶写信给他的父亲说I have discovered things so wonderful that I was astounded ... out of nothing I have created a strange new world。然而，鲍耶又花了两年时间才全部写下来，他将他的strange new world作为24页的附录发表在他父亲的书中，尽管只是为了迷惑后代，这个附录在书本身之前就出版了。
卡尔·弗里德里希·高斯在读完这24页后，在给一位朋友的信中这样描述鲍耶：I regard this young geometer Bolyai as a genius of the first order .然而在某种意义上，鲍耶只是假设了新几何是可能的。随后他沿着其后果推进，方式与那些选择假设第五公设不成立并寻求矛盾的人并无太大不同。然而真正的突破在于相信新几何是可能的。卡尔·弗里德里希·高斯尽管在上述引文中对鲍耶显得印象深刻，却相当严重地打击了鲍耶，告诉他（卡尔·弗里德里希·高斯）早已发现了这一切但没有发表。尽管这无疑是真的，但这丝毫不减损鲍耶那令人难以置信的突破。
鲍耶的工作也没有因为罗巴切夫斯基在1829年发表了一篇关于非欧几何的著作而减色。鲍耶和卡尔·弗里德里希·高斯都不知道罗巴切夫斯基的工作，主要是因为它在Kazan Messenger一份当地大学出版物中仅以俄语发表。罗巴切夫斯基试图接触更广泛受众的努力失败了，因为他的论文被米哈伊尔·奥斯特罗格拉德斯基拒绝。
事实上，罗巴切夫斯基在为他的重大工作获得公众认可方面并不比鲍耶好。他在1840年发表了Geometrical investigations on the theory of parallels，在其61页中，最清晰地阐述了罗巴切夫斯基的工作。1837年在奥古斯都·利奥波德·克雷勒的期刊上以法语发表的一篇叙述将他的非欧几何工作带给了广泛的受众，但数学界还没有准备好接受如此革命性的思想。
在罗巴切夫斯基1840年的小册子中，他清楚地解释了他的非欧几何是如何运作的。
从平面内一点出发的所有直线，相对于同一平面内的一条给定直线，可以分为两类——相交的和不相交的。这两类直线的分界线将被称为与给定直线平行。
插图：Lobachevskys_diagram.jpeg ↗
这是罗巴切夫斯基的图
罗巴切夫斯基的平行公设。过给定直线外一点，存在两条与该直线平行的直线。
罗巴切夫斯基接着发展了许多在此几何中成立的三角形三角恒等式，表明当三角形变小时，这些恒等式趋向于通常的三角恒等式。
波恩哈德·黎曼在卡尔·弗里德里希·高斯的指导下完成了他的学位论文，并于1854年6月10日发表了一次就职演讲，在演讲中他重新表述了整个几何学的概念，他将其视为一个具有足够额外结构的空间，以便能够测量长度等事物。这次演讲直到1868年才发表，即波恩哈德·黎曼去世两年后，但它对大量不同几何学的发展产生了深远的影响。波恩哈德·黎曼简要讨论了一种“球面”几何，其中过直线外一点的每条直线都与直线相交。在这种几何中，不可能有平行线。
重要的是要认识到，无论是鲍耶还是罗巴切夫斯基对他们新几何的描述，都未被证明是一致的。事实上，在这方面它与欧几里得几何并无不同，尽管几个世纪以来对欧几里得几何的研究足以使数学家相信其中永远不会出现矛盾。
第一个将鲍耶-罗巴切夫斯基非欧几何置于与欧几里得几何同等地位的人是贝尔特拉米（1835-1900）。1868年，他写了一篇论文Essay on the interpretation of non-Euclidean geometry，在三维欧几里得几何中为二维非欧几何建立了一个模型。该模型是在曳物线绕其渐近线旋转所得的旋转曲面上得到的。这有时被称为pseudo-sphere.
你可以在THIS LINK看到曳物线的图像，在THIS LINK看到伪球面的上半部分是什么样子。
事实上，贝尔特拉米的模型是不完整的，但它确实对欧几里得的第五公设给出了最终裁决，因为该模型提供了一个环境，其中欧几里得的前四个公设成立，但第五个不成立。它将非欧几何公理的一致性问题归结为欧几里得几何公理的一致性问题。
贝尔特拉米关于鲍耶模型的工作——罗巴切夫斯基的非欧几何——由菲利克斯·克莱因在1871年完成。菲利克斯·克莱因比这走得更远，给出了其他非欧几何的模型，例如波恩哈德·黎曼的球面几何。菲利克斯·克莱因的工作基于阿瑟·凯莱在1859年提出的距离概念，当时他为距离提出了一个推广的定义。
菲利克斯·克莱因表明有三种基本不同的几何类型。在鲍耶-罗巴切夫斯基型几何中，直线有两个无穷远点。在波恩哈德·黎曼型球面几何中，直线没有（更确切地说，有两个虚的）无穷远点。欧几里得几何是两者之间的极限情形，其中每条直线有两个重合的无穷远点。
