数学史专题
本档案的读者最常问的问题之一是：谁发现了零？那么为什么我们没有把关于零的文章作为档案中最先的文章之一来写呢？原因基本上是因为以令人满意的形式回答这个问题很困难。如果有人提出了零的概念，而当时每个人都将其视为从此进入数学的一项辉煌创新，那么即使我们不知道是哪个天才发明的，这个问题也会有一个令人满意的答案。然而，历史记录显示，通向零这个概念的道路相当不同。零只是隐约出现，然后又几乎消失，仿佛数学家在寻找它，但即使看到了它，也没有认识到它的根本意义。
关于零，首先要说的是，零有两种用法，两者都极其重要，但有些不同。一种用法是在我们的位值记数系统中作为空位指示符。因此，在像2106这样的数中，零被用来使2和1的位置正确。显然216表示完全不同的东西。零的第二种用法是作为数本身，以我们使用的形式0。在这两种用法中，零还有不同的方面，即概念、记法和名称。（我们的名称“zero”最终源自阿拉伯语sifr，这个词也给了我们“cipher”一词。）
上述两种用法都没有一段容易描述的历史。并不是某人发明了这些观念，然后大家就开始使用它们。同样可以说，数字零远非一个直观的概念。数学问题最初是作为“真实”问题而非抽象问题出现的。在早期历史时期，人们对数字的思考比我们今天作为抽象概念的数字要具体得多。从5匹马到5“个东西”，再到“五”这个抽象概念，存在着巨大的思维飞跃。如果古代人解决一个关于农民需要多少匹马的问题，那么答案不会是0或-23。
人们可能会认为，一旦位值制数字系统出现，那么作为空位指示符的0就是一个必要的观念，然而巴比伦人在1000多年里拥有一种没有这一特征的位值制数字系统。此外，绝对没有证据表明巴比伦人觉得存在的这种歧义有任何问题。值得注意的是，巴比伦数学时代的原始文本保存了下来。巴比伦人用楔形文字书写在未烧制的泥板上。符号是用笔的斜边压入软泥板上的，因此呈楔形（因而得名楔形文字）。许多约公元前1700年的泥板保存了下来，我们可以阅读原始文本。当然，他们表示数字的记号与我们的相当不同（而且不是基于10而是基于60），但转换成我们的记号时，他们不会区分2106和216（上下文必须表明指的是哪一个）。直到大约公元前400年，巴比伦人才把两个楔形符号放在我们会放零的位置，以表明指的是216还是21''6。
然而，这两个楔形符号并不是唯一使用的记号，在基什——一座位于巴比伦以东、今伊拉克中南部的古代美索不达米亚城市——发现的一块泥板上，使用了不同的记号。这块泥板被认为可追溯到约公元前700年，用三个钩形符号表示位值记数法中的空位。大约同一时期的其他泥板则用单个钩形符号表示空位。使用不同标记表示空位有一个共同特征。这就是它从不出现于数字末尾，而总是出现在两个数字之间。因此，虽然我们发现21''6，却从未发现216''。人们不得不假设，认为上下文足以表明所指的旧观念在这些情况下仍然适用。
如果这种对上下文的提及显得愚蠢，那么值得注意的是，我们今天仍然用上下文来解释数字。如果我乘公交车去附近城镇，问车费是多少，那么我知道回答“三块五”意思是三英镑五十便士。然而，如果对从爱丁堡到纽约的航班费用问题给出同样的回答，那么我知道指的是三百五十英镑。
由此我们可以看出，早期用零表示空位，根本不是把零当作数字来使用，而只是使用某种标点符号，以便数字得到正确的解释。
现在，古希腊人开始对数学做出贡献的时间，大约正是在巴比伦数学中作为空位指示符的零开始被使用的时候。然而希腊人没有采用位值制数字系统。值得想一想这一事实有多么重要。希腊人辉煌的数学进展怎么可能没有让他们采用一种拥有巴比伦位值制系统所有优点的数字系统呢？这个问题的真正答案比我们即将给出的简单答案更为微妙，但基本上希腊数学成就是基于几何学的。尽管欧几里得的Elements包含一卷关于数论的内容，它也是基于几何学的。换句话说，希腊数学家不需要给他们的数字命名，因为他们把数字当作线段的长度来使用。需要命名以作记录的数字由商人而非数学家使用，因此不需要巧妙的记号。
现在，我们刚才所说的有例外。例外是那些参与记录天文数据的数学家。在这里，我们发现了我们今天认为是零的记号的首次使用，因为希腊天文学家开始使用符号O。关于为什么使用这个特定记号，有许多理论。一些历史学家支持这样的解释：它是omicron，即希腊语中表示“无”的词“ouden”的第一个字母。然而，奥托·纽格包尔驳斥了这一解释，因为希腊人已经使用omicron作为一个数字——它代表70（希腊数字系统基于他们的字母表）。其他提供的解释包括：它代表“obol”，一种几乎毫无价值的硬币，以及它产生于在沙板上使用筹码计数时。这里的建议是，当一个筹码被移走留下一个空列时，它在沙子上留下了一个看起来像O的凹痕。
克劳狄乌斯·托勒密在约公元130年写成的Almagest中，使用了巴比伦六十进制系统以及空位占位符O。到这时，克劳狄乌斯·托勒密在数字之间和数字末尾都使用这个符号，人们可能会倾向于相信至少作为空位占位符的零已经牢固确立。然而，这与实际情况相去甚远。只有少数例外天文学家使用这个记号，在最终确立之前，它还会多次不再被使用。零位的思想（克劳狄乌斯·托勒密肯定不认为它是一个数字，他仍然把它看作一种标点符号）下一次出现在印度数学中。
现在场景转移到印度，可以公允地说，数字和数制诞生于此，并已演变为我们今天使用的高度精密的系统。当然，这并不是说印度数制不欠早期数制一些东西，许多数学史家相信印度人对零的使用是从希腊天文学家的使用演变而来的。正如一些历史学家似乎想以最不合理的方式贬低印度人的贡献一样，也有另一些人关于印度人发明零的说法似乎走得太远。例如，6中的Mukherjee声称：-
……零的数学概念……早在17000年前的印度就以精神形式存在了。
可以肯定的是，大约在公元650年，零作为一个数字的使用进入了印度数学。印度人也使用位值制，零被用来表示空位。事实上，有证据表明，早在公元200年，印度就在位值数字中使用了空位占位符，但一些历史学家将其斥为后来的伪造。让我们先考察后一种用法，因为它延续了上文所述的发展。
在约公元500年，阿耶波多设计了一种没有零但却是位置制的数字系统。他用“kha”这个词表示位置，后来它被用作零的名称。有证据表明，在早期的印度手稿中，一个点被用来表示位置记数法中的空位。有趣的是，同样的文献有时也用点表示未知数，而我们可能会用。后来的印度数学家对位置数字中的零有名称，但没有它的符号。印度使用零的第一个有日期且被所有人一致认为是真实的记录写于876年。
我们有一块石碑上的铭文，其中包含一个日期，换算为876年。铭文涉及德里以南400公里的瓜利尔镇，他们在那里种植了一个187乘270哈斯塔的花园，每天能生产足够的花环，向当地寺庙提供50个。数字270和50的表示几乎与今天出现的一样，尽管0更小且略微抬高。
我们现在来考虑零作为数字的首次出现。让我们首先注意，它在任何意义上都不是数字的自然候选者。从早期开始，数字就是指代物体集合的词。当然，数字的概念变得越来越抽象，这种抽象使得考虑零和负数成为可能，而它们并不作为物体集合的属性出现。当然，当人们试图将零和负数视为数字时，出现的问题是它们在算术运算——加法、减法、乘法和除法——方面如何相互作用。在三部重要著作中，印度数学家婆罗摩笈多、摩诃吠罗和婆什迦罗第二试图回答这些问题。
婆罗摩笈多在七世纪试图给出涉及零和负数的算术规则。他解释说，给定一个数，如果你从它自身减去它，就得到零。他给出了以下涉及零的加法规则：-
零与一个负数的和是负数，一个正数与零的和是正数，零与零的和是零。
减法要稍微难一些：
零减去一个负数得正数，零减去一个正数得负数，一个负数减去零得负数，一个正数减去零得正数，零减去零得零。
婆罗摩笈多接着指出，任何数乘以零都得零，但论及除法时就遇到了困难：
一个正数或负数除以零，是一个以零为分母的分数。零除以一个负数或正数，要么是零，要么表示为一个以零为分子、以该有限量为分母的分数。零除以零是零。
确实，婆罗摩笈多提出除以零等于时，所说的内容非常有限。他显然在这里遇到了困难。他随后声称零除以零等于零，这肯定是错的。然而，这是我们所知的第一个试图将算术扩展到负数和零的人所作的一次出色尝试。
830年，在婆罗摩笈多写出其杰作约200年后，摩诃吠罗撰写了Ganita Sara Samgraha，该书旨在对婆罗摩笈多的著作进行更新。他正确地指出：
……一个数乘以零得零，一个数减去零后保持不变。
然而，他试图改进婆罗摩笈多关于除以零的论述，似乎使他陷入了错误。他写道：-
一个数除以零后保持不变。
由于这显然是错误的，我使用“似乎使他陷入错误”这一说法可能会令人困惑。使用这一说法的原因是，一些摩诃吠罗的评论者试图为他的错误陈述寻找借口。
婆什迦罗第二是在婆罗摩笈多之后500多年写作的。尽管时间流逝，他仍在努力解释除以零。他写道：-
一个量除以零成为一个分数，其分母为零。这个分数被称为无限量。在这个由以零为除数的量组成的量中，没有变化，尽管可以插入或提取许多；正如当世界被创造或毁灭时，在无限且不变的上帝中没有变化，尽管众多存在秩序被吸收或发出。
因此婆什迦罗第二试图通过写出来解决这个问题。乍一看，我们可能会倾向于相信婆什迦罗第二是正确的，但当然他并不正确。如果这是真的，那么0 × ∞必须等于每一个数，所以所有数都相等。印度数学家无法承认不能除以零。然而，婆什迦罗第二确实正确地陈述了零的其他性质，例如和。
也许我们应该在此指出，还有另一个文明发展了带零的位值制数字系统。这就是居住在中美洲的玛雅人，占据今天墨西哥南部、危地马拉和伯利兹北部的地区。这是一个古老的文明，但在250年至900年间特别繁荣。我们知道，到665年，他们使用以20为基数的位值制数字系统，并有一个零的符号。然而，他们对零的使用比这更早，在他们引入位值制数字系统之前就已经在使用。这是一项了不起的成就，但遗憾的是没有影响其他民族。
你可以在玛雅数学看到一篇关于玛雅数学的单独文章。
印度数学家的杰出工作向西传播到了更远的伊斯兰和阿拉伯数学家那里。这一传播发生在早期，因为花拉子米撰写了Al'Khwarizmi on the Hindu Art of Reckoning，其中描述了基于1、2、3、4、5、6、7、8、9和0的印度位值制数字系统。这部著作是现今伊拉克地区第一部在位置基数记数法中使用零作为占位符的著作。阿伯拉罕·伊本·埃兹拉在12世纪写了三篇关于数的论文，有助于将印度符号和十进制分数思想引起欧洲一些学者的注意。The Book of the Number描述了整数从左到右具有位值的十进制系统。在这部著作中，阿伯拉罕·伊本·埃兹拉使用了零，他称之为galgal（意为轮或圆）。稍后在12世纪，al-Samawal写道：
如果我们从零减去一个正数，同样的负数仍然存在。……如果我们从零减去一个负数，同样的正数仍然存在。
印度的思想向东传播到中国，向西传播到伊斯兰国家。1247年，中国数学家秦九韶撰写了Mathematical treatise in nine sections，其中使用符号O表示零。稍后，在1303年，朱世杰撰写了Jade mirror of the four unknowns，再次使用符号O表示零。
斐波那契是将这些关于数制的新思想带到欧洲的主要人物之一。正如[12]的作者所写：
印度-阿拉伯数制与欧洲数学之间的一个重要联系是意大利数学家斐波那契。
在Liber AbaciⓉ（《算盘书》）中，他大约在1200年为欧洲人描述了九个印度符号以及符号0，但在那之后很长时间内并未被广泛使用。值得注意的是，斐波那契没有足够大胆地将0与其他数字1、2、3、4、5、6、7、8、9同等对待，因为他谈到“符号”零，而其他符号他称为数字。尽管显然将印度数字带到欧洲具有重大意义，但我们可以看出，在他对零的处理中，他没有达到印度人婆罗摩笈多、摩诃吠罗和婆什迦罗第二的精细程度，也没有达到阿拉伯和伊斯兰数学家如al-Samawal的精细程度。
人们可能会认为，从那时起，数系总体上以及特别是零的进展会是稳步的。然而，情况远非如此。吉罗拉莫·卡尔达诺在不使用零的情况下解出了三次和四次方程。如果他有零，他会发现他在1500年代的工作要容易得多，但零不是他数学的一部分。到了1600年代，零开始被广泛使用，但仍然是在遭遇了许多阻力之后。
当然，零所引起的问题仍有迹象。最近，全世界许多人在2000年1月1日庆祝了新千年。当然，他们庆祝的只是1999年的过去，因为日历制定时没有指定零年。尽管人们可能会原谅最初的错误，但有点令人惊讶的是，大多数人似乎无法理解为什么第三个千年和21世纪始于2001年1月1日。零仍然在引起问题！