数学史专题
今天，天文学研究需要深入理解数学和物理学。重要的是要认识到，希腊天文学（我们关注的是公元前700年至公元300年之间的1000年）并不涉及物理学。的确，正如Pannekoek在[7]中指出的，希腊天文学家的目标只是描述天空，而希腊物理学家则寻求物理真理。数学提供了描述的手段，因此本文所关注的这1000年间的天文学是数学的分支之一。
希腊人从大约公元前600年的泰勒斯时代开始思考哲学。泰勒斯本人虽然以预测日食闻名，但可能对天文学知之甚少，然而他将数学知识从埃及带回希腊世界，可能还带回了一些巴比伦天文学的知识。从考察此时希腊的“天文学”是什么开始是合理的。不过，我们先回溯到更早的约公元前700年。
基本上，此时的天文学都与计时有关。天文事件如一天会构成一个自然的时间周期，同样，月亮的周期性相位构成了下一个自然的时间跨度，这是很自然的。的确，这些提供了公元前700年左右基本的计时方法，然而，当然，另一个重要的时间周期——年，用月份来测定并不容易。但了解一年的大致长度对粮食生产至关重要，因此必须设计出方案。此时的农民会根据星座的升落来制定种植策略，即某些星座在日出前首次可见或在日落后最后可见的时间。
赫西俄德是早期希腊诗人之一，常被称为“希腊训谕诗之父”，约公元前700年写作。他的两部完整史诗流传至今，此处与我们相关的是Works and Days，描述农民生活。在这部作品中，赫西俄德写道（见[5]，另见[1]和[7]）：-
……当昴星团升起时，是用镰刀的时候，但当它们落下时，则是用犁的时候；它们离开天空40天；当大角星从海中升起，并在傍晚升起后整夜可见时，必须修剪葡萄藤；但当猎户座和天狼星来到天空中央，玫瑰色手指的厄俄斯看见大角星时，必须采摘葡萄；当昴星团、毕星团和猎户座落下时，就要留意犁；当昴星团逃离猎户座，坠入黑暗的海中时，可预期有风暴；太阳回转后50天，是人航行的合适时机；当猎户座出现时，得墨忒耳的礼物必须被带到平整的打谷场上。
数百年来，天文学家们撰写了关于星座升落之类的著作，这表明赫西俄德所提供的那种建议仍在被使用。
早期基于12个月、每月30天的时间尺度效果不佳，因为月亮很快就与30天的月份脱节。因此到公元前600年，这已被一年6个30天的“满”月和6个29天的“空”月所取代。这种使月亮与月份保持同步的改进，却产生了不幸的后果，使年份与循环季节的周期更加脱节。大约在泰勒斯迈出哲学第一步的同一时期，雅典政治家、后来被称为希腊七贤之一的梭伦引入了一种改进的历法。
梭伦的历法基于两年周期。每两年中有13个30天的月份和12个29天的月份，因此一年约为369天，一个月为天。然而，希腊人主要依靠月亮作为计时器，需要频繁调整历法以使其与月亮和季节保持同步。天文学显然是理清这些历法混乱局面的具有重大实际重要性的学科，因此人们开始进行观测，以便设计出更好的方案。
毕达哥拉斯，约公元前500年，在天文学上取得了若干重要进展。他认识到地球是一个球体，这很可能更多是因为他相信球体是最完美的形状，而非出于真正的科学理由。他还认识到月球的轨道与地球赤道有倾角，并且是最早意识到作为昏星的金星与作为晨星的金星是同一颗行星的人之一。这些发现中有一种对观测证据的令人愉悦的诉求，但毕达哥拉斯有一种基于数学“完美性”的哲学，这往往不利于恰当的科学方法。另一方面，毕达哥拉斯哲学中有一个具有持久影响的重要观念，即所有复杂现象都必须归结为简单现象。人们不应低估这一观念的重要性，它在整个科学发展过程中被证明如此强大，是艾萨克·牛顿尤其是阿尔伯特·爱因斯坦等伟大科学家的根本驱动力。
约公元前450年，据说恩诺皮德斯发现黄道与赤道成24°角，这一结论在希腊一直被接受，直到约公元前250年被埃拉托色尼修正。一些学者接受他发现黄道有倾角，但怀疑他测量了这个角度。他是从美索不达米亚的学者那里得知黄道十二宫，还是他的发现是希腊的独立发现，尚不清楚。恩诺皮德斯也被认为提出了一个涉及59年周期、包含730个月的历法。其他提出的方案有8年周期，在八年中的三年加入额外月份，有证据表明这一方案被采用了。
大约在恩诺皮德斯提出其59年周期的同一时期，毕达哥拉斯学派成员菲洛劳斯也提出了基于729个月的59年周期。这似乎更多归因于毕达哥拉斯学派的数字神秘主义而非天文学，因为729是，27是毕达哥拉斯学派代表月亮的数字，同时它也是，9是毕达哥拉斯学派与地球相关的数字。菲洛劳斯还以我们所知第一个提出地球运动的人而闻名。然而，他并不认为地球绕太阳运行，而是所有天体都围绕一团中心火作圆周运动，人们永远看不到这团火，因为在地球与火之间有一个对地。这个模型肯定不是由任何观测证据所提示的，更可能是为了使天球数目达到10个而提出的，因为对毕达哥拉斯学派来说，10是所有数字中最完美的。
默冬于公元前432年引入了一种基于19年周期的历法，但这又与若干年前在美索不达米亚设计的历法相似。默冬在雅典与另一位天文学家欧克泰蒙合作，他们对至点（太阳距赤道最远的点）进行了一系列观测，以确定回归年的长度。我们同样不知道19年周期是独立发现，还是希腊的进展仍基于美索不达米亚早先的进展。默冬的历法似乎从未在实践中被采用，但他的观测被证明对后来的希腊天文学家如喜帕恰斯和克劳狄乌斯·托勒密极为有用。
梅通声名远扬，这一点可以从阿里斯托芬大约公元前414年创作的戏剧《鸟》中看出。两个角色正在对话，其中一个是梅通[见D Barrett（译），Aristophanes, Birds（伦敦，1978年）]：-
默冬：I propose to survey the air for you: it will have to be marked out in acres.
佩斯特泰罗斯（Peisthetaerus）：Good lord, who do you think you are?
默冬：Who am I? Why Meton. THE Meton. Famous throughout the Hellenic world - you must have heard of my hydraulic clock at Colonus?
默冬和欧克泰蒙与当时另一项重要的天文学发明有关，即parapegma。parapegma是一块带有可移动销钉和铭文的石板，用来表示例如某颗特定恒星的升起与民用日期之间的大致对应关系。由于必须定期更改历法以使民用历与天文历保持同步，parapegma带有可移动的销钉，可以根据需要调整。parapegma很快也包含了与恒星升落相关的气象预报，不仅制作了石制parapegma，也制作了纸草上的parapegma。默冬和欧克泰蒙通常被认为是parapegmata的发明者，而且许多后来的天文学家确实编纂了构建它们所需的数据。
有证据表明这一时期还进行了其他观测工作，因为维特鲁威声称以原子论闻名的阿布德拉的德谟克利特编制了一份星表。我们不知道这份星表的形式，但德谟克利特很可能以某种方式描述了主要的星座。
公元前4世纪初是柏拉图开始其教学的时期，他的著作对希腊思想产生了重大影响。就天文学而言，柏拉图产生了负面影响，因为尽管他多次提到这个主题，但没有一篇对话专门讨论天文学。更糟糕的是，柏拉图不相信天文学是一门实用学科，并谴责对天体的实际观测会降低精神。柏拉图只相信天文学在鼓励数学研究和提出优美的几何理论方面的作用。
也许我们应该暂时离题，思考一下由柏拉图等人发展起来的哲学思想如何影响了天文学的发展。奥托·纽格包尔[6]认为哲学产生了有害影响：-
I see no need for considering Greek philosophy as an early stage in the development of science ... One need only read the gibberish of 普罗克洛's introduction to his huge commentary on Book I of 欧几里得's Elements to get a vivid picture of what would have become of science in the hands of philosophers. The real "Greek miracle" is the fact that a scientific methodology was developed, and survived, in spite of a widely admired dogmatic philosophy.
尽管奥托·纽格包尔在这里所写的内容有一定道理，我[EFR]觉得他夸大了自己的论点。哲学家确实提出了关于宇宙的观念，而这些观念并非基于我们今天所称的科学方法。然而，正是那些可以通过观察被证明为错误的学说被提出这一事实，必定提供了一种氛围，使科学方法能够显示其力量。此外，哲学教导人们应当质疑一切事物，甚至“显而易见”的真理，这一事实也极为有益。另一个重要的哲学观念从毕达哥拉斯时代起产生了重要后果，并得到柏拉图的强调，那就是复杂现象必定是基本简单现象的结果。正如士麦那的塞翁在公元一世纪所表述的那样：-
行星运行的变化外观，是因为它们被固定在自己的圆或自己的球体之中，并遵循其运动，被一种有规律的简单而均匀的旋转带过黄道带，正如毕达哥拉斯最初所理解的那样，但这种旋转通过组合产生了一种看起来可变且不均匀的运动。
这促使士麦那的塞翁写道：-
反对奥托·纽格包尔上述主张的最有力论据或许是，我们目前从阿尔伯特·爱因斯坦的相对论发展而来的时空观念，更多是受简单性这一基本哲学的启发，而非实验证据。
在柏拉图时代之后不久，由欧多克索斯所取得的进展，融合了毕达哥拉斯和柏拉图哲学中所表达的基本简单性观念，是由一位杰出的数学家和天文学家完成的。事实上，欧多克索斯标志着希腊天文学一个新阶段的开始，并且必须被视为天文学思想中少数几位非凡创新者之一。欧多克索斯是第一个提出模型的人，该模型表明天体的表面复杂运动确实源于简单的圆周运动。他在欧多克索斯上建立了一座天文台，并从那里观测了老人星。老人星在早期天文学中扮演了重要角色，因为在欧多克索斯可以看到它落下和升起，然而从那里再往北走不远，它就永远无法被看到了。在欧多克索斯的欧多克索斯天文台所做的观测，以及在赫利奥波利斯附近一座天文台所做的观测，构成了一本关于星座升落的基础著作。欧多克索斯，另一位追随毕达哥拉斯学说的人，提出了一个关于同心球的优美数学理论来描述天体的运动。显然，欧多克索斯将此视为一种数学理论，并不相信这些球是物理实体。
尽管欧多克索斯的模型是一个优美的数学理论，但它经不起最简单的观测数据的检验。卡里普斯——他是Polemarchus的学生，而Polemarchus又是欧多克索斯的学生——改进了欧多克索斯所提出的这一体系。我们对欧多克索斯和卡里普斯的球层了解如此之多，原因在于亚里士多德接受了这一理论，不是作为最初提出的数学模型，而是作为具有物理实在性的球层。他讨论了一个球层对另一个球层的作用，但他不可能对物理学有足够的理解，从而接近描述这种作用的效果。尽管亚里士多德在许多领域倡导现代科学方法，并以科学的方式收集数据，但不幸的是，在天文学方面并非如此。正如Berry所写[2]：-
在亚里士多德的著作中，还有许多天文学推测，它们没有可靠证据作为基础，价值不大……他的原创性贡献无法与他对心智科学和道德科学的贡献相比，其价值也低于他在其他自然科学领域的工作……
正如Berry接着所说，这对天文学来说非常不幸，因为亚里士多德著作的影响在许多世纪里具有权威性，这意味着天文学家在使真理被接受时，不得不进行比原本可能更为艰难的斗争。
下一个对天文学进步绝对必要的发展发生在几何学中。球面几何学由多位数学家发展起来，其中一部重要的文本由奥托里库斯于公元前330年左右在雅典写成。有人声称奥托里库斯的球面几何学著作On the Moving Sphere 是基于欧多克索斯更早的著作。无论是否如此，毫无疑问奥托里库斯深受欧多克索斯天文学观点的影响。像许多天文学家一样，奥托里库斯写了一部著作On Risings and Settings，这是一本关于观测天文学的书。
在奥托里库斯之后，天文学重大发展的主要地点似乎转移到了亚历山大。在那里，欧几里得总体上从事几何学工作并写作，但也对球面几何学做出了重要贡献。欧几里得也写了Phaenomena，这是一本数学天文学的入门介绍，给出了恒星在特定位置升起和落下的时间结果。
阿里斯塔克斯、Timocharis和Aristyllus是三位都在亚历山大工作过的天文学家，他们的生活年代必定有重叠。Aristyllus是Timocharis的学生，在Maeyama [23]中分析了他们的18次观测，并表明Timocharis大约在公元前290年进行观测，而Aristyllus则晚了一代人，大约在公元前260年进行观测。他还报告说，Aristyllus的观测精度达到了惊人的5'。Maeyama写道[23]：-
精度等级是自然科学发展的一个基本衡量标准。精度实际上不仅仅是测量操作本身。精度只有通过积极的测量才能提高。不存在与高水平的观测无关的高水平观测精度。因此我的假设是，至少在公元前300年至公元前250年期间，在亚历山大必定进行过大量精确的恒星观测。它们必定已在当地频繁发生的火灾中消失。
Maeyama还指出，这正是给出恒星位置的坐标系起源的时期。赤道坐标系和黄道坐标系都出现在这一时期。但为什么要进行这些观测呢？这是一个难以回答的问题，因为从表面上看，亚历山大天文学家在这一时期追求观测精度似乎没有什么意义。在[34]中，巴特尔·伦德特·范德瓦尔登提出了一个有趣的建议，与大约在这一时期在亚历山大工作的另一位重要天文学家有关，即阿里斯塔克斯。
我们知道阿里斯塔克斯测量了到月球和到太阳的距离之比，尽管他的方法不可能得出准确的结果，但这些结果确实表明太阳离地球比月球远得多。他的结果还表明太阳比地球大得多，尽管他的测量同样非常不准确。一些历史学家认为，正是由于知道太阳是地球、月球和太阳这三个天体中最 大的，他才提出了日心说。当然，正是由于这一理论，正如阿基米德所记述的，阿里斯塔克斯才获得了声誉。然而，他的以太阳为中心的宇宙观在希腊人中并未受到多少欢迎，他们继续发展越来越复杂的以地球为中心的宇宙模型。
现在，Goldstein和Bowen在[16]中试图回答为什么Timocharis和Aristyllus进行了精确观测的问题。这些作者没有发现这些观测有明确的目的，比如标记地球仪。然而，巴特尔·伦德特·范德瓦尔登在[34]中提出，这些观测是为了确定阿里斯塔克斯日心说中的常数。尽管这一理论极具吸引力，使人想要相信它，但所有证据都表明，Timocharis肯定是在阿里斯塔克斯提出其日心宇宙之前一段时间就开始观测了。
Goldstein和Bowen在[16]中还提出了其他有趣的看法。他们认为，Timocharis和Aristyllus的观测记录了到极点的距离以及恒星之间的距离。他们论证说，这些观测是用类似于海伦的dioptra的仪器进行的。这些是有趣的观测，因为Timocharis和Aristyllus的工作强烈影响了所有希腊天文学家 中最重要的一位，即喜帕恰斯，后者在大约100年后做出了他的主要贡献。然而，在这100年间，出现了若干进展。阿基米德测量了太阳的视直径，据说还设计了一座天象仪。埃拉托色尼对地球的大小进行了重要测量，精确测量了黄道的角度并改进了历法。阿波罗尼奥斯运用他的几何技巧在数学上发展了本轮理论，这一理论将在克劳狄乌斯·托勒密的工作中达到其充分的重要性。
喜帕恰斯的贡献是所有古代天文学家中最重要的，可以说，他的贡献在十六世纪初尼古拉·哥白尼之前是最重要的。正如Berry在[2]中所写：-
喜帕恰斯使天文学取得了巨大进步，所有有能力的评论家都一致认为他远远高于古代世界任何其他天文学家，他必须与有史以来最伟大的天文学家并列。
正是喜帕恰斯的科学方法使他的地位远远高于其他古代天文学家。他的方法基于精确观测的数据，本质上是现代的，因为他先收集数据，然后形成理论以符合观察到的事实。最能说明他对科学方法理解的是，他提出了太阳和月球运动的理论，但他不准备为行星提出这样的理论。他意识到他的数据不够好或不够丰富，无法在此基础上建立理论。然而，他进行了观测，以帮助他的后继者发展这样的理论。让·巴蒂斯特·约瑟夫·德朗布尔在其著名的天文学史著作中写道：-
当我们考虑喜帕恰斯所发明或完善的一切，并反思他的著作数量以及这些著作所隐含的大量计算时，我们必须将他视为古代最令人惊叹的人物之一，并且在那些并非纯粹思辨、需要将几何知识与现象知识相结合、且只能通过勤勉的观察和精良的仪器来观察的科学中，他是最伟大的。
尽管是一位伟大的革新者，喜帕恰斯还是从巴比伦人那里获得了重要的理解。正如21在⟦L4⟧中所写：-
对喜帕恰斯来说，巴比伦预测方法的可用性是一大恩惠。
我们不会在本文中详细描述喜帕恰斯和克劳狄乌斯·托勒密的贡献，因为这些内容已在我们档案中他们的传记里完整给出。以6中的一段引文来结束本文就足够了：-
公元二世纪的亚历山大见证了克劳狄乌斯·托勒密的杰出著作的出版，包括《天文学大成》和《实用 tables》、《地理学》、《四书》、《光学》、《和声学》，以及关于逻辑、日晷、球极投影的论著，所有这些都写得极为精湛，是历史上最伟大的科学头脑之一的产物。这些著作，尤其是《天文学大成》的卓越性，在克劳狄乌斯·托勒密的同时代人那里就已经显而易见。这导致了托勒密天文学史前史的几乎完全湮没。
克劳狄乌斯·托勒密没有后继者。从罗马时代后期留存下来的东西相当可悲……