群论的发展The development of group theory

研究诸如群这样的概念的发展有一定的困难。如果说由于非零有理数在乘法下形成群，那么群概念的起源必须追溯到数学的开端，这是错误的。相反，我们必须认为群论是对一些主要领域中共同思想的抽象，这些领域基本上是同时被研究的。

将要催生群论的三个主要领域是：-

1. 19世纪初的几何学，
2. 18世纪末的数论，
3. 18世纪末的代数方程理论，导向对排列的研究。

(1) 几何学已被研究了很长时间，因此有理由问，19世纪初几何学发生了什么，促成了群概念的兴起。随着射影几何和非欧几何被研究，几何学已开始失去其“度量”特征。此外，在n维中研究几何学的运动导致了几何学本身的抽象化。度量几何与关联几何的区别来自加斯帕尔·蒙日的工作、他的学生拉扎尔·卡诺的工作，或许最重要的是让-维克托·彭赛列的工作。非欧几何被兰伯特、卡尔·弗里德里希·高斯、罗巴切夫斯基和János 鲍耶等人研究。

奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯在1827年，尽管他完全不知道群概念，但开始利用一个特定几何学研究在特定群下不变的性质这一事实来分类几何学。雅各布·施泰纳在1832年研究了综合几何的概念，这些概念最终成为变换群研究的一部分。

(2) 1761年，莱昂哈德·欧拉研究了模算术。他特别考察了一个数的幂模$n$的余数。尽管莱昂哈德·欧拉的工作当然不是用群论术语表述的，但他确实提供了一个阿贝尔群分解为子群的陪集的例子。他还证明了子群的阶是群的阶的除数这一特殊情形。

卡尔·弗里德里希·高斯在1801年将莱昂哈德·欧拉的工作大大推进，并给出了相当多关于模算术的工作，这相当于相当数量的阿贝尔群理论。他考察了元素的阶，并证明（尽管不是用这种记号）对于每个整除循环群阶的数，都有一个子群。卡尔·弗里德里希·高斯也考察了其他阿贝尔群。他研究了二元二次型

$ax^{2} + 2bxy + cy^{2}$ 其中$a, b, c$是整数。

卡尔·弗里德里希·高斯考察了型在变换和代换下的行为。他把型分成类，然后在类上定义了一个合成。卡尔·弗里德里希·高斯证明了the order of composition of three forms is immaterial，所以用现代语言说，结合律成立。事实上卡尔·弗里德里希·高斯有一个有限阿贝尔群，后来（在1869年）Schering，他编辑了卡尔·弗里德里希·高斯的著作，找到了这个阿贝尔群的一组基。

(3) 置换最早由约瑟夫·拉格朗日在他1770年关于代数方程理论的论文中研究。约瑟夫·拉格朗日的主要目的是找出为什么三次和四次方程可以代数求解。例如，在研究三次方程时，约瑟夫·拉格朗日假设给定三次方程的根是$x', x''$和$x'''$。然后，取$1, w, w^{2}$为单位立方根，他考察表达式

$R = x' + wx'' + w^{2}x'''$

并注意到在根$x', x'', x'''$的六个置换下它只取两个不同的值。尽管在这项工作中可以看到置换群理论的萌芽，但约瑟夫·拉格朗日从未合成他的置换，所以在某种意义上从未讨论过群。

第一个声称五次方程不能代数求解的人是保罗·鲁菲尼。1799年，他发表了一部著作，其目的是证明一般五次方程的不可解性。保罗·鲁菲尼的工作基于约瑟夫·拉格朗日的工作，但保罗·鲁菲尼引入了置换群。他称之为permutazione，并明确使用了封闭性质（结合律对置换总是成立）。保罗·鲁菲尼将他的permutazione分为类型，即现代记号中的循环群permutazione semplice，以及非循环群permutazione composta。permutazione composta 保罗·鲁菲尼分为三种类型，用今天的记号即非传递群、传递非本原群和传递本原群。

保罗·鲁菲尼对五次方程不可解性的证明存在一些漏洞，并且由于对其论文保罗·鲁菲尼缺乏反响而感到失望，他发表了进一步的证明。在1802年的一篇论文中，他表明与一个不可约方程相关联的置换群是传递的，这使他的理解远远超出了约瑟夫·拉格朗日。

奥古斯丁·路易·柯西在发展置换理论中发挥了重要作用。他关于该主题的第一篇论文发表于1815年，但在这个阶段，奥古斯丁·路易·柯西的动机是方程根的置换。然而，在1844年，奥古斯丁·路易·柯西发表了一部重要著作，将置换理论确立为一门独立的学科。他引入了置换的幂（正幂和负幂）的记号（0次幂给出恒等置换），定义了置换的阶，引入了轮换记号，并使用术语système des substitutions conjuguées来表示群。奥古斯丁·路易·柯西称两个置换为similar，如果它们具有相同的轮换结构，并证明这等价于这两个置换共轭。

尼尔斯·阿贝尔在1824年给出了第一个被接受的五次方程不可解性的证明，他使用了关于方程根置换的现有思想，但在群论的发展中几乎没有新贡献。

埃瓦里斯特·伽罗瓦在1831年第一个真正理解了一个方程的代数解与一个与该方程相关的置换群le groupe的结构有关。到1832年，埃瓦里斯特·伽罗瓦已经发现特殊子群（现在称为正规子群）是基本的。如果右陪集分解和左陪集分解一致，他将一个群分解为一个子群的陪集称为proper decomposition。埃瓦里斯特·伽罗瓦随后表明，阶最小的非阿贝尔单群的阶为60。

埃瓦里斯特·伽罗瓦的工作直到约瑟夫·刘维尔在1846年发表埃瓦里斯特·伽罗瓦的论文时才为人所知。约瑟夫·刘维尔清楚地看到了奥古斯丁·路易·柯西的置换理论与埃瓦里斯特·伽罗瓦的工作之间的联系。然而，约瑟夫·刘维尔未能领会埃瓦里斯特·伽罗瓦工作的重要性在于群的概念。

恩里科·贝蒂从1851年开始发表将置换理论与方程理论联系起来的工作。事实上，恩里科·贝蒂是第一个证明与一个方程相关联的埃瓦里斯特·伽罗瓦群实际上是现代意义上的置换群的人。约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷发表了一部重要著作讨论埃瓦里斯特·伽罗瓦的工作，但仍然没有看到群概念的重要性。

卡米耶·若尔当在1865年、1869年和1870年的论文中表明，他意识到了置换群的重要性。他定义了置换群的同构，并证明了置换群的卡米耶·若尔当-奥托·赫尔德定理。奥托·赫尔德于1889年在抽象群的背景下证明了该定理。

菲利克斯·克莱因于1872年提出了Erlangen Program，这是几何的群论分类。群无疑正成为数学的中心。

也许最显著的发展甚至在恩里科·贝蒂的工作之前就已出现。这归功于英国数学家阿瑟·凯莱。早在1849年，阿瑟·凯莱发表了一篇论文，将他关于置换的思想与奥古斯丁·路易·柯西的思想联系起来。1854年，阿瑟·凯莱写了两篇论文，因其对抽象群的洞见而引人注目。当时已知的群只有置换群，甚至这还是一个全新的领域，然而阿瑟·凯莱定义了抽象群，并给出了一个表来展示群的乘法。他给出了一些特殊置换群的“阿瑟·凯莱表”，但更重要的是，对于抽象群概念的引入，他意识到矩阵和四元数是群。

阿瑟·凯莱在1854年的论文远远超前于时代，因此几乎没有产生影响。然而，当阿瑟·凯莱在1878年以四篇关于群的论文重新回到这一主题时，其中一篇名为The theory of groups，时机已经成熟，抽象群概念得以走向数学研究的中心。阿瑟·凯莱证明了许多结果，其中包括每个有限群都可以表示为一个置换群。阿瑟·凯莱的工作促使奥托·赫尔德在1893年研究阶为

$p^{3}, pq^{2}, pqr$和$p^{4}$。

费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯和欧根·尼托（利奥波德·克罗内克的学生）推进了群论。就抽象概念而言，下一位主要贡献者是瓦尔特·冯·戴克。瓦尔特·冯·戴克在菲利克斯·克莱因的指导下获得博士学位后，成为菲利克斯·克莱因的助手。瓦尔特·冯·戴克在1882年和1883年发表了基础性论文，构造了自由群，并给出了用生成元和关系定义抽象群的定义。

群论真正成熟起来，是以威廉·伯恩赛德于1897年出版的Theory of groups of finite order一书为标志。海因里希·马丁·韦伯（理查德·戴德金的学生）于1895年和1896年出版的两卷本代数书Lehrbuch der AlgebraⓉ（《代数教科书》）成为标准教材。这些书影响了下一代数学家，将群论带入也许是20世纪数学最重要的理论之中。