数学史专题
有几个因素导致中国的数学发展在很长一段时间内独立于其他文明的发展。这个国家的地理性质意味着有自然的边界（山脉和海洋）将其隔离。另一方面，当这个国家被外国入侵者征服时，他们被同化到中国文化中，而不是将文化改变为他们自己的。因此，从大约公元前1000年开始，中国有了持续的文化发展，追溯这种文化中的数学发展是令人着迷的。有快速进步的时期，有保持一定水平的时期，也有衰落的时期。
理解古代中国数学的第一件事是它不同于希腊数学的方式。与希腊数学不同，没有数学的公理化发展。中国的数学证明概念与希腊人的根本不同，但人们绝不能因此而在任何意义上轻视它。相反，人们必须惊叹于中国数学的方法及其导致的结果。
中国数学，就像他们的语言一样，非常简洁。它非常基于问题，由日历、贸易、土地测量、建筑、政府记录和税收的问题驱动。到公元前四世纪，计数板被用于计算，这实际上意味着使用了十进制位值数系统。值得注意的是，计数板是独一无二的中国特色，似乎没有被任何其他文明使用过。
我们对公元前100年以前中国数学的了解非常粗略，尽管1984年发现了约公元前180年的Suan shu shuⓉ（《算数书》）。这是一本写在竹简上的书，在湖北省江陵附近发现。我们有记录的下一个重要著作是杜忠撰写的十六章著作SuanshuⓉ（《算术》），以及许商撰写的二十六章著作Xu Shang suanshuⓉ（《许商算术》）。这两部文本均未留存，其内容所知甚少。现存最古老的完整文本是Zhoubi suanjingⓉ（《周髀算经》），编纂于公元前100年至公元100年之间（见关于数学十大经典的文章）。它是一部天文学文本，展示了如何使用也称为圭表的影表来测量天体的位置，但其中包含重要的数学部分。它清晰陈述了这一时期中国数学的性质（例如见[2]：-
计算方法解释起来非常简单，但应用广泛。这是因为人通过类比获得知识，也就是说，在理解了一条特定的论证思路之后，他们能够推断出各种类似的推理……能够举一反三的人就能推广……真正懂得计算……。能够演绎并进而推广……是聪明人的标志。
Zhoubi suanjingⓉ（《周髀算经》）包含了勾股规则（中国版的毕达哥拉斯定理）的陈述，并将其应用于测量、天文和其他主题。尽管人们普遍认为该著作还包含毕达哥拉斯定理的证明，但Cullen在[3]中对此提出异议，声称这一信念是基于Needham在[13]中给出的有缺陷的翻译。
事实上，这一时期的许多中国数学是因为需要为构建日历和预测天体位置进行计算而产生的。中文词“畴人”既指数学家也指天文学家，显示了这两个领域之间的密切联系。一位早期的“畴人”是落下闳（约公元前130年 - 约公元前70年），他制作了一部基于19年周期的日历。
有史以来最著名的中国数学著作是Jiuzhang suanshu，或者更常见的称呼是九章算术。这本书无疑包含了在相当长时期内对数学的贡献，但原文中几乎没有区分每一贡献的确切时期。这部重要著作主导了数学发展和风格达1500年之久，在文章九章算术中有所讨论。许多后来的发展是通过对这部文本的注释而来的，最早的注释之一由徐岳（约160—约227）所作，尽管这一注释已经失传。
刘徽（约220—约280）取得了重大的数学进展，他在约263年写下了对Jiuzhang suanshu即九章算术的注释。Dong和Yao写道[24]：-
刘徽，魏晋时期伟大的数学家，开创了中国古代数学理论化的时代，为数学领域做出了巨大贡献。从《九章算术注》和《海岛算经》中可以看出，刘徽巧妙地运用了形象思维以及逻辑和辩证的思维方式。他解决了许多数学问题，将他的数学推理进一步沿着辩证的道路推进。
刘徽给出了比早期中国文本更具数学性的方法，提供了他的计算所依据的原理。他利用内接于圆的正边形找到了π的近似值。他对π的最佳近似值是3.14159，这是他从3072边的正多边形中得到的。显然，他理解了迭代过程和极限的概念。刘徽还写了Haidao suanjingⓉ（《海岛算经》）（见关于数学十大经典的文章），该著作最初是他对九章算术第九章注释的附录。在其中，刘徽使用毕达哥拉斯定理来计算无法直接测量的物体的高度和距离。这后来成为中国数学的主题之一。
在刘徽的杰出贡献约五十年后，天文学取得了重大进展，虞喜发现了岁差。在数学方面，过了一段时间数学才超越了刘徽所达到的深度。例如孙子（约400—约460）写了他的数学手册Sunzi suanjingⓉ（《周髀算经》），总体而言几乎没有提供新内容。然而，它确实包含了一个用中国剩余定理解决的问题，这是此类问题已知最早的出现。
这部由孙子所著的文本是此后两百年间一系列做出诸多重要贡献的文本中的第一部。Xiahou Yang（约400—约470）被认为是Xiahou Yang suanjingⓉ（《夏侯阳算经》）的作者，该书包含用十的正负幂次表示十进制数的方法。张邱建算经（约430—约490）在468年至486年间的某个时候撰写了其数学著作Zhang Qiujian suanjingⓉ（《张邱建算经算经》）。书中的92个问题说明了等差数列求和公式。它或许最著名的是提出了“百鸡问题”，这是一个具有三个非平凡解的不定问题。
最重要的进展之一由祖冲之（429—501）和他的儿子祖暅（约450—约520）取得。祖冲之是一位天文学家，他进行了精确观测，并用这些观测编制了一部新历法，即大明历，它以391年的周期为基础。他写了Zhui shuⓉ（《插值法》），在其中他证明了3.1415926 < π < 3.1415927。他建议在较精确的工作中使用作为良好近似值，在不太精确的工作中使用。他与儿子祖暅一起使用博纳文图拉·卡瓦列里原理计算了球体积公式（见[25]）。中国代数的开端见于王孝通（约580—约640）的工作。他写了Jigu suanjingⓉ（《缉古算经》），这部文本只有20个问题，后来成为数学十大经典之一。他通过扩展求立方根的算法来解三次方程。他的工作被视为迈向李冶的“天元”或“系数阵列法”或“天元术”以用多项式进行计算的第一步。
插值是天文学中的重要工具，刘焯（544—610）是一位天文学家，他引入了带二阶差分法的二次插值。当然，中国天文学并非完全独立于印度在该学科中发生的发展，同样数学也在某种程度上受到印度数学著作的影响，其中一些被翻译成中文。历史学家今天仍在争论印度、阿拉伯和伊斯兰数学对中国发展的影响程度。公平地说，它们的影响比本可能达到的要小，因为中国人似乎不太愿意接受其他数学方法。早期三角学在一些被翻译的印度文本中有所描述，中国也有三角学的发展。例如，一行（683—727）制作了一张正切表。
从六世纪起，数学就作为文官考试课程的一部分被教授。李淳风（602—670）被任命为一部数学论著集的编者，该文集供此类课程使用，其中许多论著我们已在上文提及。这部文集现在被称为数学十大经典，此名于1084年赋予它们。
十世纪至十二世纪这一时期进展甚少，且没有这一时期的数学文本留存下来。然而贾宪（约1010—约1070）做出了重要贡献，这些贡献仅通过杨辉的文本才为人所知，因为他自己的著作已失传。他改进了求平方根和立方根的方法，并将该方法推广到多项式方程的数值求解，利用以布莱兹·帕斯卡三角形构造的二项式系数来计算和的幂。尽管沈括（1031—1095）对数学的贡献相对较少，但他在许多领域做出了卓越的工作，并被许多人视为第一位科学家。他撰写了Meng ch'i pi t'anⓉ（《梦溪笔谈》），其中包含许多精确的科学观察。
下一个重大的数学进展由秦九韶（1202—1261）做出，他撰写了著名的数学论著Shushu JiuzhangⓉ（《数书九章》），于1247年问世。他是十三世纪中国伟大数学家的第一位。这是一个取得重大进步的时期，数学在此期间达到了新的高度。该论著包含关于中国剩余定理的卓越工作，给出了一个系数为变量的方程，以及除其他结果外，还有海伦的三角形面积公式。最高达十次的方程使用保罗·鲁菲尼-威廉·乔治·霍纳方法求解。
李冶（亦称李冶）（1192—1279）是十三世纪中国伟大数学家的下一位。他最著名的著作是Ce yuan hai jingⓉ（《测圆海镜》），写于1248年。它包含“天元术”或“系数阵列法”或“天元术”，这是一种处理多项式方程的方法。他还在1259年撰写了Yi gu yan duanⓉ（《益古演段》），这是一部更初等的著作，包含用代数求解的几何问题。中国数学这一黄金时代的下一位主要人物是杨辉（约1238—约1298）。他在1261年撰写了Xiangjie jiuzhang suanfaⓉ（《详解九章算法》及其分类），他的其他著作被收入Yang Hui suanfaⓉ（《杨辉算法》），于1275年问世。他描述了乘法、除法、开方、二次方程和联立方程、级数、矩形、梯形、圆形及其他图形面积的计算。他还对幻方和幻圆作了精彩的论述。
郭守敬（1231—1316）虽然通常不被列入十三世纪的主要数学家之中，但仍做出了重要贡献。他撰写了Shou shi liⓉ（《授时历》），研究球面三角学，并使用保罗·鲁菲尼-威廉·乔治·霍纳数值方法求解方程。他还发展了一个三次插值公式，将累积差分的差分列成表，如同艾萨克·牛顿的前向差分插值法。
这一黄金时代的最后一位数学家是朱世杰（约1260—约1320），他撰写了Suanxue qimengⓉ（《算学启蒙》），于1299年出版，以及Siyuan yujianⓉ（《四元玉鉴》），于1303年出版。他使用“系数阵列法”或“天元术”的推广来处理最多含四个未知数的多项式。他还给出了许多关于级数求和的结果。这代表了中国古代数学的一个高峰。
中国数学从十四世纪开始的衰落绝不是急剧的。九章算术仍然是数学学习的典范，基于它的新著作继续出现。例如丁巨在1355年出版了Ding ju suan faⓉ（丁巨算法），何平子在1373年出版了Xiangming suan faⓉ（算法启蒙），刘仕隆在1424年出版了Jiu zhang tong ming suanfaⓉ（九章通明算法），吴敬在1450年出版了Jiu zhang suan fa bi lei da quanⓉ（九章详注比类算法大全）。吴敬是浙江省的一名官员，他的算术百科全书包含了九章算术的全部246个问题。同样，程大位（1533 - 1606）在1592年出版了Suanfa tong zongⓉ（算法统宗），该书以九章算术的风格写成，但提供了更大的595个问题的集合。
我们刚刚列出的书籍显示了数学活动，但它们并没有推进多项式代数的方法。相反，十三世纪的深奥著作甚至不再被理解，更不用说进一步发展了。徐光启（1562 - 1633）确实准确地认识到了这一点，并提出了可能的解释，包括学者忽视实际计算工具以及在明朝时期将数学与神秘数字学等同起来。其他因素必定是，描述高级方法的书籍在中国传统中非常简洁，没有老师传授理解，学者们越来越难以直接从文本中学习。徐光启是第一位在中国出版欧洲书籍中文译本的中国人。他与利玛窦合作，翻译了关于数学、水力学和地理学的西方书籍。当然，这并不标志着中国数学传统的终结，但从利玛窦和其他西方传教士的时代起，中国受到了其他数学传统的极大影响。
在一篇这样长度的文章中，不可能提及这一时期众多贡献中的许多。然而，让我们提及一个重要的家族，即梅氏家族。这个家族中最著名的成员是梅文鼎（1633—1721），他对黄金分割的评论是他对西方数学所持的明智态度的典型（例如见[9]）：-
在理解了如何使用黄金分割之后，我开始相信不同的几何方法是可以被理解的，无论是传教士将其视为神圣礼物的态度，还是中国人将其视为异端而拒绝的态度，都是不正确的。
梅选择不像大多数数学家那样担任政府职务，而是决定献身于数学及其教学。他游历中国各地，声名远播，许多人成为他的学生。他的两个兄弟，梅文鼏和梅文鼎，从事天文和数学研究。梅文鼎晚年得到其子梅以燕的协助。梅瑴成（1681-1763）是梅文鼎的孙子，1705年受康熙皇帝之命担任大型数学百科全书Shuli jingyun Ⓣ（《数理精蕴》）（1723）的主编。梅瑴成还编辑了他祖父梅文鼎的著作，于1761年出版了Meishi congshu jiyao Ⓣ（《梅氏丛书辑要》）。
从十八世纪起，某些人在记录中国传统方面做了出色的工作，因此其中许多内容至今仍为我们所了解。例如戴震（1724 - 1777）成为Siku quanshuⓉ（四库全书）的编辑，这是乾隆皇帝于1773年设立的一个项目。他在作为该项目的一部分抄写完整文本后，编辑了九章算术的新版本。阮元（1764 - 1849）创作了他的著名著作Chouren zhuanⓉ（畴人传），包含275位中国和41位西方“数学家”的传记。本档案中记录的许多中国数学家的传记细节都是通过这部著作而为人所知的。李锐（1768 - 1817）协助了阮元。他是一位高产数学家，在能力巅峰时去世。他最重要的著作是Lishi suan xue yi shuⓉ（李锐算学全集）。
中国数学家没有让他们的数学传统被西方传统所取代，这是值得称赞的。例如李善兰（1811-1882）作为西方科学文本的翻译者很重要，但他最著名的是自己的数学贡献。他创造了自己版本的对数、无穷级数和组合数学，这些并不遵循西方数学的风格，但他的研究自然是从中国数学的基础发展而来的。还有许多其他努力来推广中国数学，特别是1899年创办了一份数学期刊Suanxue bao,。编辑们写道：-
不应崇拜西方方法而鄙视中国方法。
西方数学家于20世纪初开始在中国讲学。例如康拉德·克诺普在1910年至1917年间在那里任教，Turnbull在1911年至1915年间任教。中国学生开始出国学习数学，1917年胡明复从哈佛大学获得博士学位。1932年，中国首次派代表参加了在苏黎世举行的国际数学家大会。Chinese Mathematical Society于1935年成立。