数学十大经典The Ten Mathematical Classics

隋朝历时短暂，从581年持续到618年，但在统一一个已分裂超过300年的国家方面却至关重要。教育变得重要，数学在国子监中教授。继隋朝之后的唐朝延续了已经开始的教育发展，并将数学教学正式化。《唐书》记载（见[1]）：-

天文观测者王宪钟 Sibian向皇帝呈递了一份奏折，报告说《五曹算经》或《孙子算经》等十部数学典籍充满了错误和矛盾。因此，李淳风与来自教育部的数学专家梁述，以及来自国子监的教师王宪钟 Zhenru等人奉旨为《五曹算经》或《孙子算经》等十部数学典籍作注。任务完成后，高祖皇帝下令这些书籍在国子监使用。

唐朝第一位皇帝李渊的庙号为高祖，于618年至626年在位。这使我们能够相当准确地确定李淳风及其同事开始工作的时间。尽管后来的作者称之为The Ten Mathematical Classics，但李淳风汇编的文集中有超过十部著作。这些著作是：

1. 《周髀算经》（周影测量手册）
2. 《九章算术》（九章算术）
3. 《海岛算经》
4. 《孙子算经》（孙子的数学手册）
5. 《五曹算经》
6. 《夏侯阳算经》（Xiahou Yang的数学手册）
7. 《张邱建算经算经》（张邱建算经的数学手册）
8. 《五经算术》
9. 《缉古算经》
10. 《数术记遗》
11. 《缀术》
12. 《三等数》（三阶之术；大数记法）

国子监教授数学的方式如下。从社会下层招募三十名学生，分为两班，每班15人。这两班遵循不同的教学大纲，一班学习较为基础的实用数学，另一班则是学习技巧的高级班。教学由数学博士及其助教进行。学生用七年时间学习《算经十书》中的数学，然后参加科举考试。考试每年举行一次，正如人们所料，两班的考试内容不同。必须解答取自这些文本的题目，高级班还举行口试，学生必须补全从这十部数学经典中随机抽取的句子。要通过考试，必须达到十分之六的分数。

让我们简要看一下这些文本的内容。

1. 周髀算经（周影测量手册）

这本质上是一部天文学著作，被认为编纂于公元前100年至公元100年之间，其中包含一些重要的数学章节。该文本使用称为圭表的影尺来测量天体的位置。文中通过一段对话描述了圭表的使用方法：-

周公：夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？

商高：平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。

Zhoubi suanjing包含了对太阳一年中运动的计算，以及对月亮和恒星，特别是北极星的观测。

也许Zhoubi suanjing中包含的最重要的数学内容与勾股规则有关，即毕达哥拉斯定理的中国版本。
插图：Gougu.gif ↗
大正方形的面积为$(a+b)^{2} = a^{2} +2ab + b^{2}$。四个“角”上的三角形面积各为$ab/2$，因此四个三角形面积之和为$2ab$。所以内正方形（其顶点在外正方形上）的面积为

$(a^{2} +2ab + b^{2}) - 2ab = a^{2} + b^{2}$。

因此其边长为$\sqrt {a^2 + b^2}$。所以，边长为$a$和$b$的直角三角形的斜边长度为$\sqrt {a^2 + b^2}$。

Zhoubi suanjing的作者写道，大禹：-

……治理洪水，疏浚江河溪流，运用勾股法则测量高地与低地。

这强调了它在测量中的实际用途。然而，Zhoubi suanjing的文本还解释说，数学之所以能应用于如此多不同的情况，是因为数学推理允许人们从特殊情况过渡到一般情况。这种对数学抽象本质的认识很重要。

2. 《九章算术》（九章算术）

这是《算经十书》中最重要的著作，但由于我们的档案中已有关于九章算术的单独文章，本文无需讨论它。

3. 《海岛算经》

此文由刘徽于公元263年撰写。这是一部包含九个问题的小型著作，最初是作为他对九章算术第九章注释的一部分而写的，后来在李淳风及其同事编纂The Ten Mathematical Classics.时被抽出，成为一部独立的著作。Haidao suanjing的译本见[3]

《Haidao suanjing》展示了如何利用勾股定理（毕达哥拉斯定理）来计算无法直接测量的物体的高度和距离。第一个问题说明了该书的风格，涉及海中一座岛屿的高度和距离。该书因此得名。
插图：Island.gif ↗

$P_{1}$和$P_{2}$是两根高5步、相距1000步的标杆。从地面上的X处观察，该点位于$P_{1}$后方123步，此时岛屿的顶峰$S$与$P_{1}$的顶端在同一直线上。同样，从地面上的Y处观察，该点位于$P_{2}$后方127步，此时岛屿的顶端与$P_{2}$的顶端在同一直线上。计算岛屿的高度及其到$P_{1}$的距离。
[注：1步约合2米。]

李淳风及其同事添加了一段注释，开头是：-

这里，岛顶指的是山顶。标杆是垂直立着的杆子的顶端。视线穿过标杆的顶端和岛顶。……

假设两根标杆的高度为$h$，两杆之间的距离为$d$。刘徽给出岛的高度为$h \times \Large \frac{d}{P_2Y - P_1X}\normalsize +h$，到岛的距离为$P_1X \times \Large \frac{d}{P_2Y - P_1X}$。
他接着给出：岛高：1255步；从$P_{1}$到岛的距离：30750步。

这部著作中的其他问题包括山边一棵树的高度、到一座方形城镇的距离、峡谷的深度、山上塔的高度、河的宽度、底部有湖的山谷的深度、从山上看到的浅滩的宽度，以及从山上看到的城镇的大小。

4. 孙子算经（孙子的数学手册）

历史学家对这部文本的成书年代给出了多种说法，但王宪钟 Ling [4]似乎拥有最有说服力的论据：-

《孙子算经》提到“mein”作为一种税收项目，以及“hu tiao”制度。这两者最初设立于公元280年。因此，该书不可能早于这个年代写成。……公元474年，在“chih”和“tuan”之间建立了一种新的尺度；《孙子算经》仍使用旧尺度，根据吴承仕的校勘，其成书不可能早于公元473年。

当然，这种断代假设文本是作为一个整体写成的，而它更可能是像许多文本一样，由更古老的资料编纂而成。在这种情况下，王宪钟 Ling的断代只能确定文本的一部分是何时写成的，有些部分可能更早，而其他部分可能更晚。

Sunzi suanjing由三章组成，第一章描述测量系统，相当详细地讲述了使用算筹进行乘法、除法和开平方。第二章和第三章由问题组成（分别为28个和36个），涉及分数、面积、体积等，与九章算术中的问题类似，但更容易一些。然而，有一个问题特别引人注目，即第三章中的第26题：——

假设我们有数量未知的物体。三个三个地数，剩下2个；五个五个地数，剩下3个；七个七个地数，剩下2个。有多少个物体？

当然，这很重要，因为这是一个用中国剩余定理解决的问题。事实上，所给出的解法虽然针对的是特殊情况，却恰好给出了现代方法。在解决这个特定问题（答案是23）之后，Sunzi suanjing给出了适用于任意余数的方法：-

将按三计数时剩余的单位数乘以70，加上按五计数时剩余的单位数乘以21的积，再加上按七计数时剩余的单位数乘以15的积。如果答案大于或等于106，则减去105的倍数。

5. 《五曹算经》

这部文本显然是为教学而设计的，面向那些进入隋朝地区约220年设立、一直持续到581年的五个政府部门的人；文本可能来自五世纪。这五个部门是农业、军事、会计、粮仓和国库，每一部门都有一章与之相关。这部文本的主要兴趣在于，尽管第一章中给出的用于求不同形状田地面积的19个公式中有许多给出了近似正确的答案，但它们实际上是不正确的。这激发了后来的数学工作。

6. 《夏侯阳算经》（Xiahou Yang的数学手册）

该文本包含三章，分别有19、29和44个问题。这些问题中没有一个提出任何新内容。

7. 《张邱建算经算经》（张邱建算经的数学手册）

另一部三章著作，分别有15、22和38个问题。其中有关于最小公倍数和等差数列的问题。

8. 《五经算术》（五经中的算术方法）

一部略显奇特的著作，包含对五部非数学文本特定部分的注释。注释中确实包含数学，特别是与历法和大数有关的问题。

9. 《缉古算经》（古代数学的延续）

我们确实知道这部著作的作者，即王孝通。它奇怪地混合了堤坝和运河建造中出现的实际问题与实践中不会出现的幻想问题。有时，奇怪的是，问题同时包含这两个方面。

10. 《数术记遗》（算术方法传统注记）

这部文本的作者被声称是徐岳，并被认为写于三世纪初。这不太可能，几乎肯定是后来的作者试图为其著作争取某种体面。这是一部难以理解的著作，部分展示了如何使用十的幂来构造非常大的数。作者可能想说服读者，表达任意大的数是可能的。文本的部分内容似乎更多是宗教性的而非数学性的。

11. 《缀术》（插值方法）

这本书由祖冲之（有时写作Tsu Ch'ung Chi）撰写。他是一位杰出的数学家，但遗憾的是Zhui shu的文本没有留存下来。已知祖冲之找到了π的极好近似值，即$\large\frac{355}{113}\normalsize$，并且据认为这本书使用了巧妙的方法，通过极限过程来求面积和体积。祖冲之似乎是最早正确计算球体积的中国数学家。Zhui shu对国子监的学生来说太深奥了，因此被从教学大纲中删除。这几乎肯定解释了为什么该文本没有留存下来。

12. 三等数（三阶之术；大数记法）

此书为董泉所著。