分形几何史A History of Fractal Geometry

任何如今为中小学生所熟知的数学概念，都经历了数十年乃至数百年的精炼。一个典型的学生在她数学生涯的不同阶段——无论这段生涯是长是短——都会遇到维数、复数和“几何”这些概念。如果她对数学领域没有特别的兴趣，这个学生可能会认为这些概念彼此独立、互不相关，尤其可能错误地以为学校里教的欧几里得几何涵盖了整个几何学领域。然而，如果她在大学阶段继续攻读数学，她可能会发现一个令人兴奋且相对较新的研究领域，它将上述概念以及许多其他概念联系在了一起：分形几何。

虽然分形几何发展的绝大部分功劳归于曼德尔布罗，但在他之前的一个世纪里，许多其他数学家已经为他的工作奠定了基础。此外，曼德尔布罗的许多进展得益于他运用计算机技术的能力——这是他的前辈们明显缺乏的优势；然而，这丝毫不减损他富有远见的成就。尽管如此，在承认并理解曼德尔布罗的成就的同时，对卡尔·魏尔斯特拉斯、格奥尔格·康托尔、费利克斯·豪斯多夫、茹利亚、皮埃尔·法图和保罗·莱维的相关工作有所了解无疑是有帮助的——这不仅能使曼德尔布罗的工作更加清晰，还能看到它与其他数学分支的联系。同样，虽然大多数作者在关于分形的著作中都不会忘记至少简要讨论曼德尔布罗相当有趣且略显非传统（对现代数学家而言）的生平，但对其前辈给予一些——即便不是同等的——关注似乎才是公平的。

直到19世纪，数学只关注产生可微曲线的函数。事实上，当时的传统观点认为，任何具有解析公式（即收敛幂级数的和）的函数都必定会产生这样的曲线。[3] 然而，在1872年7月18日，卡尔·魏尔斯特拉斯在皇家普鲁士科学院提交了一篇论文，表明对于正整数$a$和$0 < b < 1$

$\sum_{n=1}^{\infty} b^{n}\cos(a^{n}x \pi)$

是不可微的。利用导数的极限定义，他证明了该函数的差商

$[f (x + h) - f (x)]/h$

随着求和指标增大而任意增大。
正如卡尔·魏尔斯特拉斯本人所指出的，波恩哈德·黎曼引入了

$\sum_{n=1}^{\infty} \sin(n^{2}x)/n^{2}$

作为不可微解析函数的一个例子，但从未发表证明，也无人能复现它。[14] 因此，卡尔·魏尔斯特拉斯的证明成为第一个被严格证明的解析但不可微函数的例子。尽管卡尔·魏尔斯特拉斯，以及实际上当时数学界的许多人，都避免使用图形而倾向于用符号操作来证明结果，但后来的数学家如海里格·冯·科赫和曼德尔布罗本人发现用图形表示他们的结果很有用。[5] [7] 事实上，当一个人只处理过几乎处处可微的曲线时，遇到一条并非如此的曲线的公式时，一个显而易见的问题就是：“它看起来是什么样子？”

插图：fractal_1.gif ↗

虽然这两者都是近似，但可以看出这些函数缺乏抛物线或正弦、余弦函数的平滑性。这些函数抗拒传统分析，并且——尽管不是因为它们的外观，当时数学家的能力还无法表示这种外观——被夏尔·埃尔米特贴上“怪物”的标签，并在很大程度上被当时的数学界忽视。[2]

1883年，格奥尔格·康托尔——他在柏林大学求学期间听过卡尔·魏尔斯特拉斯的讲座[9]，并且他对集合论的意义犹如曼德尔布罗之于分形几何[3]——引入了一个新函数ψ，除在点集$\{z\}$上之外，ψ' = 0。这个集合$\{z\}$，就是后来所称的格奥尔格·康托尔集。

插图：fractal_2.gif ↗

函数ψ是奇异的、单调的、非常数的，并且几乎处处ψ' = 0。它还具有以下性质：

ψ(1) - ψ(0) = 1 然而 $\int_{0}^{1} \psi' (x) dx = 0$ [3]

该格奥尔格·康托尔集合的昂利·勒贝格测度为零；然而，它也是不可数无限的。[3]更有甚者，它具有自相似的性质，即如果放大该集合的某一部分，就会再次得到整个集合。观察图4，很容易看出每条水平线都是紧挨其上方那条水平线大小的三分之一。事实上，自相似性分形的一个特征，而格奥尔格·康托尔集合是分形的一个早期例子，尽管自相似性直到1905年才被定义（由恩纳斯托·切萨罗定义，他当时正在分析下文讨论的海里格·冯·科赫的论文），而分形直到1975年才由曼德尔布罗定义，[2]因此格奥尔格·康托尔不会以这些术语来思考它。

插图：fractal_3.gif ↗在1904年发表的一篇论文中，瑞典数学家海里格·冯·科赫用几何方法构造了如今著名的海里格·冯·科赫曲线，从而构造了海里格·冯·科赫雪花，它是由三条海里格·冯·科赫曲线连接而成。在论文的引言中，他关于卡尔·魏尔斯特拉斯1872年的文章[6]陈述了以下内容：

……在我看来，他的[卡尔·魏尔斯特拉斯的]例子从几何观点来看并不令人满意，因为该函数由一个解析表达式定义，这掩盖了相应曲线的几何性质，因此从这个观点来看，人们不明白为什么该曲线没有切线。相反，似乎其外观实际上与卡尔·魏尔斯特拉斯以纯解析方式建立的事实真相相矛盾。

海里格·冯·科赫的曲线，像格奥尔格·康托尔集合一样，具有自相似的性质。它同样是一个分形，尽管像格奥尔格·康托尔一样，海里格·冯·科赫并没有以这样的术语来思考。他仅仅旨在提供另一种方式来证明不可微函数（即几何用语中“没有切线”的函数）可以存在——这种方式涉及使用“初等几何”（参考文献[6]的标题翻译为On a Continuous Curve without Tangent Constructible from Elementary Geometry）。在这样做时，海里格·冯·科赫表达了分析的这些不可微“怪物”与几何之间的联系。

海里格·冯·科赫本人是一位相当不起眼的数学家。他的许多其他结果源自儒勒·昂利·庞加莱的结果，他知道从儒勒·昂利·庞加莱那里可以获得“病态”结果——即这些所谓的“怪物”——但除了上述文章之外，从未真正探索过它们。[5] 应当指出，儒勒·昂利·庞加莱在19世纪后期研究了非线性动力学，这最终导致了混沌理论，[2] 一个与分形几何密切相关的领域，尽管超出了本文的范围。因此，一位其工作如此紧密地追随儒勒·昂利·庞加莱的数学家，竟然成为一个与儒勒·昂利·庞加莱本人帮助奠定基础的研究领域密切相关的领域的先驱之一，这是恰如其分的。

在分形研究中，除了前述的自相似性和不可微性之外，一个绝对关键的概念是费利克斯·豪斯多夫维数，这个概念由费利克斯·豪斯多夫于1918年3月引入。费利克斯·豪斯多夫在同一篇论文中的结果对拓扑学领域也很重要；[3]然而，他对维数的定义扩展了先前的定义，允许集合具有任意非零值的维数[4]（与拓扑维数不同），这最终成为分形定义的核心，因为曼德尔布罗将分形定义为“一个具有费利克斯·豪斯多夫维数严格大于其拓扑维数的集合。”[2]

一旦费利克斯·豪斯多夫引入了这个新的、扩展的维数定义，它就成为了研究的主题——特别是由阿布拉姆·萨莫伊洛维奇·贝西科维奇，他从1934年到1937年初写了不下三篇引用费利克斯·豪斯多夫工作的论文。[3]可悲的是，此时，费利克斯·豪斯多夫作为犹太人在纳粹德国生活困难。他于1935年被迫放弃波恩大学的教授职位，尽管他继续研究集合论和拓扑学，但他的工作只能在德国以外发表。尽管暂时设法避免被送往集中营，但德国的情况迅速变得无法忍受，无处可去，他和妻子及妻妹于1942年1月选择自杀。[4]

自相似集合的费利克斯·豪斯多夫维数，$d$——它与分形几何的联系，尽管如前所述，费利克斯·豪斯多夫维数还有许多其他应用——按比例$r_{1} , r_{2} , ... , r_{N}$缩小（即集合的第一次迭代是整个集合按因子$r_{1}$缩小）满足以下两个方程[2]：

$r_{1}^{d} + r_{2}^{d} + ... + r_{N}^{d} = 1$和$Nr^{d} =1$。

然而，这些方程并未出现在费利克斯·豪斯多夫的论文中，因为它们直接与分形（以及计算分形的维数）相关，而这些概念是费利克斯·豪斯多夫所不知道的。尽管如此，从这两个方程中，很容易看出如何获得一个不是整数的维数，如[2]

$d = \Large \frac{\log(N)}{ \log(\log(1/r))}$。

几乎在费利克斯·豪斯多夫进行研究的同时，两位法国数学家茹利亚和皮埃尔·法图各自（尽管并非合作）得出了最终对分形几何至关重要的结果。他们研究了复平面的映射和迭代函数。他们在迭代函数方面的工作引出了attractors和repellors的概念，前者是空间中吸引其他点向其汇聚的点，后者是空间中排斥其他点（通常将其推向另一个吸引子）的点。这些概念对混沌理论也很重要。各种basins of attraction的边界结果非常复杂，今天被称为茹利亚集，[7]其一个例子可见图6。对于函数$f (z)$，茹利亚集的一个更解析的定义是[2]

$J (f ) = \partial \{z | f ^{(n)}(z) \to ∞$即$n \to \infty \}$。

此处一段未译出，以下为英文原文 Namely, "the Julia set of $f$ is the boundary of the set of points $z \in \mathbb{C}$ that escape to infinity under repeated iteration by $f (z)$." [2]

插图：fractal_4.gif ↗因为皮埃尔·法图和茹利亚（以及延伸开来，他们的工作）早于计算机，他们无法生成像右边那样的图片，那是函数数百万次迭代的图形。他们受限于手工能做的，大约只有三到四次迭代。[7]茹利亚在1918年发表了一篇199页的论文，名为Mémoire sur l'iteration des fonctions rationellesⓉ（关于有理函数迭代的论文），其中讨论了他关于迭代函数的大部分工作，并描述了茹利亚集。凭借这篇论文，茹利亚赢得了Académie des Sciences的大奖，并在整个20世纪20年代在数学界极为著名。然而，尽管有这种显赫，他关于迭代的工作在大约五十年里陷入了默默无闻。[11]

皮埃尔·法图另一方面，即使同时代，也没有达到茹利亚那样的名声，尽管发现了非常相似的结果——虽然方式不同——并且也提交了发表。他向Comptes Rendus提交了结果的公告，而茹利亚选择将他的大作发送给Journal de Mathématiques Pures et Appliquées。茹利亚保护自己的工作，致信Comptes Rendus要求他们调查谁的结果有优先权。该出版物 duly 展开了调查，并在与皮埃尔·法图公告同一期上包含了关于茹利亚发现的注释。这显然使皮埃尔·法图气馁，足以阻止他参加大奖。尽管如此，Académie des Sciences给了他一些认可，并因他关于该主题的论文授予他一个奖项。[10]

茹利亚集可以完全不连通，此时它们是“尘埃”（图7）——类似于格奥尔格·康托尔集（图4）——或者完全连通（图6）。在少数情况下，它们可以是“枝晶”（图8），此时它们“完全由连续不断分叉的线组成，这些线仅仅是勉强连通，因为从中移除任何一点都会将它们分成两部分，”[7]此时，它们将被视为“尘埃”。[7]

插图：fractal_5.gif ↗

判断一个集合是否连通的方法是计算起始点的轨道。起始点$x_{0}$的轨道是序列[2]

$(x_{0} , x_{1} , x_{2} , ... )$其中对每个$i \in \mathbb{N}$我们有$x_{i} = f (x_{i-1})$。

如果这个序列趋于无穷，那么该集合是不连通的。否则，它是连通的。[7]

插图：fractal_6.gif ↗1938年，也就是阿布拉姆·萨莫伊洛维奇·贝西科维奇发表关于费利克斯·豪斯多夫维数的最后一篇论文之后的第二年，保罗·莱维对自相似性质进行了全面的论述。他表明，海里格·冯·科赫曲线只是众多自相似曲线例子中的一个，尽管海里格·冯·科赫本人曾说过他的曲线可以推广。由保罗·莱维生成的曲线（示例见图9——绿色和蓝色集合是较大集合的两个较小副本）是迭代的、连通的，并且经过足够多次迭代后，可以覆盖（或铺满）平面。然而，保罗·莱维的曲线不是分形，因为它们的费利克斯·豪斯多夫维数和拓扑维数都是2。[3]

当时谁也没有想到，有一个人，尽管还很年轻，将会把保罗·莱维和费利克斯·豪斯多夫的工作统一起来。曼德尔布罗1924年出生于波兰华沙，和费利克斯·豪斯多夫一样，他也是犹太人，不过他的家人于1936年离开波兰前往法国，从而逃脱了第三帝国的统治，在法国，家人和朋友帮助他们建立了新生活。曼德尔布罗的一个叔叔索勒姆·曼德尔布罗伊特是一位纯数学家，他对年轻的曼德尔布罗产生了兴趣，并试图引导他走向数学。事实上，1945年，索勒姆·曼德尔布罗伊特向他的侄子展示了皮埃尔·法图和茹利亚的著作，尽管年轻的曼德尔布罗起初并没有太大兴趣。[13]

曼德尔布罗的教育非常不连贯，并在1940年完全中断，当时曼德尔布罗和他的家人被迫再次逃离纳粹。这次他们去了法国中部。曼德尔布罗和之前的海里格·冯·科赫一样，更喜欢用视觉表示来呈现数学问题，而不是用符号表示，[7]尽管这也可能源于他因第二次世界大战而缺乏正规教育。[13]不幸的是，这使他与“尼古拉·布尔巴基”的教学风格发生了直接冲突，这个数学家团体信奉用分析方法（而非视觉方法）解决问题，他们的理念主导了当时法国的数学教学。[7]

战争结束后，曼德尔布罗参加了巴黎综合理工学院的入学考试，尽管他没有任何准备。他在数学部分表现非常出色，在那里他可以运用自己通过视觉化解决问题的能力来答题。虽然这种方法在其他部分并不总是可行，但他还是通过了[7]，在巴黎高等师范学校度过了一天的职业生涯后，曼德尔布罗进入了巴黎综合理工学院，在那里他遇到了另一位导师保罗·莱维，[13]后者从1920年起在该校担任教授，直到1959年退休[12]。

完成学业后，曼德尔布罗搬到了纽约，在那里他开始为IBM的Thomas J. Watson研究中心工作。公司给了他自由选择研究课题的权利，这使他能够用自己的方法探索和发展概念，而不必担心学术界的反应。1967年，还在那里的时候，曼德尔布罗写了他的里程碑式论文，How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension [8]，在文中他将前人的数学家的思想与现实世界联系起来——即海岸线，他声称海岸线是“统计自相似的”。他论证说[8]

自相似方法是在研究随机现象，包括地球统计学、经济学和物理学中的有力工具。事实上，许多噪声的维度D介于0和1之间……

在这篇论文之后，借助计算机，曼德尔布罗回到了茹利亚和皮埃尔·法图的工作。首次能够看到这些集合在其极限下的样子，曼德尔布罗提出了映射$c \in \mathbb{C}$值的想法，对于这些值，函数$f_{c} (z) = z^{2} + c$的茹利亚集是连通的。这产生了曼德尔布罗集，$M$（图10），更正式地表示为

$M = \{c \in \mathbb{C} | f_{c}^{(n)}(z)$是有限的，当$n \to \infty$}

插图：fractal_7.gif ↗对许多人来说，曼德尔布罗集是典型的分形。当放大边缘的某一部分时，人们注意到曼德尔布罗集确实是自相似的。此外，如果进一步放大边缘的各个部分，会得到不同的茹利亚集。事实上，正如中国数学家Tan Lei的一个定理所证明的，它“在其边界上的任何点附近都渐近相似于茹利亚集”。[7]

曼德尔布罗不仅创立了分形几何这门学科，还通过将其应用于科学其他领域而使之普及。他显然认为这很重要，因为他曾说过[3]

那些选择成为游牧者的罕见学者，对于定居学科的智识福祉至关重要。

正如他在How Long Is the Coast of Britain?中暗示的那样，分形几何在表示自然现象时很有用；海岸线、树的轮廓或雪花的形状等事物——这些事物用传统欧几里得几何不容易表示。毕竟，当人凝视一个正方形或一个圆时，不会想到任何有机体。同样，当人凝视河流的路径之类的事物时，也不会想到欧几里得几何中的任何简单形状。甚至地球也不是一个完美的球体，尽管把它当作球体来计算可能很方便。此外，分形几何和混沌理论与物理学、医学以及种群动力学研究有重要联系。[7]然而，即使这个领域缺乏这些联系，那些有此倾向的人也难以抗拒大多数分形在美学上的吸引力。

曼德尔布罗的非传统方法使他发明了一种惊人且有用的新数学形式。然而，没有数学家能声称自己的成果是在完全孤立于他人的情况下发展出来的。曼德尔布罗的发现很大程度上归功于他之前的数学家，如卡尔·魏尔斯特拉斯和海里格·冯·科赫，但尤其要归功于茹利亚、皮埃尔·法图和费利克斯·豪斯多夫。他还受益于能够使用计算机，这不仅使他能以新的方式——一种此前肯定从未有过的方式——在他人工作的基础上继续发展，而且能使用他偏好的解决问题的方法——即可视化。此外，他的发明也为纯数学研究的重要性提供了一个例证：在曼德尔布罗出现并统一了费利克斯·豪斯多夫、茹利亚等人的杂糅思想之前，它们代表着来自（纯）数学不同分支的非常抽象的数学思想。集合论中几乎没有什么能让普通生物学家感兴趣。然而，通过分形几何，许多这些看似抽象的思想（来自在其自身研究领域之外相对不知名的数学家）发展出了其他科学家甚至非科学家都能欣赏的应用。因此，最终导致分形及其应用的工作，是对任何胆敢诋毁纯数学研究之人的论点的绝佳反例。