数学史专题
数学与物理世界之间的关系是什么？例如，考虑艾萨克·牛顿的运动定律。如果我们从这些定律推导出关于力学的结论，我们是在发现物理世界的性质，还是仅仅在证明一个抽象数学系统中的结果？一个数学模型，无论多么好，是只能预测物理世界的行为，还是能让我们洞察那个世界的本质？相信世界通过简单的数学关系运行，是告诉我们关于世界的某些东西，还是仅仅告诉我们关于人类思维方式的东西？在本文中，我们探讨一点科学哲学的历史，以便审视对我们刚刚考虑的那类问题的不同观点。
从历史上看，考察数学与物理世界之间关系的最自然的起点是通过毕达哥拉斯的观点。毕达哥拉斯的观点只能通过毕达哥拉斯学派的观点来了解，因为毕达哥拉斯本人没有留下关于其观点的书面记录。然而，必须假定起源于毕达哥拉斯的观点极具影响力，并且仍然是当今科学的基础。在这里，我们第一次看到物理世界可以通过数学来理解的信念。音乐，也许奇怪的是，是毕达哥拉斯学派的动机因素，因为他们意识到音乐和声与简单的比率有关。此外，同样的简单比率适用于振动的弦和振动的空气柱。发现这一适用于许多明显不同情况的普遍数学原理被认为具有重大意义。毕达哥拉斯学派随后在宇宙中普遍寻找类似的数学和谐，特别是天体的运动。他们相信地球是一个球体，几乎可以肯定基于这样的信念：球体是最完美的立体，所以地球必须是一个球体。日食期间地球投在月球上的阴影为这一信念增添了实验证据。
柏拉图遵循了毕达哥拉斯的这些一般原则，并寻求基于数学来理解宇宙。他特别将火、土、气、水与天体物质这五种元素与五种正多面体——四面体、立方体、八面体、二十面体和十二面体——对应起来。一方面，柏拉图的想法几乎没有价值：当然，柏拉图的元素并不是物质的构建块，而且无论如何，他将这些元素与正多面体对应起来几乎没有科学依据。另一方面，至少他是在寻求用数学性质来解释物理世界。
另一位遵循毕达哥拉斯一般方法的人是欧多克索斯。他提出了一个非凡的模型来解释天体的运动。这是一项非凡的数学成就，基于27个旋转球体，其设置方式使得火星、木星和土星的逆行运动得以建模。这里我们有了对天体运动进行建模的第一次重大尝试，但远不清楚欧多克索斯是否将他的数学模型视为物理实体。例如，他没有试图描述球体的物质，也没有描述它们的相互连接方式。因此，他似乎将他的模型视为纯粹的几何模型，但该模型的困难在于它不允许以合理的精度预测位置。尽管该模型无法通过最简单的观测检验，亚里士多德还是接受了欧多克索斯的水晶球体为现实。
亚里士多德提出了一种科学方法，在多个世纪中极具影响力。他的方法，从广义上讲，包括对现象进行观察，使用归纳论证推导出能够解释观察结果的一般原则，然后通过逻辑论证从一般原则推导出关于现象的事实。他认为这将从对事实的观察引向对该事实的解释。尽管亚里士多德看到了数值和几何关系在物理科学中的重要性，但他明确区分了科学与纯数学，他将后者视为一门抽象学科。
一种方法是建立公理，即一系列自明真理，并从中推导出远不那么明显的结果。欧几里得以这种方式建立了几何学，但就物理科学而言，这有一些有趣的方面。一方面，欧几里得没有完全实现他的目标，因为他确实使用了超出其公理系统的证明方法。换句话说，他在没有意识到的情况下援引了进一步的公理。就物理科学而言，更令人担忧的是，欧几里得几何学的对象不可能具有物理存在。欧几里得所定义的点与线不可能是物理对象。当公理的对象没有物理存在时，公理如何能被视作自明真理？阿基米德也建立了公理来推导杠杆的性质。在这方面他非常成功，因为他能够通过所获得的理解创造出奇妙的机器。然而，他的公理再次涉及具有现实世界对象所不具备的性质的对象；零重量的杆，完全刚性的杠杆。因此，从公理推导出的理论结果永远不会完全符合实验证据，但阿基米德从未讨论过这些点。
阿基米德 无疑发展出了一个极好的数学模型，但从未讨论其在描述物理情境时的局限性。同样，欧多克索斯 和 亚里士多德 尽管以不同方式看待水晶球模型的物理实在，都没有明确区分数学模型与实在。第一个深入思考这一特定问题的人似乎是 杰米纽斯。他明确指出，对天体运动建模有两种不同的进路：物理学家的进路，即试图通过物体自身的性质来解释运动；以及天文学家或数学家的进路，后者说：-
……天文学家的职责并不在于知道什么事物天生适合静止的位置，什么类型的物体倾向于运动，而是引入一些假设，在这些假设下某些物体保持固定，而另一些物体运动，然后考虑实际在天上观测到的现象将与哪些假设相对应。
这种方法被称为“拯救现象”，即提出与观测相对应的数学关系，而不试图为这些关系提供物理解释。古代最著名的为“拯救现象”而提出的天体模型是克劳狄乌斯·托勒密的模型。他的模型是本轮-均轮模型，其中天体的运动是圆周运动，但基于若干其中心沿圆周运动的圆。克劳狄乌斯·托勒密非常明确地指出，他的模型并非意在代表物理实在，而只是一个能代表所观测现象的数学模型。他还明确指出，其他数学模型是等价的，并将导致相同的观测现象。
当尼古拉·哥白尼提出他的日心体系时，数学模型是否代表现实这一问题变得极为重要。基督教会对数学模型并无异议，并且很乐意允许发表基于日心模型以“拯救现象”的模型。然而，宣称哥白尼体系不仅仅是一个数学模型、而且确实代表现实，则完全是另一回事。例如，克里斯托佛·克拉乌乐于接受哥白尼模型作为一个数学模型，但他宣称尼古拉·哥白尼通过使用物理上错误的公理拯救了现象。然而，尼古拉·哥白尼坚持认为他的日心体系更为优越，因为它解释了行星的逆行运动，而克劳狄乌斯·托勒密的模型则是为了产生观测到的效果而设计的。
哥白尼体系真实性的最坚定支持者是伽利略。他坚信起源于毕达哥拉斯学派的数学化科学方法。对伽利略来说，哥白尼体系数学的简洁性相对于克劳狄乌斯·托勒密体系复杂数学的简洁性，是哥白尼假说真实性的有力证明。但此处令我们感兴趣的不仅是伽利略对哥白尼体系的信仰，因为他在理解数学模型的性质方面取得了非常重大的进展。他强调，理解物理学的一个重要方面是抽象和理想化。他无法进行实验来检验在真空中下落的物体，也无法用由无重量细绳支撑的点质量、在无空气阻力下摆动的摆来做实验。然而，巧妙的实验可以引导科学家走向理想化的情境。用理想化的抽象数学模型进行研究，能够预测出在现实中近似成立的结果，并可以得到近似的证实。这里体现的是对许多世纪以前阿基米德提出的杠杆理想化理论与真实杠杆之间关系的完整理解。这是一项非凡的成就，但当伽利略被误导时，往往是因为他没有通过实验来证实一个吸引人的数学理论。
像伽利略一样，约翰内斯·开普勒相信哥白尼体系。他认为太阳有一种驱动力，推动行星沿轨道运行。这种力随离太阳的距离而减弱，因此外行星运动得更慢。现在约翰内斯·开普勒可以声称哥白尼体系是真实的，因为它为行星运动提供了解释，而克劳狄乌斯·托勒密的体系则不能。在ApologiaⓉ（《辩护》）中，写于1600年但未出版，约翰内斯·开普勒论证说，“拯救现象”的精确性无法区分哪种数学理论可能符合实在。符合实在的理论将为现象提供物理解释。正是相信简单的数学关系必定具有物理意义，引导约翰内斯·开普勒发现了他的行星运动第三定律。他尝试了各种代数公式，试图把行星绕太阳的速度与其离太阳的距离联系起来，最后才偶然发现：
两颗行星周期的平方之比正比于其轨道半径的立方之比。
同样的方法也使他陷入错误。对于每颗行星，他计算了，其中是其距太阳的距离。他得到的数值大约等于铁、银、铅等材料的密度。约翰内斯·开普勒相信这一数学发现必定具有某种物理意义——当然，它没有任何物理意义。
另一个被认为具有物理意义的数学关系的例子是波得定律。它取序列
4, 4+3, 4+6, 4+12, 4+24, 4+48, 4+96, 4+192, ...
除以10得到
0.4, 0.7, 1.0, 1.6, 2.8, 5.2, 10.0, 19.6, ...
现在水星、金星、地球、火星、木星、土星到太阳的距离（取地球距离为1）是
0.39, 0.72, 1.0, 1.52, -, 5.2, 9.5
当谷神星和其他小行星在距离2.8处被发现时，人们坚信下一颗行星会在距离19.6处。当天王星在距离19.2处被发现时，几乎有人认为波得定则已被实验证实。然而，接下来的行星完全不符合该定则，尽管今天仍有少数科学家认为波得定则必定不只是数学巧合，而是有物理原因造成的。
[根据这一理论，自太阳系形成以来，外行星曾受到扰动，而且确实有独立证据表明发生过这种情况。]
我们要考察的下一个公理系统是由艾萨克·牛顿给出的。他采取的方法是（见Principia):-
……从现象中推断出特殊命题，然后通过归纳使之成为一般命题。因此，物体的不可入性、可动性、冲力，以及运动定律和引力定律，就是这样被发现的。
他建立了一个由坚硬粒子组成的公理系统，这些粒子处于静止或运动状态，遵循关于运动和力的三条简单定律，以及一条万有引力定律。艾萨克·牛顿谨慎地区分了他认为已经验证的定律与定律存在的深层原因。例如，他相信他已经证明了他的引力定律，但他明确表示，他没有提出任何解释来说明两个物体在真空中为何或如何相互吸引。人们可以说艾萨克·牛顿又是在“拯救现象”，即提出一个世界的数学模型而不作任何物理解释。然而，他确实非常清楚地说明了从公理证明的数学动力学结果与在现实世界中所做实验结果之间的关系。
正如我们已经指出的，艾萨克·牛顿的系统存在问题，尽管它似乎将整个自然归结为简单数学定律的结果。也许最重要的是，他的理论需要一个绝对空间和时间的假设。他对此非常清楚，并提出了他的旋转桶实验，试图证明绝对空间确实存在。但这里有一个弱点，即他引入了一个独立于宇宙物质的空间概念。空间是一个独立的概念，还是仅仅是物质对象之间的关系？乔治·伯克利批评了艾萨克·牛顿的绝对空间，他问在一个没有物质的世界里，空间关系如何能有意义。乔治·伯克利说，如果宇宙中只有一个粒子，那么说它处于静止有什么意义，或者就此而言，说它在加速可能意味着什么。
尽管艾萨克·牛顿明确区分了数学理论和物理实在，乔治·伯克利认为他陷入了自己的陷阱，因为他把力说成是物理实体，而乔治·伯克利认为力不过是艾萨克·牛顿所建立的方程中的项。事实上，乔治·伯克利一般反对抽象观念，因为在他看来，这些观念导致人们错误地相信力、绝对空间、绝对时间和绝对运动等概念是实在的。乔治·伯克利认为，任何观念都不能不被感知而存在，除了被感知的事物之外，没有任何东西存在。
儒勒·昂利·庞加莱对现实世界的数学模型提出了重要观点。如果为了模拟一个物理情境，一组公理比另一组更受青睐，那么儒勒·昂利·庞加莱声称，这不过是一种约定。简单性、易用性以及在未来研究中的有用性等条件，有助于决定哪一种会成为约定，而询问哪一种正确则是无意义的。物理空间是否是欧几里得空间，这个问题本身就不是一个有意义的提问。他论证说，数学理论与物理情境之间的区别在于，数学是人类心智的构造，而自然独立于人类心智。问题就在这里；将数学模型与实在相拟合，就是把人类心智的构造强加于最终独立于心智的自然之上。
由 J J O'Connor 和 E F Robertson 撰写
最后更新于 2003 年 12 月