环论的发展The development of Ring Theory

莱昂哈德·欧拉对情形$n = 3$的研究涉及将普通整数算术推广到形如$a + b√-3$的数环上，其中$a, b$是整数。然而，莱昂哈德·欧拉未能把握在这个环中工作的困难，并做出了一些断言，这些断言虽然正确，却难以证明。

1847年，加布里尔·拉梅宣布他解决了皮埃尔·德·费马大定理，并勾勒出一个证明。约瑟夫·刘维尔指出该证明依赖于一种不太可能成立的唯一素因子分解。然而，奥古斯丁·路易·柯西支持加布里尔·拉梅。随后的争论表明，这一时期的数学研究所处的氛围与今天我们所知的完全不同。或许我们可以通过引发这场争论的要点来说明这一点。形如$a + b√-3$的复数，其中$a, b$是整数，构成一个环。这个环中的素数的定义与素数整数类似，即一个数，其形如$a + b√-3$的除数中除自身外只有那些具有乘法逆元的数。在这个环中，4可以以两种不同的方式写成素数的乘积

4 = 2×2 以及 4 = (1 + √-3)×(1 -√-3)。

卡尔·弗里德里希·高斯在1801年前后证明了形如$a + b√-1$的数，其中$a, b$为整数，可以唯一地写成形如$a + b√-1$的素数的乘积，这与整数唯一分解为素数乘积的方式类似。事实上，形如$a + b\omega +c\omega^{2}$的数，其中$a, b, c$为整数且ω为1的一个复立方根，也具有唯一分解性质，这可以用来证明费马大定理的$n = 3$情形。

加布里尔·拉梅宣布后的争论由恩斯特·爱德华·库默尔解决，他指出他在1844年发表了一个例子，表明这种分解的唯一性失败了，并在1846年通过引入“理想复数”恢复了唯一性。然后他看到了他的理论与费马的最后定理的相关性。关于恩斯特·爱德华·库默尔发明“理想复数”以试图纠正费马的最后定理证明中的错误的流行故事几乎肯定是假的；见Edwards [1]。1847年，就在加布里尔·拉梅宣布之后，恩斯特·爱德华·库默尔使用他的“理想复数”证明了费马的最后定理对于所有$n < 100$，除了$n$ = 37, 59, 67和74。

到目前为止，我们仍然牢牢地处于数论的领域内，但理查德·戴德金的天才指出了“理想复数”的重要性质。理查德·戴德金定义了一个“理想”，以其现在熟悉的性质来刻画它：即作为一个子环，其元素乘以任何环元素后仍留在该子环中。环理论本身诞生了，同时伴随着20世纪主导代数的公理方法的早期暗示。理查德·戴德金还在1871年引入了“模”这个词（早期拼写：“modul”），尽管其最初的定义比现在的定义要受限得多，最初是作为环的加法群的一个子群引入的；这个术语现在用于“系数来自环的向量空间”。

素数在1871年被理查德·戴德金推广为素理想。一个prime ideal是这样的理想：只有当它包含两个元素的乘积时，它才包含这两个元素之一。例如，所有能被一个固定素数$p$整除的整数构成整数环的一个素理想。这种从关注元素转向关注理想的趋势标志着该理论发展的一个重要阶段。

1882年，理查德·戴德金和海因里希·马丁·韦伯的一篇重要论文完成了两件事：它将几何思想与多项式环联系起来，并扩展了模的使用。重要的是要认识到，在这个阶段，人们研究的是多项式环和数环，但还要再过40年，才会发展出交换环的公理化理论，将这些理论统一起来。

虽然环的概念归功于理查德·戴德金，但最早使用的词之一是“order”或“order-modul”。这个由利奥波德·克罗内克发明的术语，至今仍在代数数论中使用。理查德·戴德金确实引入了“域”（Körper）这个术语，用来指每个非零元素都有乘法逆元的交换环，但“数环”（Zahlring）或“环”这个词则归功于大卫·希尔伯特。大卫·希尔伯特受不变量理论研究的启发，研究了多项式环中的理想，并于1893年证明了他著名的“基定理”。该定理的特殊情形已由保罗·哥尔丹从1868年起研究过，据说保罗·哥尔丹在看到大卫·希尔伯特的证明后惊呼：“这不是数学，这是神学。”

将一个整数分解为素数幂的乘积，在环中有一个类似物，其中素整数被素理想取代，但相当令人惊讶的是，素整数幂不是被素理想幂取代，而是被“准素理想”取代。准素理想由伊曼纽·拉斯克于1905年在多项式环的背景下引入。（伊曼纽·拉斯克是1894年至1921年的世界国际象棋冠军。）伊曼纽·拉斯克证明了理想分解为准素理想的存在性，但分解的唯一性性质直到1915年才由Macaulay证明。

I D Macdonald在他的文章[2]中指出，诸如海因里希·马丁·韦伯[4]在1895年的代数教科书包含的群公理与许多现代教科书类似。然而，海因里希·马丁·韦伯没有给出环的公理，交换环的公理化处理直到1920年代才在埃米·诺特和沃尔夫冈·克鲁尔的工作中发展起来。埃米·诺特，世界上最伟大的女数学家之一，是保罗·哥尔丹的学生。大约在1921年，她迈出了重要的一步，即我们之前评论过的，将多项式环和数环这两种理论统一到抽象交换环的单一理论之下。歧视使她难以发表自己的工作，直到巴特尔·伦德特·范德瓦尔登关于Modern Algebra[3]的重要工作于1930年发表后，埃米·诺特的结果才广为人知。

与交换环理论（如我们所见，它从数论发展而来）形成对比，非交换环理论源于一个在其发现之时被誉为基础数学重大进展的思想。威廉·哈密顿试图将复数作为实数上的二维代数推广到三维代数。威廉·哈密顿，他引入了向量空间的概念，觉得这个复数的三维类似物将彻底改变应用数学，但他为此苦苦挣扎多年却未成功。1843年，灵感击中了威廉·哈密顿——推广不是到三维，而是到四维，并且乘法的交换性质不再成立。四元数代数，正如Hamilton称这个四维代数的那样，在应用数学中被广泛使用（后来被向量积取代），它开启了非交换环理论。

矩阵及其加法和乘法法则由阿瑟·凯莱于1850年引入，而1870年，本杰明·皮尔斯注意到如今熟悉的环公理对方阵成立——这是环的公理化方法的另一个早期例子。非交换环理论的最伟大早期贡献者是苏格兰数学家约瑟夫·韦德伯恩。1905年，他证明了每个有限除环（每个非零元素都有乘法逆元的环）都是交换的，因此是一个域。1908年，约瑟夫·韦德伯恩有了一个重要的想法，将环的研究分成两部分，一部分他称为根，剩下的部分称为半单。他用矩阵环对半单部分进行分类。这项工作的重要性可以从接下来的56年都花在推广它上看出。我们应该指出，约瑟夫·韦德伯恩并没有为环证明他的结果，而是为超复系统——一个不再使用的术语，意思是一个域上的有限维代数。

约瑟夫·韦德伯恩理论由埃米尔·阿廷于1927年推广到满足升和降有限性条件（称为链条件）的非交换环。直到1939年，威廉·霍普金斯才表明只有降链条件是必要的。

大约在1930年代，交换环和非交换环的理论走到了一起，一个的想法开始影响另一个。例如，交换环和非交换环中的链条件几乎同时被研究。模，最初是为交换环引入的，被推广到一般环上研究。然而，有些想法从一个理论渗透到另一个理论很慢，例如，非交换环的素理想直到1949年才由McCoy研究。

在1940年代，人们尝试为没有链条件的环证明约瑟夫·韦德伯恩-埃米尔·阿廷类型的结果。这里的突破是由内森·雅各布森于1945年做出的，他是约瑟夫·韦德伯恩的学生，使用了Perlis在1942年的想法。有趣的是，内森·雅各布森的这一基础性工作依赖于环的“内森·雅各布森根”的想法，这是群论中一个想法的类比，最早由Frattini在1885年提出。