约翰·佩尔 的方程是否命名恰当。我们的意思很简单：约翰·佩尔 是否对约翰·佩尔 的方程的研究有所贡献？毫无疑问，在约翰·佩尔 出生之前，这个方程已经被深入研究了几百年。事实上，婆罗摩笈多 的第一个贡献大约在约翰·佩尔 时代之前1000年左右，我们的历史研究就从婆罗摩笈多 的贡献开始。
约翰·佩尔 的方程是什么。我们讨论的是不定二次方程
n x 2 + 1 = y 2 nx^{2} + 1 = y^{2} n x 2 + 1 = y 2
我们也可以将其写作
y 2 − n x 2 = 1 y^{2} - nx^{2} = 1 y 2 − n x 2 = 1
其中n n n ( x , y ) (x, y) ( x , y )
婆罗摩笈多 是第一个研究这个方程的人，但同样可以看到更早的作者已经研究了与约翰·佩尔 的方程相关的问题。简要提及一些：丢番图 研究了与约翰·佩尔 的方程相关的问题，我们可以将阿基米德 的“牛群问题”归结为求解约翰·佩尔 的方程，尽管没有证据表明阿基米德 做出了这种联系。
首先让我们注意到
( b 2 − n a 2 ) ( d 2 − n c 2 ) = ( b d + n a c ) 2 − n ( b c + a d ) 2 (b^{2} - na^{2})(d^{2} - nc^{2}) = (bd + nac)^{2} - n(bc + ad)^{2} ( b 2 − n a 2 ) ( d 2 − n c 2 ) = ( b d + n a c ) 2 − n ( b c + a d ) 2
和
( b 2 − n a 2 ) ( d 2 − n c 2 ) = ( b d − n a c ) 2 − n ( b c − a d ) 2 (b^{2} - na^{2})(d^{2} - nc^{2}) = (bd - nac)^{2} - n(bc - ad)^{2} ( b 2 − n a 2 ) ( d 2 − n c 2 ) = ( b d − n a c ) 2 − n ( b c − a d ) 2
由此我们看到，如果
b 2 − n a 2 = 1 b^{2} - na^{2} = 1 b 2 − n a 2 = 1 d 2 − n c 2 = 1 d^{2} - nc^{2} = 1 d 2 − n c 2 = 1
然后
( b d + n a c ) 2 − n ( b c + a d ) 2 = 1 (bd + nac)^{2} - n(bc + ad)^{2} = 1 ( b d + n a c ) 2 − n ( b c + a d ) 2 = 1
和
( b d − n a c ) 2 − n ( b c − a d ) 2 = 1 (bd - nac)^{2} - n(bc - ad)^{2} = 1 ( b d − n a c ) 2 − n ( b c − a d ) 2 = 1
( a , b ) (a, b) ( a , b ) ( c , d ) (c, d) ( c , d ) 约翰·佩尔 方程的解，那么以下也是
( b c + a d , b d + n a c ) (bc + ad, bd + nac) ( b c + a d , b d + n a c ) ( b c − a d , b d − n a c ) (bc - ad, bd - nac) ( b c − a d , b d − n a c )
婆罗摩笈多 引理，即如果( a , b (a, b ( a , b ( c , d ) (c, d) ( c , d ) 约翰·佩尔 型方程’的整数解
n a 2 + k = b 2 na^{2} + k = b^{2} n a 2 + k = b 2 n c 2 + k ′ = d 2 nc^{2} + k' = d^{2} n c 2 + k ′ = d 2
然后
( b c + a d , b d + n a c ) (bc + ad, bd + nac) ( b c + a d , b d + n a c ) ( b c − a d , b d − n a c ) (bc - ad, bd - nac) ( b c − a d , b d − n a c )
约翰·佩尔 型方程’的整数解
n x 2 + k k ′ = y 2 nx^{2} + kk' = y^{2} n x 2 + k k ′ = y 2
婆罗摩笈多 引理是由婆罗摩笈多 在公元628年发现的。这种方法被印度数学家称为samasa ，但我们将称之为‘复合方法’。事实上，这种复合方法使婆罗摩笈多 能够关于约翰·佩尔 方程做出若干根本性的发现。
( a , b ) (a, b) ( a , b ) 约翰·佩尔 的方程，那么( 2 a b , b 2 + n a 2 ) (2ab, b^{2} + na^{2}) ( 2 a b , b 2 + n a 2 ) ( a , b ) (a, b) ( a , b ) ( a , b ) (a, b) ( a , b ) ( a , b ) (a, b) ( a , b ) ( 2 a b , b 2 + n a 2 ) (2ab, b^{2}+ na^{2}) ( 2 a b , b 2 + n a 2 ) 婆罗摩笈多 立即看到，从约翰·佩尔 的方程的一个解，他可以生成许多解。
婆罗摩笈多 使用复合方法的唯一方式。他还注意到，使用与我们刚刚给出的论证类似的论证，如果x = a , y = b x = a, y = b x = a , y = b n x 2 + k = y 2 nx^{2} + k = y^{2} n x 2 + k = y 2 ( a , b ) (a, b) ( a , b ) ( a , b ) (a, b) ( a , b ) ( 2 a b , b 2 + n a 2 ) (2ab, b^{2} + na^{2}) ( 2 a b , b 2 + n a 2 ) n x 2 + k 2 = y 2 nx^{2} + k^{2} = y^{2} n x 2 + k 2 = y 2 k 2 k^{2} k 2
x = 1 k 2 a b , y = 1 k ( b 2 + n a 2 ) x = \large\frac{1}{k}\normalsize 2ab , y = \large\frac{1}{k}\normalsize (b^{2} + na^{2}) x = k 1 2 a b , y = k 1 ( b 2 + n a 2 )
约翰·佩尔 的方程n x 2 + 1 = y 2 nx^{2} + 1 = y^{2} n x 2 + 1 = y 2
这有什么帮助呢？x x x y y y k = 2 k = 2 k = 2 ( a , b ) (a, b) ( a , b ) n x 2 + k = y 2 nx^{2} + k = y^{2} n x 2 + k = y 2 n a 2 = b 2 − 2 na^{2} = b^{2} - 2 n a 2 = b 2 − 2
x = 1 k 2 a b = a b x = \large\frac{1}{k}\normalsize 2ab = ab x = k 1 2 a b = a b
y = 1 2 ( b 2 + n a 2 ) = 1 2 ( 2 b 2 − 2 ) = b 2 − 1 y = \large\frac{1}{2}\normalsize (b^{2} + na^{2}) = \large\frac{1}{2}\normalsize (2b^{2} - 2) = b^{2} - 1 y = 2 1 ( b 2 + n a 2 ) = 2 1 ( 2 b 2 − 2 ) = b 2 − 1
约翰·佩尔 的方程的一个整数解。如果k = − 2 k = -2 k = − 2 k = 4 k = 4 k = 4 k = − 4 k = -4 k = − 4 约翰·佩尔 的方程的整数解。所以婆罗摩笈多 能够表明，如果他能找到( a , b ) (a, b) ( a , b ) 约翰·佩尔 的方程，即n a 2 + k = b 2 na^{2} + k = b^{2} n a 2 + k = b 2 k k k 约翰·佩尔 的方程的一个整数解，从而找到许多个。他常常能找到对这些k k k
23 x 2 + 1 = y 2 23x^{2} + 1 = y^{2} 2 3 x 2 + 1 = y 2 a = 1 , b = 5 a = 1, b = 5 a = 1 , b = 5 23 a 2 + 2 = b 2 23a^{2} + 2 = b^{2} 2 3 a 2 + 2 = b 2 x = 5 , y = 24 x = 5, y = 24 x = 5 , y = 2 4 约翰·佩尔 的方程。对(5, 24)这一对应用复合方法得到
x = 2 × 5 × 24 = 240 , y = 2 4 2 + 23 × 5 2 = 1151 x = 2\times 5\times 24 = 240, y = 24^{2} + 23\times 5^{2} = 1151 x = 2 × 5 × 2 4 = 2 4 0 , y = 2 4 2 + 2 3 × 5 2 = 1 1 5 1
作为另一个解。再次应用复合方法得到
x = 11515 , y = 55224 x = 11515, y = 55224 x = 1 1 5 1 5 , y = 5 5 2 2 4
再应用一次得到
x = 552480 , y = 2649601 x = 552480, y = 2649601 x = 5 5 2 4 8 0 , y = 2 6 4 9 6 0 1
等等。
婆罗摩笈多 自己给出的例子中，有一个是约翰·佩尔 方程的解法
83 x 2 + 1 = y 2 83x^{2} + 1 = y^{2} 8 3 x 2 + 1 = y 2
他注意到数对(1, 9)满足
83 × 1 2 − 2 = 9 2 83\times 1^{2} - 2 = 9^{2} 8 3 × 1 2 − 2 = 9 2
并运用他的方法求出解
x = 9 , y = 82 x = 9, y = 82 x = 9 , y = 8 2
我们现在可以生成一个解序列( x , y ) (x,y) ( x , y )
(9, 82),
等等。
婆罗摩笈多 在公元628年做出的这项杰出工作。
婆什迦罗第二 在1150年取得。他发现了循环法，印度人称之为chakravala ，这是一种算法，从任意“接近”的配对( a , b ) (a, b) ( a , b ) n a 2 + k = b 2 na^{2} + k = b^{2} n a 2 + k = b 2 约翰·佩尔 方程n x 2 + 1 = y 2 nx^{2} + 1 = y^{2} n x 2 + 1 = y 2 a a a b b b k k k a , k a, k a , k
m , ( 1 , m ) m, (1, m) m , ( 1 , m ) 约翰·佩尔 型方程”
n × 1 2 + ( m 2 − n ) = m 2 n\times 1^{2} + (m^{2} - n) = m^{2} n × 1 2 + ( m 2 − n ) = m 2
婆什迦罗第二 现在把合成方法应用于数对( a , b ) (a, b) ( a , b ) ( 1 , m ) (1, m) ( 1 , m )
n ( a m + b ) 2 + ( m 2 − n ) k = ( b m + n a ) 2 n(am + b)^{2} + (m^{2} - n)k = (bm + na)^{2} n ( a m + b ) 2 + ( m 2 − n ) k = ( b m + n a ) 2
除以k 2 k^{2} k 2
x = 1 k ( a m + b ) , y = 1 k ( b m + n a ) x = \large\frac{1}{k}\normalsize (am+b), y = \large\frac{1}{k}\normalsize (bm+na) x = k 1 ( a m + b ) , y = k 1 ( b m + n a )
是以下方程的解
n x 2 + 1 k ( m 2 − n ) = y 2 nx^{2} + \large\frac{1}{k}\normalsize (m^{2} - n) = y^{2} n x 2 + k 1 ( m 2 − n ) = y 2
a , k a, k a , k m m m a m + b am + b a m + b k k k 婆什迦罗第二 现在知道（但他没有给出证明），当选取m m m a m + b am + b a m + b k k k m 2 − n m^{2} - n m 2 − n b m + n a bm + na b m + n a k k k m m m
x = 1 k ( a m + b ) , y = 1 k ( b m + n a ) x = \large\frac{1}{k}\normalsize (am+b) , y = \large\frac{1}{k}\normalsize (bm+na) x = k 1 ( a m + b ) , y = k 1 ( b m + n a )
约翰·佩尔 型方程”n x 2 + 1 k ( m 2 − n ) = y 2 nx^{2} + \large\frac{1}{k}\normalsize (m^{2} - n) = y^{2} n x 2 + k 1 ( m 2 − n ) = y 2 1 k ( m 2 − n ) \large\frac{1}{k}\normalsize (m^{2} - n) k 1 ( m 2 − n )
婆什迦罗第二 知道存在无穷多个m m m a m + b am + b a m + b k k k m 2 − n m^{2} - n m 2 − n 1 k ( m 2 − n ) \large\frac{1}{k}\normalsize (m^{2} - n) k 1 ( m 2 − n ) 婆罗摩笈多 的方法来找到约翰·佩尔 方程n x 2 + 1 = y 2 nx^{2} + 1 = y^{2} n x 2 + 1 = y 2 1 k ( m 2 − n ) \large\frac{1}{k}\normalsize (m^{2} - n) k 1 ( m 2 − n ) 约翰·佩尔 型方程’n x 2 + 1 k ( m 2 − n ) = y 2 nx^{2} + \large\frac{1}{k}\normalsize (m^{2} - n) = y^{2} n x 2 + k 1 ( m 2 − n ) = y 2 x = 1 k ( a m + b ) , y = 1 k ( b m + n a ) x = \large\frac{1}{k}\normalsize (am+b) , y = \large\frac{1}{k}\normalsize (bm + na) x = k 1 ( a m + b ) , y = k 1 ( b m + n a ) n a 2 + k = b 2 na^{2} + k = b^{2} n a 2 + k = b 2 婆什迦罗第二 知道（几乎肯定是通过经验而非通过证明）该过程将在有限步数后结束。当达到形式为n x 2 + t = y 2 nx^{2} + t = y^{2} n x 2 + t = y 2 t t t
婆什迦罗第二 在Bijaganita 中给出了例子，我们首先看的是
61 x 2 + 1 = y 2 61x^{2} + 1 = y^{2} 6 1 x 2 + 1 = y 2
他用上述方法选择m m m ( m + 8 ) / 3 (m + 8)/3 ( m + 8 ) / 3 m 2 − 61 m^{2} - 61 m 2 − 6 1 m = 7 m = 7 m = 7
x = 5 , y = 39 x = 5, y = 39 x = 5 , y = 3 9
约翰·佩尔 型方程”n x 2 − 4 = y 2 nx^{2} - 4 = y^{2} n x 2 − 4 = y 2 婆罗摩笈多 的方法能求解的方程，给出
x = 226153980 , y = 1766319049 x = 226153980, y = 1766319049 x = 2 2 6 1 5 3 9 8 0 , y = 1 7 6 6 3 1 9 0 4 9
作为61 x 2 + 1 = y 2 61x^{2} + 1 = y^{2} 6 1 x 2 + 1 = y 2
婆什迦罗第二 没有该方法的证明？嗯，至少有两个原因。首先，证明冗长且困难，似乎远远超出了12世纪的数学水平。其次，该算法总是在有限步数后达到约翰·佩尔 方程的一个解，而不会在达到类型为n x 2 + k = y 2 nx^{2} + k = y^{2} n x 2 + k = y 2 k k k 婆罗摩笈多 的方法。如果对该算法的经验仅来自例子，那么当知道在达到k k k 婆罗摩笈多 的方法。然而，当写下证明时，应该清楚该算法切换到婆罗摩笈多 的方法从来不是必要的（尽管可以更快地达到解）。
约翰·佩尔 方程的下一个贡献是由娜里亚纳的牛只 做出的，他在14世纪写了一部对婆什迦罗第二 的Bijaganita. 的评注。娜里亚纳的牛只 给出了一些循环法的新例子。以下是他的两个例子：
103 x 2 + 1 = y 2 103x^{2} + 1 = y^{2} 1 0 3 x 2 + 1 = y 2
a = 1 , b = 10 a = 1, b = 10 a = 1 , b = 1 0 娜里亚纳的牛只 得到
103 × 1 2 − 3 = 1 0 2 103 \times 1^{2} - 3 = 10^{2} 1 0 3 × 1 2 − 3 = 1 0 2
选择m m m m + 10 m + 10 m + 1 0 m 2 − 103 m^{2} - 103 m 2 − 1 0 3 m = 11 m = 11 m = 1 1
103 × 7 2 − 6 = 7 1 2 103 \times 7^{2} - 6 = 71^{2} 1 0 3 × 7 2 − 6 = 7 1 2
接下来我们必须选择m m m 7 m + 71 7m + 71 7 m + 7 1 m 2 − 103 m^{2} - 103 m 2 − 1 0 3 m = 7 m = 7 m = 7
103 × 2 0 2 + 9 = 20 3 2 103 \times 20^{2} + 9 = 203^{2} 1 0 3 × 2 0 2 + 9 = 2 0 3 2
继续，选择m m m 20 m + 203 20m+203 2 0 m + 2 0 3 m 2 − 103 m^{2} - 103 m 2 − 1 0 3 m = 11 m = 11 m = 1 1
103 × 4 7 2 + 2 = 47 7 2 103 \times 47^{2} + 2 = 477^{2} 1 0 3 × 4 7 2 + 2 = 4 7 7 2
娜里亚纳的牛只 应用婆罗摩笈多 的方法，采用我们上面针对k = 2 k = 2 k = 2
x = 22419 , y = 227528 x = 22419, y = 227528 x = 2 2 4 1 9 , y = 2 2 7 5 2 8
约翰·佩尔 的方程的一个解
97 x 2 + 1 = y 2 97x^{2} + 1 = y^{2} 9 7 x 2 + 1 = y 2
通过应用循环方法，这依次导致方程
97 × 1 2 + 3 = 1 0 2 97\times 1^{2} + 3 = 10^{2} 9 7 × 1 2 + 3 = 1 0 2
97 × 7 2 + 8 = 6 9 2 97\times 7^{2} + 8 = 69^{2} 9 7 × 7 2 + 8 = 6 9 2
97 × 2 0 2 + 9 = 19 7 2 97\times 20^{2} + 9 = 197^{2} 9 7 × 2 0 2 + 9 = 1 9 7 2
97 × 5 3 2 + 11 = 52 2 2 97\times 53^{2} + 11 = 522^{2} 9 7 × 5 3 2 + 1 1 = 5 2 2 2
97 × 8 6 2 − 3 = 84 7 2 97\times 86^{2} - 3 = 847^{2} 9 7 × 8 6 2 − 3 = 8 4 7 2
97 × 56 9 2 − 1 = 560 4 2 97\times 569^{2} - 1 = 5604^{2} 9 7 × 5 6 9 2 − 1 = 5 6 0 4 2
娜里亚纳的牛只 将婆罗摩笈多 的方法应用于最后一个方程以得到解
x = 6377352 , y = 62809633 x = 6377352, y = 62809633 x = 6 3 7 7 3 5 2 , y = 6 2 8 0 9 6 3 3
婆罗摩笈多 、婆什迦罗第二 和娜里亚纳的牛只 的卓越思想在17世纪对欧洲数学家来说完全未知。欧洲的兴趣始于1657年，当时皮埃尔·德·费马 向欧洲和英格兰的数学家发出挑战。皮埃尔·德·费马 写道：
我们等待这些解答，如果英格兰、比利时或凯尔特高卢不能给出，那么纳博讷高卢将会给出。
皮埃尔·德·费马 居住的图卢兹周边地区！皮埃尔·德·费马 的挑战问题之一就是约翰·佩尔方程的同一个例子，该方程在500年前已被婆什迦罗第二 研究过，即寻找以下方程的解
61 x 2 + 1 = y 2 61x^{2} + 1 = y^{2} 6 1 x 2 + 1 = y 2
皮埃尔·德·费马 的挑战，特别是福兰尼可 、威廉·布朗克 和约翰·沃利斯 。随后在1657-58年间这些数学家之间进行了通信，约翰·沃利斯 于1658年在Commercium epistolicum 中发表。威廉·布朗克 发现了一种解法，其本质上与连分数 的方法相同，后者后来由约瑟夫·拉格朗日 严格发展。福兰尼可 列出了约翰·佩尔 方程对于所有n n n 威廉·布朗克 ，后者声称能够解决约翰·佩尔 方程的任何例子，去解决
313 x 2 + 1 = y 2 313x^{2} + 1 = y^{2} 3 1 3 x 2 + 1 = y 2
威廉·布朗克 使用他的方法找到了最小的解，即
x = 1819380158564160 , y = 32188120829134849 x = 1819380158564160, y = 32188120829134849 x = 1 8 1 9 3 8 0 1 5 8 5 6 4 1 6 0 , y = 3 2 1 8 8 1 2 0 8 2 9 1 3 4 8 4 9
福兰尼可 ，声称他找到它们只花了“一两个小时”。
Commercium epistolicum 中，约翰·沃利斯 给出了两种证明婆罗摩笈多 引理的方法，这两种方法本质上都等价于我们在本文开头基于该结果所给出的论证。
( b 2 − n a 2 ) ( d 2 − n c 2 ) = ( b d + n a c ) 2 − n ( b c + a d ) 2 (b^{2} - na^{2})(d^{2} - nc^{2}) = (bd + nac)^{2} - n(bc + ad)^{2} ( b 2 − n a 2 ) ( d 2 − n c 2 ) = ( b d + n a c ) 2 − n ( b c + a d ) 2
约翰·海因里希·雷恩 出版了一本代数书，其中包含一个约翰·佩尔 方程的实例。这本书是在约翰·佩尔 的帮助下写成的，这是已知的约翰·佩尔 与以他命名的方程之间唯一的联系。
约翰·沃利斯 于1685年出版了Treatise on Algebra ，该著作的第98章专门给出了基于他1658年在Commercium epistolicum 中发表的通信来解约翰·佩尔 方程的方法。然而，在他的代数教材约翰·沃利斯 中，他将所有方法整理成了标准形式。
约翰·佩尔 方程n x 2 + 1 = y 2 nx^{2} + 1 = y^{2} n x 2 + 1 = y 2 n n n 约翰·沃利斯 在描述威廉·布朗克 的方法时提出了这一主张，皮埃尔·德·费马 在评论对他的挑战所提出的解答时也如此。事实上，皮埃尔·德·费马 声称，当然这是正确的，对于任何n n n 约翰·佩尔 方程都有无穷多个解。
莱昂哈德·欧拉 以与我们上面给出的类似形式给出了婆罗摩笈多 引理及其证明。他当然知道威廉·布朗克 关于约翰·佩尔 方程的工作，如约翰·沃利斯 所呈现的，但他完全不知道印度数学家的贡献。他给出了用连分数方法解约翰·佩尔 方程的基础，该方法由约瑟夫·拉格朗日 在1766年整理成完善的形式。莱昂哈德·欧拉 的另一个主要贡献是将该方程命名为“约翰·佩尔 方程”，普遍认为他之所以这样命名，是因为他混淆了威廉·布朗克 和约翰·佩尔 ，以为约翰·沃利斯 所报告的归功于威廉·布朗克 的主要贡献实际上是约翰·佩尔 的工作。
约瑟夫·拉格朗日 于1771年出版了他的Additions to 莱昂哈德·欧拉 's Elements of algebra ，其中包含了他对莱昂哈德·欧拉 用连分数方法解约翰·佩尔 方程的严格版本。这严格地确立了对于每个n n n 约翰·佩尔 方程都有无穷多个解这一事实。解依赖于√ n √n √ n
例如√19的连分数展开为
19 = 4 + 1 2 + 1 1 + 1 3 + 1 1 + 1 2 + 1 8 + 1 2 + 1 1 + 1 3 + 1 1 + 1 2 + 1 8 + 1 2 + 1 1 + . . . \sqrt{19} = 4+ \Large\frac{1}{2+} \frac{1}{1+} \frac{1}{3+} \frac{1}{1+} \frac{1}{2+} \frac{1}{8+} \frac{1}{2+} \frac{1}{1+} \frac{1}{3+} \frac{1}{1+} \frac{1}{2+} \frac{1}{8+} \frac{1}{2+} \frac{1}{1+} ... 1 9 = 4 + 2 + 1 1 + 1 3 + 1 1 + 1 2 + 1 8 + 1 2 + 1 1 + 1 3 + 1 1 + 1 2 + 1 8 + 1 2 + 1 1 + 1 . . .
它表示
19 = 4 + 1 2 + 1 1 + 1 3 + 1 1 + 1 2 + 1 8 + 1 2 + 1 1 + . . . \sqrt{19} = 4+ \Large\frac{1}{2+ \Large\frac{1}{1+\Large\frac{1}{3 + \Large\frac{1}{1 + \Large\frac{1}{2 + \Large\frac{1}{8 + \Large\frac{1}{2 + \Large\frac{1}{1 + ...}}}}}}}} 1 9 = 4 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 + 8 + 2 + 1 + . . . 1 1 1 1 1 1 1 1
170 39 \Large\frac{170}{39}\normalsize 3 9 1 7 0 约瑟夫·拉格朗日 的理论表明
x = 39 , y = 170 x = 39, y = 170 x = 3 9 , y = 1 7 0
约翰·佩尔 方程的最小解
19 x 2 + 1 = y 2 19x^{2} + 1 = y^{2} 1 9 x 2 + 1 = y 2
要找到无穷多个解，取170 + 39√19的幂。例如
( 170 + 39 √ 19 ) 2 = 57799 + 13260 √ 19 (170 + 39√19)^{2} = 57799 + 13260√19 ( 1 7 0 + 3 9 √ 1 9 ) 2 = 5 7 7 9 9 + 1 3 2 6 0 √ 1 9
和
x = 13260 , y = 57799 x = 13260, y = 57799 x = 1 3 2 6 0 , y = 5 7 7 9 9
将给出方程的第二个解。再次
( 170 + 39 √ 19 ) 3 = 19651490 + 4508361 √ 19 (170 + 39√19)^{3} = 19651490 + 4508361√19 ( 1 7 0 + 3 9 √ 1 9 ) 3 = 1 9 6 5 1 4 9 0 + 4 5 0 8 3 6 1 √ 1 9
给出
x = 4508361 , y = 19651490 x = 4508361, y = 19651490 x = 4 5 0 8 3 6 1 , y = 1 9 6 5 1 4 9 0
作为下一个解。下面是 (170 + 39√19) 的前几个幂，从它的平方开始，这给出了方程 19 x 2 + 1 = y 2 19x^{2} + 1 = y^{2} 1 9 x 2 + 1 = y 2
57799 + 13260√19
19651490 + 4508361√19
6681448801 + 1532829480√19
2271672940850 + 521157514839√19
772362118440199 + 177192022215780√19
262600848596726810 + 60244766395850361√19
89283516160768675201 + 20483043382566906960√19
约翰·佩尔 的方程对于 n n n n n n n n n n n n 约翰·佩尔 的方程的多项式时间算法。