黄金比The Golden ratio

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欧几里得在The Elements中说，线段$AB$被$C$分成中外比，如果$AB:AC = AC:CB$。


尽管欧几里得没有使用这个术语，我们将称之为黄金比。该定义出现在第六卷中，但第二卷定理11给出了一个关于面积的作图，通过将线段分成黄金比来解决。除了将线段分成黄金比的作图外，欧几里得还给出了诸如作正五边形、二十面体和正十二面体等应用。以下是黄金比如何进入五边形的作图。

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首先作一个等腰三角形，其底角是顶角的两倍。这通过取一条线段$AB$并在该线段上按黄金比标出$C$来完成。然后以$A$为圆心、$AB$为半径画圆。在圆上标出$D$，使得$AC = CD = BD$。三角形$ABD$具有其底角是顶角两倍的性质。


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现在从这样一个三角形$ABD$开始，画一个通过$A, B$和$D$的圆。然后用线$DE$平分角$ADB$，与圆相交于$E$。注意这条线通过$C$，即把$AB$分成黄金比例的点。类似地构造$F$并画出五边形$AEBDF$。


当然，没有人相信欧几里得的Elements代表了原创工作，所以问题是在欧几里得之前谁研究了黄金比例。现在一些历史学家认为The Elements的第二卷涵盖了最初由西奥多罗斯研究的材料，而其他人则将材料归因于毕达哥拉斯，或者至少是毕达哥拉斯学派。普罗克洛在公元五世纪写道：-

欧多克索斯... multiplied the number of propositions concerning the section which had their origin in Plato, employing the method of analysis for their solution。

许多人认为，所谓“分割”普罗克洛指的是“黄金比”。欧多克索斯肯定听过柏拉图的讲座，因此他可能研究这些讲座中提出的主题，这完全合理。托马斯·利特尔·希思在其所编欧几里得的Elements中写道：-

这个观点，即柏拉图开始将[黄金比]本身作为一个主题来研究，与欧几里得 II, 11的问题由毕达哥拉斯学派解决这一假设丝毫不矛盾。

托马斯·利特尔·希思在同一著作后面声称，上述使用等腰三角形方法构造五边形为毕达哥拉斯学派所知，因此有相当多的证据表明黄金比的研究始于此处。

Hypsicles，约公元前150年，撰写了关于正多面体的著作。他是被称为欧几里得的Elements第XIV卷的作者，该著作涉及在球体内接正多面体。黄金比例进入了这些构造中。

直到此时，黄金比似乎一直被视为一种几何性质，没有明显迹象表明有人试图将数与这个比联系起来。当然，如果$AB$的长度为1，且$AC = x$，其中$C$将$AB$按黄金比分割，那么我们可以用简单代数求出$x$。

$\Large\frac{1}{x}\normalsize = \Large\frac{x}{1-x}\normalsize$给出$x^{2} + x - 1 = 0$，所以$x$ = $\Large\frac{√5-1}{2}\normalsize$。

于是黄金比为$\Large\frac{1}{x}\normalsize$ = $\Large\frac{√5+1}{2}\normalsize$ = 1.6180339887498948482...

海伦无疑开始计算近似比值，并在其著作中给出了五边形面积与一边平方之比的近似值。随着克劳狄乌斯·托勒密，三角函数表，至少就圆内弦而言，开始被计算出来。他根据外接圆半径计算了正五边形的边长。

随着阿拉伯人对代数的发展，人们可能期望找到与我们上面给出的二次方程（或相关方程）。花拉子米确实给出了几个关于将长度为10的线段分成两部分的问题，其中一个确实找到了将长度为10的线段按黄金比例分割时较小部分长度的二次方程。然而，没有提到黄金比例，也不清楚花拉子米是否在考虑这个特定问题。

阿布·卡米勒给出了类似的方程，这些方程来自以各种方式分割长度为10的线段。其中两种方式与黄金比例有关，但同样不清楚阿布·卡米勒是否意识到这一点。然而，当斐波那契创作Liber Abaci Ⓣ（《计算之书》）时，他使用了许多阿拉伯资料，其中之一是阿布·卡米勒的问题。斐波那契清楚地表明他意识到阿布·卡米勒的两个问题与黄金比例之间的联系。在Liber Abaci Ⓣ（《计算之书》）中，他给出了将长度为10的线段按黄金比例分割所得线段长度为√125 -5和15 - √125。

卢卡·帕西奥利写了Divina proportioneⓉ（神圣比例），这是他对黄金比的称呼。这本书关于该主题的新内容很少，汇集了来自欧几里得和其他来源关于黄金比的结果。他陈述（没有试图证明或给出参考文献）黄金比不可能是有理数。他还陈述了Liber AbaciⓉ（《计算之书》）中给出的关于长度为10的线段按黄金比分割后各段长度的结果。卢卡·帕西奥利的书里几乎没有新内容，只是重述（通常没有证明）其他作者已经发表的结果。当然，标题很有趣，卢卡·帕西奥利写道：

……在我看来，这篇论著恰当的标题必须是《神圣比例》。这是因为我在我们的比例中发现了非常多的相似属性——全都与上帝本人相称——这正是我们非常有用的论述的主题。

他给出了五个这样的属性，也许最有趣的是：-

……正如上帝不能被恰当地定义，也不能通过词语来理解，同样，我们这个比例也永远不能被可理解的数所指称，也不能通过任何有理量来表达，而总是保持隐秘和秘密，被数学家称为无理数。

吉罗拉莫·卡尔达诺、拉法耶尔·蓬贝利等人在他们的著作中包含了利用二次方程求黄金比例的问题。一个令人惊讶的信息包含在卢卡·帕西奥利的Euclid's Elements1509年版的一个副本中。有人写了一条注释，清楚地表明他们知道斐波那契数列中相邻项的比值趋于黄金数。笔迹专家将这条注释的年代定为16世纪初，因此有一个有趣的问题是谁写的。更多细节见[6]。

已知最早的黄金分割比的十进制计算出现在1597年的一封信中，该信由图宾根大学的米夏埃尔·梅斯特林写给他以前的学生约翰内斯·开普勒。对于长度为1的线段按黄金分割比分割后较长一段的长度，他给出“约为0.6180340”。正确值是0.61803398874989484821...。对黄金分割比的神秘感受当然吸引着约翰内斯·开普勒，正如它与正多面体的关系一样。他关于这一主题的著作是优秀数学与魔法的混合。他像卢卡·帕西奥利的Euclid的注释者一样，知道斐波那契数列相邻项的比值趋于黄金分割比，并在1609年写的一封信中明确陈述了这一点。

斐波那契数列相邻项的商趋于黄金分割比这一结果通常归功于罗伯特·西姆松，他在1753年给出了这一结果。我们刚刚看到，他并不是第一个给出这一结果的人，而且阿尔伯特‧吉拉德也独立于约翰内斯·开普勒发现了它。它出现在1634年的一份出版物中，该出版物在阿尔伯特‧吉拉德去世两年后问世。

在本文中我们使用了“黄金分割比”这一术语，但我们上面提到的对其发展做出贡献的数学家们从未使用过这个术语。我们评论说，普罗克洛可能使用了“分割”一词，尽管一些历史学家对他所说的分割是否指黄金分割比提出异议。早期作者常用的术语只是“按中外比分割”。卢卡·帕西奥利确实引入了“神圣比例”这一术语，后来的一些作者如彼得吕斯·拉米斯和克里斯托佛·克拉乌采用了这个术语。克里斯托佛·克拉乌也使用了“按比例分割”这一说法，类似的表达出现在其他数学家的著作中。“连比例”这一术语也被使用过。

现在使用的名称是golden ratio、golden number或golden section。这些术语是现代意义上的，因为它们是在我们上面讨论的任何工作之后才引入的。该术语的第一个已知使用出现在马丁·欧姆（格奥尔格·欧姆的兄弟）的Die reine Elementar-MatematikⓉ（初等纯数学）的一个脚注中：-

人们也习惯于将任意线段分成这样两部分的划分称为黄金分割；有时在这种情况下也说：线段r按连比例分割。

马丁·欧姆的书的第一版于1826年出版。刚才引用的脚注没有出现，文本使用了术语“连比例”。显然，在1826年到1835年之间的某个时候，“黄金分割”这个术语开始被使用，但它的起源是一个谜。从马丁·欧姆的脚注中可以相当清楚地看出，“黄金分割”这个术语不是他提出的。Fowler在[9]中检查了证据，并得出结论，1835年标志着该术语的首次出现。

黄金分割比因其美学特性而在整个历史上闻名，并且据称古希腊建筑深受其使用的影响。文章[11]讨论了黄金分割是否是一种普遍的自然现象，它在多大程度上被建筑师和画家使用，以及它是否与美学有关。