数学史专题
本文描述了地图制作如何在数学发展中发挥了重要作用。早期将地图学视为一门数学学科几乎不足为奇，因为地图学测量地点的位置（数学是测量科学），并在二维地图上表示球面。
当然，什么构成一幅地图很难说，尤其是追溯到最早的时代。大约在公元前6200年，安纳托利亚的加泰土丘绘制了一幅壁画，描绘了城镇街道和房屋的位置，以及周围的特征，如靠近城镇的火山。这幅壁画于1963年在土耳其现代安卡拉附近被发现。它是一幅地图还是一种风格化的绘画，尚有争议。
The Catal-Hyük map位于THIS LINK。
早期绘制地图的尝试受到严重限制，因为除了非常局部的地貌外，缺乏对其他事物的了解。在埃及，几何学从很早的时候就被用来帮助测量土地。尼罗河每年的泛滥意味着，如果没有这样的测量，就不可能重建洪水前存在的边界。然而，这种测量似乎只用于局部，没有证据表明埃及人将这些测量整合到大面积的地图中。现存最古老的埃及局部地图例子是都灵纸草，其年代约为公元前1300年。
早期的世界地图反映了对世界形态的宗教信仰。例如，在约公元前600年的巴比伦泥板上发现了地图。其中一幅地图以风格化的形式显示了巴比伦及周边地区，巴比伦用矩形表示，幼发拉底河用垂直线表示。所示区域被描绘成圆形，被水环绕，这符合巴比伦人所信仰的世界的宗教形象。
Babylonian map of the world位于THIS LINK。
据说最早构建世界地图的古希腊人是阿那克西曼德，他于公元前610年出生在米利都（今土耳其），公元前546年去世。据说他师从泰勒斯，但遗憾的是，他的地图细节没有留存下来。当然，尽管这些古希腊人只了解地球非常有限的部分，但地球的形状在世界地图中始终具有根本重要性。公元前6世纪的毕达哥拉斯被认为是第一个提出地球是球形信念的人，而巴门尼德在下一个世纪肯定支持了这一观点。大约在公元前350年，亚里士多德提出了六个论据来证明地球是球形的，从那时起，学者们普遍接受地球确实是一个球体。
埃拉托色尼在公元前250年左右对地图学做出了重大贡献。他非常精确地测量了地球的周长。他相当精确地勾勒了尼罗河到喀土穆的路线，显示了埃塞俄比亚的两条支流。他还做出了另一项重要贡献，即使用网格来确定地球上地点的位置。他不是第一个使用这种网格的人，因为亚里士多德的追随者狄凯阿库斯在大约50年前就设计了一个。今天我们使用纬度和经度来确定这样的坐标，而埃拉托色尼的网格具有类似的性质。当然，请注意，使用这种位置网格是笛卡尔几何的早期形式。继狄凯阿库斯之后，埃拉托色尼选择了一条穿过罗得岛和赫拉克勒斯之柱（今直布罗陀）的线，作为他网格的主要线之一。这条线相当精确地是北纬36°，埃拉托色尼选择它是因为它将他所知的世界分成两个相当相等的部分，并定义了已知的最长东西范围。他选择了一条穿过罗得岛的线作为他网格南北线的定义线，并为他的每条定义线画了七条平行线，形成一个矩形网格。
Eratosthenes' map of the world在THIS LINK。
喜帕恰斯对埃拉托色尼所定义的网格持批评态度，他颇有道理地指出，该网格是任意选定的。他建议应选择具有天文意义的网格，例如，同一条线上的所有点都应具有相同的最长白昼长度。尽管据我们所知喜帕恰斯从未构建过地图，但他确实进行了天文观测，以描述其天文定义所给出的十一条纬线。虽然埃拉托色尼和喜帕恰斯的著作没有副本留存下来，但我们通过约公元23年完成的Strabo的Geographical Sketches得知了它。尽管Strabo对早期制图学的贡献作了批判性的叙述，但他只用了很少的篇幅讨论将球面投影到平面上的问题。他明确表示，他的著作不是面向数学家的，而是面向那些需要了解各民族风俗和土地自然资源的政治家。
我们考虑的最后一个古希腊贡献是最重要的，而且与Strabo的贡献不同，它是由一位著名数学家撰写的。大约在公元140年，克劳狄乌斯·托勒密写了他的主要著作Guide to Geography,，共八卷，试图绘制已知世界的地图，给出主要地点的坐标，基本上是以纬度和经度来表示。第一卷给出了地图学的基本原理，并考虑了地图投影问题，即将球面映射到平面上。他给出了两个投影的例子，还描述了地球仪的构造。就在开头，克劳狄乌斯·托勒密指出了两种不同的地图学类型，第一种是[1]：-
……通过绘图对整个已知世界以及大致与之相关的事物的模仿。
第二种类型是[1]：-
……一门独立的学科[它]列出各个地点。
现在Geography的主要部分由地图组成，但克劳狄乌斯·托勒密知道，尽管抄写员可以相当准确地复制文本，但地图成功复制的机会很小。因此，他确保作品包含重新绘制地图所需的数据和信息。他遵循以前的地图学家，将赤道圈分为360°，并以赤道作为南北坐标系统的基础。因此，通过Rhodes和Hercules Pillars（今Gibraltar）的纬线是36°，这条线将克劳狄乌斯·托勒密所知的世界相当均匀地分为两部分。定义经线的问题更困难。它需要选择一个任意的零点，但也需要了解地球的周长，以便度数正确对应距离。克劳狄乌斯·托勒密选择了Fortune Islands（我们认为是Canary Islands）作为经度零点，因为这是他已知的最西点。然后他标出了经线与Rhodes纬线相交的地方，每度取400 stadia。
Ptolemy's map of the world在THIS LINK。
如果克劳狄乌斯·托勒密采用埃拉托色尼计算出的地球周长值，那么他的坐标就会非常准确。然而，他使用了波希多尼在公元前100年左右计算出的较晚的值，这个值虽然是用正确的数学理论计算出来的，却非常不准确。因此，在克劳狄乌斯·托勒密的坐标中，地中海覆盖了62°，而不是应有的42°。Geography的第2至第7卷包含了约8000个地点的坐标，但尽管他知道从天文观测中准确计算此类坐标的正确数学理论，却只有少数地点存在这样的信息。克劳狄乌斯·托勒密给出的地图在许多地方相当不准确，这并不奇怪，因为不能指望他做的超出使用现有数据，而对于Roman Empire以外的任何地方，这些数据质量极差，甚至Roman Empire的一些部分也严重变形。
克劳狄乌斯·托勒密使用了大多数前辈的数据，特别是Marinus of Tyre。他使用了旅行者报告中的信息，这些报告给出了诸如“向北旅行十天后我们到达了……”之类的信息。为了从这类数据中估计距离，克劳狄乌斯·托勒密必须估计地形的难度、旅行者所走路线有多直，以及许多其他未知因素。考虑到他收集数据的方式，地图不准确当然并不奇怪，但它们代表了相对于所有先前地图的相当大的进步，而且要过许多世纪才会绘制出更准确的世界地图。
在接下来的几个世纪里，制图学几乎没有取得进展。鉴于Romans在道路建设方面的技能需要精确的测量，他们贡献甚少有点奇怪。此外，他们的指挥官所使用的非常精确的军事战略似乎给了他们绘制地图以帮助军事战役的动力。也许正是地图的数学性质阻止了非数学的Romans推进这一学科。然而，在中国，有证据表明数学在测量和制图学中得到了重要应用。在[12]刘徽的3世纪著作中，研究了Sea Island mathematical manual。这本书很好地揭示了中国的测量史及其与制图学的联系。在中国，测量和绘制地图的主要驱动力往往是军事原因，但也包括水利等问题。
一旦基督教在欧洲传播开来，那些有学问的人便是教士，他们主张关于世界的真理包含在《圣经》之中，而不能通过科学研究发现。当《圣经》引文似乎与前基督教的科学发现相矛盾时，那么好的科学就被斥为异教的愚蠢。圣经引文使一些人相信地球是一个圆，当然不是一个球体，而对另一些人来说，如《以赛亚书》中“地球的四个角”这样的引文证明了地球是矩形的。
然而，在阿拉伯/波斯/穆斯林世界，制图学取得了进展，事实上，其进展远比长期以来所认识到的要大得多，因为直到最近几年，这些贡献的全部意义才被认识到。克劳狄乌斯·托勒密的Geography在9世纪被翻译成阿拉伯文，很快人们就利用探险所获得的数据进行了改进。花拉子米写了一部重要的制图学著作，给出了2402个地点的纬度和经度，作为他世界地图的基础。这本书基于克劳狄乌斯·托勒密的Geography,列表，包含纬度、经度、城市、山脉、海洋、岛屿、地理区域和河流。手稿确实包含了比克劳狄乌斯·托勒密的地图更准确的地图，特别是很明显，在花拉子米能够获得更多本地知识的地方，如伊斯兰地区、非洲和远东地区，他的工作比克劳狄乌斯·托勒密的要准确得多，但对于欧洲，花拉子米似乎总体上使用了克劳狄乌斯·托勒密的数据。
Sezgin的主要著作，见[8]、[9]和[10]，在很大程度上证明了中世纪伊斯兰地理学家对直到1800年欧洲地理学的发展产生了重要影响。在[8]中，他展示了对花拉子米世界地图的重构，他认为该地图使用了陆地半球的球极投影，极点位于地球赤道上。Sezgin还认为，克劳狄乌斯·托勒密的Geography可能没有包含世界地图，并且一些后来的世界地图至少部分基于伊斯兰来源。
我们应该提到的下一位重要的伊斯兰学者是比鲁尼，他在大约995年写了他的Cartography。在其中，他讨论了其他科学家的地图投影，然后给出了他自己有趣的半球到平面的映射。这种投影的详细描述见[17]。比鲁尼在1000年左右写了一本关于球面三角形一般解法的教科书，然后在1010年之后的某个时候，他将这些球面三角形的方法应用于地理问题。他引入了使用三角测量来测量地球及其上距离的技术。他计算了阿富汗加兹尼和麦加之间经度和纬度差的非常准确的值。他发现地球半径为6339.6公里，这一数值直到16世纪才在西方获得。他的Masudic canon包含一个给出六百个地点坐标的表格，其中一些是由比鲁尼自己测量的，一些取自上面提到的花拉子米的工作。
在基督教欧洲制作宗教性的世界表现而非科学地图的时代，另一种类型的地图，或者更准确地说海图，开始出现供水手使用。这些被称为portolan地图（来自意大利语中航海手册一词），由水手使用磁罗盘制作。我们所知最早的例子可追溯到14世纪初，是意大利或乌惹内·查尔斯·卡塔兰波特兰地图。最早的波特兰地图覆盖地中海和黑海，显示了风向和对水手有用的此类信息。这些地图上显示的海岸线是当时为止制作的最准确的。卡塔兰世界地图制作于1375年，是马略卡岛帕尔马的马克斯·亚伯拉罕Cresques的作品。他是一位熟练的制图师和仪器制造者，该地图由法国的查理五世委托制作。他地图的西部部分部分基于波特兰地图，而东部部分基于克劳狄乌斯·托勒密的数据。
A 'portolan' map of the North Atlantic在THIS LINK。
The Catalan World Map在THIS LINK。
15世纪见证了欧洲制图学的革命。最初几步包括将克劳狄乌斯·托勒密的Geography译成拉丁文，这项工作由Emmanuel Chrysoloras开始，1410年由Jacobus Angelus完成。改进制图学的主要动力来自15世纪葡萄牙探险家对新陆地的发现。威尼斯附近穆拉诺的修士Mauro修士到15世纪中叶在制图学方面享有盛誉。1457年，他受葡萄牙国王委托制作一幅新的世界地图，其中包含葡萄牙探险家所发现新陆地的细节，这些探险家绘制的海图被送交给他。制作一幅不遵循克劳狄乌斯·托勒密的地图显然让Mauro感到担忧，他写道（例如见[5]）：-
如果我不遵循克劳狄乌斯·托勒密的《Cosmografia》，我认为这并不有损于他，因为要遵循他的经线、纬线或度数，在标出这一周界已知部分时就必然要略去许多克劳狄乌斯·托勒密未提及的省份。但主要是在纬度方面，即从南到北，他有大量‘未知之地’，因为在他那个时代这些地方尚不为人知。
Mauro修士将新发现加入他的地图，但他没有在制图科学上作出任何改进。尽管自克劳狄乌斯·托勒密的时代已过去1300年，Mauro仍然无法给出地球周长的良好近似值，他写道：-
关于这一周长，我发现了各种意见，但无法验证它们……它们没有多少可靠性，因为未经检验。
使地图得以广泛传播的手段也出现在15世纪，当时印刷机约在本世纪中叶发明。克劳狄乌斯·托勒密的Geography的第一个印刷版本出现于1475年，即上述拉丁文译本。这一版只包含文字，没有地图。第一个包含地图的版本日期仍有争议，但可能是1478年在罗马印刷的版本，其中包含27幅地图。许多带地图的印刷版本接踵而至，新发现的陆地很快被纳入。各种版本都添加了新地图，以包含关于欧洲更准确、更详细的信息，最早的是1480年佛罗伦萨版，其中包含基于新近知识绘制的法国、意大利、西班牙和巴勒斯坦的新地图。第一幅展示新世界的地图是1475年罗马版的新版本，于1508年问世，包含34幅地图。许多人认为是第一部现代地图集的版本（尽管‘地图集’一词直到墨卡托约1578年创造它时才被使用）于1513年在斯特拉斯堡出版，包含27幅古代世界地图和20幅基于新近知识、由Martin Waldseemüller制作的新地图。他对这两部分作了明确区分（见[7]，其中给出了以下引文）：-
我们把克劳狄乌斯·托勒密的地理内容限制在著作的第一部分，以便使其古老性保持完整和独立。
瓦尔德泽米勒的世界地图是第一幅覆盖360°经度并显示非洲完整海岸的地图。瓦尔德泽米勒的另一个第一出现在1507年的一部早期著作中，他在其中提议将美洲命名（见[16]，其中给出了以下引文）：-
既然另一个第四部分[世界]已被亚美利哥·韦斯普奇发现，我不明白为什么有人会反对以发现者亚美利哥的名字来称呼它，称其为亚美利哥之地或亚美利加，因为欧洲和亚洲的名字都源自女性。
瓦尔德泽米勒还对地图绘制科学做出了重要贡献。他撰写了关于测量和透视的著作，并制作了一本关于如何使用地球仪的小册子。
阿拉伯科学继续蓬勃发展，现在与欧洲科学并存，数学地理学随着Sulayman al-Mahri的Tuhfat al-fuhul fi tamhid al-usul以及16世纪初对其的评论Kitab sarh而取得了重要发展。Al-Mahri使用对恒星高度的天文观测来确定两地之间的纬度差。三角学方法允许计算经度差。他还对如何补偿其数学计算中的捷径所造成的误差以及不准确数据造成的误差有了很好的理解。
16世纪，欧洲在地图绘制方面取得了首次重大的数学进展，尽管约翰·缪勒在15世纪末已经走在了前面。他于1472年在纽伦堡建立了一家新的印刷所，并宣布打算出版地图和书籍，其中包括克劳狄乌斯·托勒密的Geography.。由于对三角学、数学仪器、天文学和地理学感兴趣，约翰·缪勒处于能够发挥引领作用的有利地位。他在纽伦堡建立了一个制作数学仪器的作坊，并出版了详细介绍这些仪器使用的著作。他认识到绘制精确地图需要地点的精确坐标，而最大的问题在于计算经度。他提出了用月距法确定经度，这是一个重要的提议。约翰尼斯·维尔纳是来自纽伦堡的约翰·缪勒的追随者。约翰尼斯·维尔纳最著名的地理学著作是1514年写成的In Hoc Opere Haec Cotinentur Moua Translatio Primi Libri Geographicae Cl'PtolomaeiⓉ（这部著作包含克劳狄乌斯·托勒密地理学著作的第一个译本）。这本书描述了一种仪器，其标杆上带有角度刻度，可以读出度数。它还给出了一种基于月食确定经度的方法，并对地图投影进行了研究。约翰尼斯·维尔纳的这部著作对墨卡托产生了强烈影响。
阿尔布雷希特·丢勒年轻时参观了约翰·缪勒在纽伦堡的作坊。他对将球面投影的想法以及从天上观看地球会是什么样子着迷。他将透视法的思想应用于地图，特别是他在1515年与Johann Stabius合作制作了地球仪。彼得鲁斯·阿皮亚努斯是一位著名数学家，他的出版生涯始于制作一幅世界地图Typus orbis universalisⓉ（《世界通用地图》），该图基于Martin Waldseemüller1520年的一幅较早的世界地图。他1524年的出版物Cosmographia seu descriptio totis orbisⓉ（《宇宙志与世界描述》）主要基于克劳狄乌斯·托勒密，介绍了天文学、地理学、地图绘制、测量、航海、天气与气候、地球形状、地图投影和数学仪器。
海马·弗里修斯是另一位对地图绘制做出重大贡献的数学家。在原版问世几年后，他制作了自己版本的彼得鲁斯·阿皮亚努斯的Cosmographia。1530年，他出版了On the Principles of Astronomy and Cosmography, with Instruction for the Use of Globes, and Information on the World and on Islands and Other Places Recently Discovered，对地图绘制做出了重大贡献。特别是，他描述了如何使用时钟确定地方时与绝对时之差来计算经度，是第一个提出这种建议的人。1533年，海马·弗里修斯出版了Libellus de locurumⓉ（《地点之书》），其中描述了三角测量理论，特别是包含首次提出使用三角测量作为精确定位地点的方法。这提供了一种使用相对较少观测进行精确测量的手段。地点的位置被确定为两条线的交点，正如海马·弗里修斯所指出的，只需一次实际距离的精确测量即可确定比例尺。海马·弗里修斯不仅提出了一种绘制精确地图所需的高效理论测量方法，还制作了进行测量所需的仪器，并利用从这类测量中收集的数据出版了精确的地图。
An example of Gemma Frisius's triangulation在THIS LINK。
继海马·弗里修斯之后，墨卡托做出了重大贡献，他师从海马·弗里修斯。墨卡托制作了许多新地图和地球仪，但他对地图绘制的最大贡献必定是Mercator projection。他认识到水手们错误地假设沿某一特定罗盘航向航行会沿直线行进。一艘朝同一罗盘点航行的船会沿一条称为等角航线的曲线（也称为恒向线或球面螺旋线）行进，这条曲线是佩德罗·努内斯——一位深受墨卡托钦佩的数学家——不久前研究过的。墨卡托于1541年制作的一个新地球仪是第一个在上面显示恒向线的地球仪。这项工作是他发展墨卡托投影思想的重要阶段，他于1569年首次将这一投影用于一幅由18张单独图幅组成的世界挂图。“墨卡托投影”具有这样的性质：经线、纬线和恒向线在地图上都表现为直线。在这种投影中，经线是垂直的，纬线间距按纬度正割的比例增大。爱德华·梅特兰·赖特于1599年出版了用于计算墨卡托投影的数学表，详见[20]。
Mercator's world map在THIS LINK，Mercator's map of Europe在THIS LINK。
Mercator's map of the Americas在THIS LINK，Mercator's map of Asia在THIS LINK。
当然，墨卡托投影具有这样的性质：靠近两极的距离被严重扭曲，因此使用该地图测量距离并不容易。墨卡托在地图上给出了说明，以便对于两个地点，如果知道以下四项数据中的任意两项：
经度之差，
纬度之差，
它们之间的方向，
它们之间的距离，
那么他的公式就能让人求出另外两个。有趣的是，在按墨卡托投影绘制的世界地图上，格陵兰（面积约200万平方公里）看起来比非洲（面积约3000万平方公里）还大。因此，作为世界地图，墨卡托投影有相当大的缺点（所有投影都必然如此），但对于海图来说，它无疑是最好的投影，并最终被所有水手采用。
亚伯拉罕，以其拉丁化名字Ortelius闻名，于1527年4月4日出生在安特卫普。他学习了希腊语、拉丁语和数学，并在墨卡托的强烈影响下，后来开办了一家地图制作企业。他于1570年出版了Theatrum orbis terrarumⓉ（展示整个世界），其中包含70幅地图，采用统一风格，使用了最先进的数据。这是当时最受欢迎的地图集，在地图学史中很重要，部分原因是Ortelius为他的地图所依据的数据引用了87位权威。它比墨卡托的地图集开始出版早几年，许多人认为墨卡托推迟了出版，以便让他年轻的朋友优先。然而，这似乎不太可能，更可能的是墨卡托的工作被推迟了，因为到1570年代，他已是一位有健康问题的老人。
到17和18世纪，科学进步为地图学的进一步改进铺平了道路。不仅新方法被开发出来，而且也有人主张制作一种不同类型的地图。例如Thomas Burnet在The theory of the earth（伦敦，1684年）中写道：-
我毫不怀疑，拥有地球的自然地图……以及人文地图，会非常有用……我们通常的地图我称之为人文地图，它们标注国家和城市的区分，表现被居住和开垦的人造地球：但自然地图省略所有这些，表现地球如果没有居民、也从未有过居民时的样子——可以说，是地球的骨架，连同其各部分的位置。我认为，一位君主也应该拥有他的国家和领地的这样一幅草图，以了解各地地面如何分布，哪里最高，哪里最低；它们彼此之间以及与海洋的关系如何；河流如何流动，为什么；山脉如何分布，荒原如何，沼泽如何。这样一幅地图或测量图在战时和平时都有用，通过它可以做出许多良好的观察，不仅关于自然史和哲学，而且为了一个国家的完美改良。
地图学的进步现在取决于能否准确确定世界各地的位置。计算纬度很容易，早已用六分仪实现，但准确计算经度的问题被证明是一个巨大的挑战。解决这一问题的尝试的故事见我们的两篇文章经度与皇家科学院和英国对经度问题的攻克，关于地图学后来许多发展的信息，我们请读者参考这些文章。低地国家在16世纪和17世纪初主导了地图学的发展。然而此后，活动中心转移到法国，在那里，基于三角测量数学方法的全国测量引领了方向。
经度还有另一个问题，除了计算它的方法之外，即需要任意设定一个零点。起初，正如所料，选择了几个不同的地方作为零点，如巴黎、加的斯、那不勒斯、普尔科沃、斯德哥尔摩和伦敦。需要国际协议来设定地图学标准，1884年在美国华盛顿特区举行的国际子午线会议有来自26个国家的代表。他们将格林威治子午线标准化为经度的零点，经过一些延迟，所有国家都采用了这一点以及赤道作为基本参考线。
当然，为了标准化地图，还需要做出另一个决定，即地图如何定向。将北方或南方放在顶部是相当合乎逻辑的，但选择哪一个完全是任意的决定。早期基督教地图将北方放在顶部，而早期阿拉伯/穆斯林地图将南方放在顶部。在没有任何国际协议的情况下，将北方放在地图顶部已成为标准做法。其他国际合作项目则不太成功。1891年在伯尔尼举行了国际地理大会，建立了International Map of the World.标准被设定，并选择了符号约定。比例尺为1:1000000，几个国家同意合作制作符合这一标准的世界地图。一些，但不是全部，提议的地图已经制作出来，但该项目从未完成。