数学史专题
尽管本档案的许多读者可能会觉得一篇关于数学与建筑的文章有些令人惊讶，但实际上建筑在古代被视为一个数学主题，而且这些学科至今仍保持着密切的联系。也许一旦人们意识到数学本质上是对模式的研究，与建筑的联系就变得更加清晰。Salingaros在[27]中写道：-
从历史上看，建筑是数学的一部分，在过去许多时期，这两个学科难以区分。在古代世界，数学家就是建筑师，他们的建筑——金字塔、塔庙、神庙、体育场和灌溉工程——至今仍令我们惊叹。在古典希腊和古罗马，建筑师也被要求是数学家。当拜占庭皇帝查士丁尼想要一位建筑师建造圣索菲亚大教堂，使其成为超越以往一切建筑的建筑时，他求助于两位数学教授（几何学家），Isidoros和特拉勒斯的安提莫斯，来完成这项工作。这一传统延续到伊斯兰文明中。伊斯兰建筑师创造了丰富的二维镶嵌图案，比西方数学家给出完整分类早了几个世纪。
Salingaros在这段引文中提到的第一种建筑类型是金字塔，而在这里，专家们对建筑师使用了多少几何学和数论存在明显分歧。例如，大金字塔约于公元前2575年在埃及吉萨为胡夫国王建造。关于这座金字塔的测量已有大量著述，并发现了许多与黄金数及其平方根巧合之处。至少有九种理论声称能解释金字塔的形状，其中至少一半的理论与观测到的测量值精确到小数点后一位相符。这是一个困难的领域，因为金字塔建造中的某些天文对齐是毫无疑问的。此外，规则的几何形状对埃及人是神圣的，他们将其在建筑中的使用保留给仪式和官方建筑。他们有一位名为Seschat的测量女神，这表明了建筑被赋予的宗教重要性。然而，没有证据表明金字塔的建造背后有复杂的几何学。
人们必须判断这些数值巧合是否真的是巧合，还是金字塔的建造者有意按照某些数值比来设计它们。让我们只看一个涉及黄金数的此类巧合。黄金数是(1 + √5)/2 = 1.618033989，基于它的角度大小为arcsec(1.618033989) = 51° 50'。而大金字塔的侧面以51° 52'的角度上升。这是巧合吗？F Röber在1855年第一个提出黄金数被用于金字塔的建造。许多作者追随Röber，或者提出了关于埃及人如何利用黄金数的更详尽版本。然而，[23]的作者们提出了许多漂亮数字出现的理由，特别是接近黄金数幂次的数字，认为它们源于所使用的建筑技术，而非建筑师的刻意决定。这类论点近年来出现得更加频繁。
即使金字塔的建造中融入了深刻的数学思想，我认为Ifrah在[4]中对这场争论做出了有益的贡献，他写道：-
我曾认识一位数学教授……他试图说服他的学生，抽象几何在历史上先于其实际应用，并且古埃及的金字塔和建筑“证明”了它们的建筑师是高度精密的数学家。但是，历史上第一个用三根桩和一段绳子画出完美椭圆的园丁，肯定没有圆锥理论的学位！埃及建筑师也没有任何比简单的装置——“技巧”、“诀窍”和完全经验性的方法，无疑是通过反复试验发现的——更多的东西来布置他们的平面图。
我们提到的第一个对建筑产生明确数学影响的是毕达哥拉斯。现在对于毕达哥拉斯和毕达哥拉斯学派来说，数具有了宗教意义。毕达哥拉斯学派相信“万物皆数”，这显然对建筑具有重大意义，所以让我们稍加考虑这意味着什么。从表面上看，这似乎是一个相当愚蠢的想法，但实际上它基于一些基本真理。毕达哥拉斯看到了音乐与数之间的联系，并清楚地理解了弦产生的音高与其长度的关系。他建立了至今仍在西方音乐中使用的音阶中音符序列的比率。通过用一根拉伸的弦进行实验，他发现了将其分成由小整数确定的比率的重要性。发现美妙和谐的声音取决于小整数的比率，导致建筑师使用小整数的比率来设计建筑。这导致了模数的使用，即建筑的基本长度单位，其中尺寸现在是基本长度的小整数倍。
数对于毕达哥拉斯来说也具有几何性质。毕达哥拉斯学派谈论正方形数、长方形数、三角形数等。几何是研究形状的学问，而形状由数决定。但不仅如此，毕达哥拉斯学派还发展出一种基于比例的美学观念。此外，几何的规律性表达了美与和谐，这一点通过对称性的运用被应用于建筑中。如今，对数学家而言，对称性意味着群在基本构型上的某种作用，但重要的是要认识到，这个词源自古代希腊建筑术语“symmetria”，它指的是从建筑的最小部分到整体结构中形状与比例的重复。现在应当清楚，“万物皆数”这一信念对毕达哥拉斯学派意味着什么，以及它如何影响了古希腊建筑。
让我们简要看看帕特农神庙的尺寸，以了解其长度如何符合毕达哥拉斯学派的数学比例原则。公元前480年，在第二次波斯战争中，雅典卫城被波斯人彻底摧毁。为了理解时间尺度，我们注意到这大约是在毕达哥拉斯去世的时候。希腊人在萨拉米斯和普拉提亚战胜波斯人后，希腊人多年没有开始重建雅典城。只有在希腊城邦于公元前451年的五年停战协议中结束战斗后，才存在鼓励重建的条件。雅典国家元首伯里克利在公元前447年开始重建帕特农神庙。建筑师伊克提诺斯和卡利克拉特斯被雇用，雕塑家菲迪亚斯也是如此。
插图：parthenon.gif ↗
Berger在11中研究了毕达哥拉斯学派的小数比例思想在雅典娜·帕特农神庙建造中的使用方式。比例2：3及其平方4：9是建造的基础。一个边长为4：9的基本矩形由三个边长为3和4、对角线为5的矩形构成。这种构造形式也意味着3：4：5的毕达哥拉斯三角形可以有效地用于确保建筑物中的直角被准确确定。
神庙的长度为69.5米，宽度为30.88米，檐口高度为13.72米。在相当高的精度下，这意味着宽度：长度=4：9，同时高度：宽度=4：9。Berger取这些测量的最大公约数来得出比例
高度：宽度：长度=16：36：81
这给出了一个基本模数长度为0.858米。那么神庙的长度是92个模数，宽度是62个模数，高度是42个模数。模数长度被普遍使用，例如神庙的总高度是21个模数，柱子高12个模数。内殿，在希腊神庙中是包含神像的内部区域，宽21.44米，长48.3米，这又是4:9的比例。Berger注意到一个惊人的事实：柱子的直径为1.905米，它们轴线之间的距离为4.293米，再次使用了4:9的比例。
我们上面提到，F Röber认为埃及人在建造金字塔时使用了黄金数。在1855年的同一著作中，他还论证说，在帕特农神庙的雅典娜神庙建造中也使用了黄金数。也许这项工作非常有说服力，或者它提出了一个人们愿意相信的浪漫想法。无论原因如何，今天大多数人似乎基本上接受了一个事实，即帕特农神庙的建筑确实通过使用黄金数而达到了其无可置疑的非凡之美。似乎很少有确凿证据支持这一观点，而另一方面，Berger的4:9理论似乎得到了充分确立。
柏拉图深受毕达哥拉斯思想的影响。柏拉图的理念论使意义和概念成为根本和真实的，而这些理念的物理实现则不是真实的，且重要性较低。例如，花的理念是真实且永恒的，而花的物理实例只被视为表象和暂时的。尽管建筑不是永恒的，柏拉图看到它们持久存在，因此对他来说比花更美丽。他认为数学提供了所有理念中最根本的，因此建筑应该基于数学原理设计。柏拉图在Philebus:-中写道
我在这里所理解的“美”……并不是普通人通常所理解的那个词的含义，比如生物及其表现的美。相反，它有时是直线……和圆形的，是由圆规、弦和三角板构成的立体表面。因为这些形式不像其他形式那样，在特定条件下才美；它们本身始终是美的。
我们很幸运，通过维特鲁威的De architectura Ⓣ（《论建筑》）了解到了相当多关于古代建筑数学方法的知识。这是一部关于建筑的拉丁文著作，共十卷，献给尤利乌斯·凯撒的养子屋大维，时间略早于公元前27年。维特鲁威本人是一位建筑师和工程师，负责罗马的建筑项目。这十卷内容如下：
如果其中一些主题，例如音乐，在一本关于建筑的书中显得完全不合适，那么值得注意的是，维特鲁威确实将他的书视为为年轻建筑师提供教育，因此他提供了一些更具一般教育性质的主题。然而，值得注意的是，工程和建造确实被视为建筑师必须具备的必要技能。
有趣的是，特别是鉴于上文关于帕特农神庙雅典娜神庙如何建造的细节，来看看维特鲁威在第三卷中关于设计神庙的论述。该卷以一篇关于对称性的文章开始，然后描述了在神庙设计中使用对称性和比例。对维特鲁威而言，人体比例是实现美的根本，他说神庙的比例应遵循这些人体比例。他建议圆和正方形是生成建筑设计的完美图形，因为它们近似于张开四肢的人体的几何形状。这里有一种宗教意义，因为维特鲁威相信人体是按神的形象造的，因此是完美的。当然，许多人认为黄金数可以在人体比例中找到，因此今天在古希腊神庙中发现的黄金数的证据，可能可以通过其与人体比例的关系来解释。
De architectura Ⓣ（《论建筑》）中引人注目的部分之一是第5卷，其中维特鲁威讨论了声学。Sarton写道[6]：-
维特鲁威将声音解释为空气以波的形式的位移，他将其与石头投入池塘时在水面上可以观察到的波进行了比较。更引人注目的是维特鲁威将波动理论应用于建筑声学。声音的波动理论是希腊的，将其应用于大厅的声学则典型是罗马的。……维特鲁威分析了剧院的声学以及可能破坏它的现象，我们称之为干涉、混响、回声。
第10卷的数学内容也很有趣。在其中维特鲁威描述了[6]：-
……起重机械、提水机械、水轮和水磨、水螺旋、Ctesibios的泵、水风琴、里程计，他从和平机械转向战争机械， catapults或scorpiones、ballistae、catapults的装弦和调音、攻城机械、用于填沟的龟甲车、Hegetor的公羊和龟甲车……
在我们离开维特鲁威的De architectura Ⓣ（《论建筑》）之前，值得注意的是，尽管今天我们将维特鲁威更多地视为一个实践者而非学者，然而吉罗拉莫·卡尔达诺将他列入了有史以来十二位主要思想家的名单中。
在欧洲，直到14和15世纪，数学和建筑学才有所进展。建筑以维特鲁威的教导以及仍然大量存在的古典建筑为范本，尤其是在希腊和意大利。我们接下来要提到的是菲利波·布鲁内莱斯基，他受过金匠训练。当时实际上没有职业建筑师，菲利波·布鲁内莱斯基通过游览罗马学习建筑技能：-
他绘制了许多古代建筑的图纸，包括浴场、巴西利卡、圆形剧场和神庙，尤其研究了拱顶和穹顶等建筑构件的构造。然而，他进行建筑研究的目的不是学会复制罗马建筑，而是丰富他那个时代的建筑并完善他的工程技能。
菲利波·布鲁内莱斯基取得了最重要的进展之一，他发现了线性透视原理。古典学者已经理解了一些透视原理，但似乎没有关于这个主题的文本。我们认为，在画布上绘画时，理解透视对于三维场景的逼真二维表现至关重要。然而，菲利波·布鲁内莱斯基对透视的理解被用于他的建筑设计，因为他进行设计以确保他想要的视觉效果从观察者的所有位置都可见。遵循古人的比例和对称规则对菲利波·布鲁内莱斯基很重要，但他希望这些数学美学原则是所有观察者都能看到的。在某种意义上，他试图实现某种比例的不变性，独立于视角，并确保正确是表观比例而不是实际比例。Argan写道[1]：-
透视既不揭示、创造，也不发明空间。相反，它本质上是一种批判性的方法或过程，可以应用于建筑的空间数据，将其简化为比例或理性。在纵向和中心图式综合为沉思的透视中，柏拉图的影响胜过亚里士多德主义，这种透视在理论上导向一个单一的点。
从菲利波·布鲁内莱斯基时代起的许多著名数学家都对建筑学做出了贡献。莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂写了一篇关于这个主题的文本，同时也是关于透视的重要文本的作者，在其中他首次写下了菲利波·布鲁内莱斯基的辉煌发现。他是众多发展出一般比例理论的数学家之一，当然，这受到他建筑研究的启发。
虽然列奥纳多·达·芬奇的名字让人想到他令人惊叹的画作而非数学，但实际上他对数学着迷。建筑学是他的另一个专长，他通过学习莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂的文本了解了它，特别是背后的数学原理。他是一个能力广泛、兴趣广泛的人，在职业生涯的某个阶段，他通过向米兰公爵提供建筑、防御工事和军事事务方面的建议来谋生。他还被认为是水力和机械工程师。他还为切萨雷·博吉亚工作，担任军事建筑师和总工程师。后来法国国王弗朗索瓦一世任命他为国王的首席画家、建筑师和机械师。
文艺复兴时期的另一位数学家是拉法耶尔·蓬贝利，他由皮耶尔·弗朗切斯科·克莱门蒂教导，后者本人是工程师和建筑师。有了这种训练，拉法耶尔·蓬贝利很快就开始作为工程师和建筑师工作，将他的数学技能应用于工作和复数的深入研究。另一位将数学和建筑技能结合起来的是Bramer，他受雇指导防御工事和城堡的建造。他出版了一部关于正弦计算的著作，这是由他参与的实际工作促成的。他追随莱昂·巴蒂斯塔·阿尔伯蒂（1435年）、阿尔布雷希特·丢勒（1525年）和约斯特·伯基（1604年），于1630年建造了一种机械装置，使人们能够绘制精确的几何透视。
La Faille是Bramer的同时代人，教授数学和军事工程。他作为建筑师工作，提供防御工事方面的建议，并写了一篇建筑论文以及重要的力学著作。后来在17世纪，英国建筑师克里斯托弗·雷恩生活着，在许多方面是英国历史上最著名的建筑师。作为一位全面发展的科学家，他在将建筑作为职业之前解决了许多重要的数学问题。尽管他作为建筑师比作为数学家更出名，但艾萨克·牛顿认为他是当时领先的数学家之一。很明显，克里斯托弗·雷恩将数学视为一门可应用于各种科学学科的主题，他的数学技能在他的建筑成就中发挥了重要作用。与他合作的一位建筑师罗伯特罗伯特·胡克，作为数学家比作为建筑师更出名。同样，数学和建筑学是密切相关的学科，在当时被认为是自然的。
另一位17世纪数学家是菲利普·德拉伊尔，他对几何的兴趣源于他对建筑的研究。1687年，他被任命为Académie Royale的建筑学讲席。他对几何的兴趣源于他对透视的研究，他后来对圆锥曲线做出了重要贡献。在18世纪，Poleni对水力学、物理学、天文学和考古学做出了贡献。他担任过天文学、物理学和数学的大学讲席，同时也作为建筑师工作。
19世纪，人们的态度发生了变化，导致在人们心目中科学与艺术分离开来。从这个时期起，数学家和建筑师的角色被视为截然不同，这在比如17世纪是不会发生的。这并不是说数学与建筑之间的联系消失了，只是科学和艺术方面被视为互补的技能，不会在同一个人身上找到。当然，仍然有人同时在数学和建筑方面出类拔萃；改变的只是观念。一个在建筑和数学方面都出类拔萃的人的例子是Aronhold，他从1851年起在柏林皇家建筑学院任教。Aronhold于1863年被任命为皇家建筑学院的教授。他对几何学做出了杰出贡献。
这个时期其他兼具两种技能的人包括弗朗切斯科·布廖斯基和Wiener。从1852年到1861年，弗朗切斯科·布廖斯基是帕维亚大学的应用数学教授。他在那里教授力学、建筑和天文学。诺伯特·维纳从1843年到1847年在吉森大学学习工程和建筑。凭借这种训练，他后来成为达姆施塔特技术高等学校的物理学、力学、水力学和画法几何教师。
有许多19世纪末和20世纪的数学家在转向数学之前以建筑师为职业，例如法国人Drach和美国人塞缪尔·S·威尔克斯。Drach在转向数学之前当过建筑师。塞缪尔·S·威尔克斯在北德克萨斯州立师范学院学习建筑。他于1926年获得建筑学学士学位。然而他的视力不太好，他担心这将成为他从事建筑职业的障碍，因此他决定从事数学职业。
20世纪两位独特的天才是莫里茨·科内利斯·埃舍尔和巴克敏斯特·福乐。莫里茨·科内利斯·埃舍尔从来不是数学家，尽管他对这门学科着迷，并且他的艺术背后有深刻的数学思想。他在哈勒姆的建筑与装饰艺术学院接受训练，直到21岁才放弃建筑转向艺术。巴克敏斯特·福乐是一位工程师、数学家和建筑师，他在20世纪下半叶应用几何原理设计了一种全新的建筑概念。他把结构纯粹性变成了一种艺术，将简单的几何形式用于美学和功能目的。