数学史专题
Hernán Cortés被哥伦布新近发现的土地的故事所激励，于1505年从西班牙航行，在伊斯帕尼奥拉岛登陆，即现在的圣多明各。在那里务农数年后，他于1511年与Velázquez一同航行征服古巴。他曾两次当选圣地亚哥市长，然后于1519年2月18日率领11艘船、508名士兵、100名水手和16匹马驶向尤卡坦海岸。他在尤卡坦半岛北海岸的塔巴斯科登陆。他几乎没有遇到当地居民的抵抗，他们向他赠送了包括二十名女孩在内的礼物。他娶了其中一名女孩Malinche。
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尤卡坦半岛的人民是古代玛雅文明的后裔，该文明大约从公元900年起开始衰落。本文关注的正是这一文明的数学成就。然而，在描述这些成就之前，我们应当注意到Cortés继续征服了墨西哥的阿兹特克人。他在1519年底之前攻占了特诺奇提特兰（该城于1521年重建为墨西哥城），阿兹特克帝国在1521年底之前落入Cortés之手。为Cortés担任翻译的Malinche在他的冒险中发挥了重要作用。
为了理解玛雅人的知识如何传到我们这里，我们必须考虑这个故事中的另一位西班牙人物，即Diego de Landa。他于1541年约17岁时加入方济各会，并请求被派往新世界担任传教士。Landa帮助了尤卡坦半岛的玛雅人，并总体上尽力保护他们免受新的西班牙主人的侵害。他参观了玛雅文明伟大城市的废墟，并从人民那里了解了他们的习俗和历史。
然而，尽管Landa对玛雅人抱有同情，他却憎恶他们的宗教习俗。对于作为虔诚基督徒的Landa来说，带有偶像的玛雅宗教和用象形文字书写的玛雅文本看起来像是魔鬼的作品。他下令摧毁所有玛雅偶像，烧毁所有玛雅书籍。Landa似乎对由此给玛雅人造成的痛苦感到惊讶。
没有人能完全理解Landa的感受，但也许他后悔自己的行为，也许他试图为自己的行为辩护。可以肯定的是，他随后做的是写了一本书Relación de las cosas de Yucatán Ⓣ（《尤卡坦事物关系》）（1566年），描述了象形文字、习俗、神庙、宗教习俗和玛雅人的历史，而他自己的行为在很大程度上摧毁了这些。这本书失传多年，但三百年后的1869年在马德里被重新发现。
少数玛雅文献在Landa的破坏中幸存下来。最重要的是：现藏于德累斯顿萨克森州立图书馆的《德累斯顿抄本》；现藏于马德里美洲博物馆的《马德里抄本》；以及现藏于巴黎国家图书馆的《巴黎抄本》。《德累斯顿抄本》是一部天文学论著，被认为是在公元11世纪从一份可追溯至公元7或8世纪的原始文献抄写而来。
德累斯顿抄本：
在过去三十年中，人们对玛雅文明的了解大大增加（例如参见[3]和[8]）。高分辨率雷达图像、航空摄影和卫星图像等现代技术改变了人们对玛雅文明的认识。我们感兴趣的是玛雅古典时期，它跨越公元250年至公元900年，但这个古典时期是建立在约公元前2000年起就生活在该地区的文明基础之上的。
古典时期的玛雅人建造了大型城市，在尤卡坦半岛已确认约十五座，最近估计南部低地的蒂卡尔城在其鼎盛时期人口约为50000。蒂卡尔可能是最大的城市，最近的研究已确认约3000座独立建筑，包括神庙、宫殿、神龛、木制和茅草房屋、梯田、堤道、广场以及用于储存雨水的巨大水库。统治者是住在城市中的天文学家祭司，他们通过宗教指令控制人民。采用精耕细作的高台田和灌溉系统的农业提供了支持人口的食物。
共同的文化、历法和神话将文明维系在一起，天文学在作为人民整个生活基础的宗教中发挥了重要作用。当然，天文学和历法计算需要数学，而玛雅人确实构建了一个非常复杂的数系。我们不知道这些数学成就的日期，但似乎可以肯定，当该系统被设计出来时，它包含的特征比当时世界上任何其他系统都更先进。
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玛雅数字系统是一个二十进制系统。
以下是玛雅数字。
几乎可以肯定，二十进制的原因来自古代人同时用手指和脚趾计数。尽管它是一个二十进制系统，称为二十进制，但人们可以看到五如何扮演了主要角色，这同样显然与五个手指和脚趾有关。事实上值得注意的是，尽管该系统是二十进制，它只有三个数字符号（也许单位符号源于计数时使用的一颗石子，横线符号源于一根木棍）。人们常说，要有一个大基数的数字系统是不可能的，因为这需要记住许多特殊符号。这表明人们如何受自己所使用系统的制约，只能在与自己熟悉的系统密切类比中看到数字系统的变体。玛雅数字系统令人惊讶的先进特征包括零——由于我们无法解释的原因用贝壳表示——以及该系统的位值性质。然而，正如我们现在将要解释的，该系统并不是一个真正的位值系统。
在真正的二十进制中，第一位数字表示从0到19的单位数，下一位表示从0到19的20的个数，再下一位表示从0到19的400的个数，依此类推。然而，尽管玛雅数字系统一开始是这样，单位到19，20的个数到19，但在第三位发生了变化，它表示的是从0到19的360的个数，而不是400的个数。在此之后，系统又恢复为20的倍数，所以第四位是18×20²的个数，下一位是18×20³的个数，依此类推。例如，[8;14;3;1;12]表示
12 + 1 × 20 + 3 × 18 × 20 + 14 × 18 × 202 + 8 × 18 × 203 = 1253912.
作为第二个例子，[9;8;9;13;0]表示
0 + 13 × 20 + 9 × 18 × 20 + 8 × 18 × 202 + 9 × 18 × 203 =1357100.
这两个例子都发现于玛雅城镇的废墟中，我们将在下面解释它们的意义。
现在，我们刚刚描述的系统用于⟦E1⟧，并且这是我们拥有任何书面证据的唯一系统。在4中，Ifrah认为我们刚刚引入的数字系统是玛雅祭司和天文学家用于天文和历法计算的系统。这无疑是事实，并且它以这种方式使用解释了系统中的一些不规则性，我们将在下面看到。这是用于历法的系统。然而，Ifrah还主张第二种真正的二十进制系统，它会被商人使用，并且也是会在口语中使用的数字系统。他声称，这个系统有一个圆圈或点（根据一些人的说法来自可可豆货币，根据另一些人的说法来自用于计数的卵石）作为其单位，一个横条表示5，以及特殊符号表示20、400、8000等。Ifrah写道[4]：-
尽管没有留下任何痕迹，我们可以合理地假设玛雅人有过这种数字系统，并且中间数字是通过根据需要多次重复符号来构成的。
在我们回到他们的数字系统之前，让我们稍微谈谈玛雅历法，因为历法是数字系统结构背后的原因。当然，也有相反方向的影响，数字系统的基数20在历法结构中起了主要作用。
玛雅人有两个历法。其中之一是称为 Tzolkin 的仪式历法，由 260 天组成。它包含 13 个“月”，每月 20 天，月份以 13 位神命名，而二十天则从 0 到 19 编号。第二个历法是称为 Haab 的 365 天民用历法。这个历法由 18 个月组成，以农业或宗教事件命名，每个月有 20 天（同样从 0 到 19 编号），还有一个只有 5 天的短“月”，称为 Wayeb。Wayeb 被认为是不吉利的时期，Landa 在其经典文本中写道，玛雅人在这些天不洗澡、不梳头，也不做任何艰苦的工作。在这些天出生的人会运气不好，并且一生贫穷不幸。
那么为什么仪式历法以 260 天为基础呢？这是一个我们没有满意答案的问题。一种说法是，由于玛雅人生活在热带地区，太阳每年有两次直射头顶。也许他们测量了 260 天和 105 天作为太阳直射头顶之间的连续时期（这对尤卡坦半岛成立这一事实不能用来证明这一理论）。第二种理论是，玛雅人有 13 位“上界”的神，而 20 是人的数目，因此给每位神一个 20 天的月份就得到了 260 天的仪式历法。
无论如何，拥有两个历法，一个 260 天，另一个 365 天，意味着这两个历法将在 lcm(260, 365) = 18980 天后回到同一循环。这是在 52 个民用年（或 73 个仪式年）之后，事实上玛雅人有一个由 52 年组成的神圣周期。历法中的另一个主要参与者是金星。玛雅天文学家将其会合周期（之后它回到相同位置）计算为 584 天。现在仅仅在两个 52 年周期之后，金星将已经完成 65 次公转，并且也回到相同位置。这种非凡的巧合意味着玛雅人每 104 年会有盛大的庆祝活动。
现在玛雅人还有第三种测量时间的方式，严格来说并不是历法。它是一个绝对时间尺度，基于一个创世日期，时间从此向前测量。玛雅创世日期是什么日期？最常采用的日期是公元前 3113 年 8 月 12 日，但我们应该立即说明，并非所有历史学家都同意这是这个所谓“长计历”的零点。现在人们可能期望这种时间测量要么给出自创世以来的仪式历法年数，要么给出自创世以来的民用历法年数。然而它两者都不是。
长纪年基于一年360天，或者更准确地说，它只是以玛雅数字系统表示的天数计数。现在我们看到了数字系统偏离真正的二十进制系统的可能原因。这是为了使该系统能近似表示年份。在玛雅城镇中发现了许多铭文，它们以这种长纪年给出了建造日期。考虑上面给出的两个玛雅数字的例子。第一个
[ 8;14;3;1;12 ]
是来自蒂卡尔城镇的一块盘子上的日期。它转换为
12 + 1 × 20 + 3 × 18 × 20 + 14 × 18 × 202 + 8 × 18 × 203
即从公元前3113年8月12日的创世日期起算的第1253912天，因此该盘子雕刻于公元320年。
第二个例子
[ 9;8;9;13;0 ]
是塔巴斯科州帕伦克一座建筑上的竣工日期，靠近科尔特斯的登陆点。它转换为
0 + 13 × 20 + 9 × 18 × 20 + 8 × 18 × 202 + 9 × 18 × 203
即从公元前3113年8月12日的创世日期起算的第1357100天，因此该建筑于公元603年竣工。
我们应当注意玛雅数字系统的一些性质（或者更严格地说，非性质）。玛雅人似乎没有分数的概念，但正如我们将在下面看到的，他们仍然能够进行极其精确的天文测量。此外，由于玛雅数字并非真正的二十进制位值系统，它不具备我们期望位值系统所具有的那些良好数学性质。例如
[ 9;8;9;13;0 ] = 0 + 13 × 20 + 9 × 18 × 20 + 8 × 18 × 202 + 9 × 18 × 203 = 1357100
然而
[ 9;8;9;13 ] = 13 + 9 × 20 + 8 × 18 × 20 + 9 × 18 × 202 = 67873.
在真正的二十进制位值系统中，将所有数字向左移动一位会使该数乘以20，然而20 × 67873 = 1357460，这并不等于1357100。因为当我们将[ 9;8;9;13 ]乘以20时，我们得到9 × 400，而在[ 9;8;9;13;0 ]中我们有9 × 360。
我们还应当注意，玛雅人几乎肯定没有对其数字进行乘法的方法，并且绝对没有使用数字的除法。然而，正如[15]的作者所展示的，玛雅数字系统当然能够用于乘法和除法运算。
最后，我们应当简要谈谈玛雅人在天文学上的进展。Rodriguez在[19]中写道：-
玛雅人对理解天体——尤其是太阳、月亮和金星——周期的关注，使他们积累了大量高度精确的观测资料。他们宇宙观的一个重要方面是寻找大周期，即若干天体的位置在其中重复出现的周期。
玛雅人以惊人的精确度进行天文测量，然而他们除了木棍之外没有其他仪器。他们用两根木棍交叉成十字形，通过木棍形成的直角来观测天体。许多人认为奇琴伊察的卡拉科尔建筑是一座玛雅天文台。该建筑的许多窗户的位置都经过安排，以便与重要的视线对齐，例如3月21日春分时落日的那条视线，以及与月亮有关的某些视线。
奇琴伊察的卡拉科尔建筑：
凭借如此简陋的仪器，玛雅人能够将一年的长度计算为365.242天（现代值为365.242198天）。另外两项显著的计算是关于朔望月的长度。在科潘（今洪都拉斯与危地马拉边界），玛雅天文学家发现149个朔望月持续4400天。由此得出朔望月长度为29.5302天。在塔巴斯科的帕伦克，他们计算出81个朔望月持续2392天。由此得出朔望月长度为29.5308天。现代值为29.53059天。这难道不是一项非凡的成就吗？
然而，玛雅人的其他数学成就非常少。Groemer在[14]中描述了公元600年至900年期间尤卡坦普克地区玛雅建筑上出现的七种饰带图案。该地区包括卡巴和拉布纳的遗址。Groemer给出了二十五幅饰带插图，展示了玛雅人在此类建筑装饰中的创造力和几何直觉。